FLUIDES INCOMPRESSIBLES

1 . Déterminer la figure d* équilibre d'une masse Jltade, dont chaque molécule est sollicitée suii^ant trois directions rectangulaires, par trois forces qui varient respectii^ement comme les distances à trois plans donnés.

Soient

ax -^^ by -^^ cz=: d ^ a'x -^^ h'y -^c' z^=iff^

les équations des plans donnés, par rapport à des axes parallèles aux directions des trois forces. On aura

ax-hby^cz-^d

^=^"^f*" sja^^b^+r'

A , X', X", (jt, fji', fx" désignant des constantes.

Substituant ces valeurs dans l'équation differenlielle

et intégrant, on aura l'équation finie de la surface extérieure. On voit que celte surface est une surface du second degré.

2. Une sphère creuse est remplie d'un fluide pesant et homogène^ à l'extrémité supérieure du diamètre vertical est un centre d^ action qui attire chaque molécule proportionnellement à sa distance. On suppose que la

pression est nulle au sommet de la sphère. Montrer: 1° que la pression exercée sur r hémisphère inférieur est triple de la pression exercée sur r hémisphère supérieur; 2° que la pression sur le vase serait nulle, et que la sphère serait une figure naturelle d'équilibre, si l'action du centre sur l'unité de masse située à l'unité de dis^ tance était égale au quotient du nombre g par le rayon de la sphère; 3° que, dans le cas Oii l'action du centre sur V unité de masse située à l'unité de distance serait une Hpulsion égale au quotient dont on "vient de parler, la pression sur le vase serait la même que si le fluide n'était sollicité par aucune force autre que la pesanteur, mais que sa densité fût doublée.

3. On suppose un vase dont on connaît la forme et la masse M , qui (contient un volume donné V d^un liquide de densité p , et qui est assujetti à glisser sur un plan horizontal parfaitement uni. Ce vase est traîné par un poids P quile tire horizontalement à F aide d'un fil sans masse engagé sur une poulie de renvoi. Déterminer la forme qu'affecte la masse liquide lorsqu'elle est devenue immobile par rapport aux parois du vase.

On peut considérer le système comme absolument immobile, pourvu que Ton regarde chaque molécule du liquide comme sollicitée, non-seulement par la pesanteur, mais encore par une force accélératrice horizontale , égale et contraire à l'accélération du système,

Si l'on rapporte la surface à des axes coordonnés invariablement liés au vase, l'axe des y étant dirigé en sens contraire de la pesanteur, et Taxe des x en sens contraire du mouvement , on trouve que la surface libre du liquide

ijîff MÎ^iffîQUE RATIONNELLE.

est un plan , représenté par Téqualion

r = ;; — ~ ■+- const.

La constante se détermine par la condition que lapor-' tion du vase occupée par le liquide ait un volume égal à V.

Supposons, comme exemple, que le vase soit un cylindre vertical à base quelconque , dont la section horizontale intérieure ait une aire égale à A. Dans ce cas, l'origine étant prise au centre de gravité de la base, Yéquation de la surface libre du liquide sera

•^"" P-f-gM-f-gpV "*" a'

si toutefois le liquide couvre entièrement le fond du vase. D'Alembert, Traité des FluTdes , p. i46.