A = - ( CT A
Dans r hypothèse d'une atmosphère non homogène ,
on a
dp — '-gpdr et p=:Kr'"^'d'où Ton tire
(/w-hi)A: yp — CT \z=z^g(r'^a),
et, par conséquent,
Ainsi , le rapport cherché est H
3. On suppose une masse fluide^ où la densité estpro» porlionnelle à la «**'"* puissance de la pression, et dont toutes les molécules sont attitrés par un centre fixe a^^ec une intensité qui est fonction de la distance. Il s^ agit de déterminer la pression en un point donné de la masse fluide.
Soient f(r) rattraction sur Tunilë de masse à la distancer, F(r) une fonction dont la dérivée est./ (r), et
la relation qui lie la densité à la pression.
Si n est différent de Funité, la pression;^ à la distancer est donnée par Téquation
-^^^;— (^>3) =const. — ^F(r).
Si n est égal à Tunité, on a
— AF(r)xcon8f.
Varignov, Mém. deVAcad, des Se, de Paris , 1716, p. 108.
FLUIDES ANIMÉS d'uNE ROTATION- UNIFORME AUTOUR
d'un axe fixe.
On dit en général qu'un fluide est en équilibre, lorsque ses molécules ne se déplacent pas les unes par rapport aux autres. Ainsi, une masse fluide peut être à la fois en équilibre et animée d'une rotation uniforme autour d'un axe fixe dans le fluide. Les conditions de cet équilibre seront les mêmes que si la masse était en repos absolu 5 seulement, aux forces X, Y, Z qui solliciteraient un élément du fluide s'il était en repos, il faut ajouter la force centrifuge qui est développée par la rotation. Si l'on nomme w la vitesse angulaire et r la distance de l'élélnent considéré à l'axe de rotation, Féquation générale de l'équilibre sera
dp = p (Xr/x + "Ydy -h Zdz^-Jf tà^rdr).
Cette équation a été donnée par Clairaut dans la Théorie de Ja figure de la Terre ( page loi de la deuxième
édition).
1 . Un vase cylindrique de révolution , dont Vaxe est vertical, contient un liquide homogène , sur lequel flotte un cylindre solide de réi^olulion, qui a son axe en coïncidence ai^ec celui du vase; tout le système est animé d'une rotation uniforme autour de Vaxe commun des cylindres f et V équilibre est établi. Dans cet état, le flotteur est moins éleué au-dessus du fond du vase que si le système était en repos. On demande d^ exprimer la différence de hauteur due à la rotation , en fonction de la vitesse angulaire w et des rayons K et a du vase et du cylindre flottant.
Soient a: la distance d'une molécule fluide au fond du vase, et /• la distance de cette molécule à Taxe de rotation.
On a
dp = p (-^ gcLc + (ti^rdr) ;
d'où
p •= p ( — g^x H — w^r* j 4- const.
On voit que la surface libre du liquide, sur laquelle la pression est nulle, a la forme d'un paraboloïde de révolu-
et
tion, le paramètre de la parabole génératrice étant —•
Soient P le poids du liquide contenu dans le vase, Q le poids du liquide déplacé par le flotteur, x^ la distance du sommet du paraboloïde au fond du vase, et 7* la distance de la base immergée du flotteur au même plan.
Si Ton se rappelle que le volume d'un paraboloïde de révolution terminé par un plan perpendiculaire à l'axe est égal à la moitié du volume du cylindre circonscrit,
44^1 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
on eiqprime facilement, en fonction des éléments du paraboloïde, le volume immergé du flotteur et le volume du liquide augmenté du volume immergé. On trouve
Eliminant x, entre ces équations , il vient
Dans cette valeur, le terme
qui seul dépend de w, et s'annule avec cette vitesse, mesure la différence de hauteur due à 1% rotation.
2. On suppose une masse fluide y homogène et incompressible^ animée d'un moui^ement quelconque^ dont les molécules s^ attirent les unes les autres siUi^ant la loi de la nature, et sont libres de toute action étrangère. Par r effet du frottement des molécules^ cette masse a tendu à prendre une figure invariable et une rotation uniforme autour d'un axe fixe. On demande si cette figure d'équilibre a pu être un ellipsoïde de révolution autour de taxe de rotation^ quel quait.été le mouvement primitifs et si plusieurs ellipsoïdes de révolution conviennent^ comme figure finale, pour un mouvement primitif donné, — Appliquer les formules obtenues à la détermination de r aplatissement de la terre, en supposant que ce corps
ait été primitwement une masse fluide, homogène et incompressible .
Observons d'abord que la somme des moments des quantités dç mouvement de la masse fluide, autour d'un axe de direction invariable mené par son centre de gravité, reste constante pendant toute la durée du mouvement. Or, si l'axe de révolution de l'ellipsoïde coïncide avec Taxe de rotation , il est finalement l'axe du plus grand moment des quantités de mouvement ; donc il est parallèle à Taxe primitif du plus grand moment. Ainsi , le mouvement primitif étant connu, on connaît la direction de l'axe de révolution de Fellipsoïde, et aussi k somme S des moments des quantités de mouvement qui s'y rapportent.
Déplus, la masse M du fluide et sa densité p étant connues , la vitesse « de la rotation de l'ellipsoïde ne dépend que d'une seule inconnue, l'excentricité de Tellipse méridienne ou une fonction de cette excentricité.
En effet, l'axe de rotation étant pris pour axe des x, soient
réquation de l'ellipsoïde, et
en sorte que l'excentricité de l'ellipse méridienne soit
A OU ^ suivant
On a les relations
- i ou 1 suivant que l'ellipsoïde est aplati ou allongé.
