ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE DES FLUIDES

Jusqu'ici nous avons considéré des fluides sollicités par la seule force de la pesanteur; nous allons considérer, dans ce chapitre, des fluides sollicités par des forces quelconques.

Soient

x^ y^ z les coordonnées rectangulaires d'un élément du fluide;

p la densité du fluide en ce point;

p la pression au même point, rapportée à Puni té de surface ;

X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de toutes les forces qui sollicitent l'élément considéré , ces composantes étant rapportées à Funité de masse et exprimées en fonction de oc ^ y ^ z.

Pour que le fluide soit en équilibre , il faut et il suffit qu'en chaque point de sa masse on ait la relation

dp=z^[^dx-hYdx 4- Zdzy

L'intégrale du second membre est la valeur de la pression .

Dans l'état d'équilibre , la pression est une fonction des coordonnées, et, par suite, la somme Xrfa: -h Y Jj ~hZdz est la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x, j", Z) considérées comme variables indépendantes. Il en résulte que, si l'on se donne à volonté les composantes X, Y, Z, l'équilibre n'est pas toujours possible sous ce système de forces. Pour qu'il soit possible, il faut que la fonction X ^ -f Y dy -hZdz soit une différentielle exacte.

Quand cette condition est remplie, l'équation

dp=:0 ou X fl?2r -f- Y rf^- H- Zû?Z = O

est l'équation différentielle commune à toutes les surfaces sur chacune desquelles la pression est constante.

Le problème général de l'équilibre des fluides excita vivement l'intérêt des géomètres au temps de New^ton , parce qu'il devait les conduire à déterminer la figure de la terre et des autres planètes, dans l'hypothèse où ces corps auraient été primitivement fluides.

Huyghens et Newton (*) ne connurent pas complètement la condition nécessaire à l'équilibre d'une masse fluide. Le premier donna pour unique condition la perpendicularité de la force à la surface^ le second admit pour principe l'équilibre d'une colonne fluide allant du centre à la surface. Or ces deux conditions peuvent être satisfaites, même simultanément, sans qu'il y ait équilibre 5 car, pour l'équilibre de la masse entière, il faut qu'une partie quelconque du fluide, considérée comme un corps solide , soit en équilibre sous l'action des forces qui la sollicitent.

Daniel Bernoulli paraît avoir donné le premier la véritable condition d'équilibre. Il s'exprime en ces termes dans son Hydrodynamique , publiée en 1738 (sect. II, théor. 2) :

« In aqua stagnante tubus utcunque formatus fingi po- » test, in quo ulique aqua situm servabit, quem anlca » habuit, cum perinde sit, sive aqua tuboinclusa, coer- » cealur lateribus tubî, sive circumstagnante aqua. »

I/équation générale rappelée précédemment n'est que la traduction de ce principe. On la doit à Clairaut (*).

(*) Principia, lib. III, prop. 19.

(') Théorie de la figure de la terre; i743-