M=|7rpA^{i-4-V), S = |MA-^(H-V)«i
croù l'on lire
5S /47rp\3
2M \3MJ ^ ^ ^
Ceci posé , il faut chercher si Tellipsoïde de révolution est bien une figure d'équilibre.
Soit fi rattraciion de Funité de masse sur l'uniié de
masse à Tunité de distance^ et posons de suite, pour
abréger,
« / / ^•^^ — arctancX P=4irf*p(H-V) yï—^'
^ , (i -|-X*)arc tang^ — \
Q = 4^(*p^ ^ av —
Les composantes de Fattraclion que la masse ellipsoïdale exerce sur Tunité de masse située au point \pc^y^ z) sont [page agg, form. (7)]
d'ailleurs les composantes de la force centrifuge sont respectivement
o, w'j, w'z; donc on a
-/? = ~ Pa:'— (Q -^ w') (jrï^- 2») 4- const.
L'équalion de la surface libre est
P a?' -h (Q — «»)(/» -h 2' ) = const.
Pour que cette surface coïncide avec celle c[ue nous avons supposée (1) , il faut et il suffit que l'on ait
OU bien , en remplaçant P, Q, o) par leurs valeurs,
Telle est l'équation que doit vérifier X.
Chaque racine positive donnera un ellipsoïde de révo lution aplati qui conviendra comme figure d'équilibre; chaque racine imaginaire de la forme 6 ^ — i , 0 étant positif et inférieur à l'unité, donnera un ellipsoïde allongé qui sera aussi une figure d'équilibre.
Montrons d'abord que, quel que soit le moui^ement primifif^ la figure d'équilibre ne peut être un ellipsoïde de réi^olution allongé.
Les puissances fractionnaires qui entrent dans les deux membres de l'équation (2) doivent être prises avec le même signe , nous les prendrons positivement. Alors la quantité connue qui forme le second membre sera positive ; nous la représenterons par U.
Si nous faisons
il vient
* , sf^^, 1-4-0 arc tang> r= log >
et, par suite, l'équation (2) se transforme en celle-ci :
Or cette équation ne peut être satisfaite par aucune valeur positive de 6 inférieure à l'unité ; car le second membre est négatif, et, des deux facteurs qui composent le premier membre , le premier est évidemment positif lorsque 0 est compris entre zéro et l'unité, le second s'annule
446 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
pour 9 = 0, et devienl positif pour des valeurs de 6 comprises entre zéro et l'unité, puisque sa dérivée
est positive pour des valeurs de 6 comprises entre ces limites.
Si maintenant nous supposons Fellipsoïde aplati , nous arriverons à ce théorème : Pour un mouvement primitif donné, il est toujours un ellipsoïde de rés^olution aplati qui convoient comme figure d'équilibre , et il n'en est quun seul.
Observons d'abord que le premier membre de l'équation {2) s'annule pour A =0; car, si l'on remplace arc lang ï par son développement
lequel est convergent pour des valeurs de A inférieures à l'unité, ce premier membre devient
Le même premier membre devient infini pour X = oo ; car il peut se mettre sous la forme
Ainsi , quelle que soit la valeur essentiellement positive du second membre , il y a toujours une valeur positive de X qui rend le premier membre égal au second.
Celte valeur de A qui vérifie l'équation est nécessairement unique. Pour le démontrer, 11 suffit de faire voir que la dérivée du premier membre de l'équation (2) est posi-
live pour toute valeur positive de X. Or, si Ton pose
^^^ ~ 34-2V "■ ^^ ^^^' la dérivée dont il s'agit devient
i(. + X')-'[arctangX-f-9^i^V(^)].
et tout est évidemment positif, sauf peut-être le facteur / (A); mais ce facteur est aussi positif, car il s'annule pour A = o , et sa dérivée
est toujours positive.
Donc, en résumé, l'équation (2) a toujours une racine positive unique, ce qui démontre le théorème annoncé.
Maclaurin a démontré le premier ce résultat important, que la figure d'un ellipsoïde de révolution convient à l'équilibre d'une masse fluide en rotation. (Traité des JluxionSy liv. I, ch. XIV, § 64 1.)
j4ppUquons ces formules à la terre. La somme S dépend de la forme de la terre, de sa constitution intérieure et de sa vitesse de rotation w. Les mesures géodésiques nous apprennent que la figure de la terre est sensiblement celle d'un ellipsoïde de révolution dont
l'aplatissement — - — est égal à , et pour lequel, par
conséquent, on a
De plus , sans connaître la constitution intérieure de la terre, tout nous porte à croire que la densité va en diminuant du centre à la surface. Si nous calculons S dans rhypothèsc d'une densité constante, la valeur obtenue sera
certainement U'op grande-, il en résultera une valeur trop grande pour la racine A que nous trouverons en résolvant 1 équation (2). Mais ceci a peu d'importance; car, lors même que nous donnerions à S sa véritable valeur, l'équation (2) ne pourrait pas nous fournir un résultat exact, puisque elle suppose la terre homogène.
D'après la valeur observée de l'aplatissement et les expressions de S et de M données au commencement de cet article, Téquation (2) devient
V 27rppV298;
Pour calculer 2 7rfjtp , nous nous servirons d'une proposition démontrée précédemment (page 3o2), d'après laquelle on a
27rap = î
/* désignant la distance du centre de la terre au parallèle dont la latitude est l = arc sîn-p , et G représentant l'attraction de la terre sur un point de ce parallèle.
Les mesures géodésiques donnent pour l'ellipsoïde terrestre
A = 6356o8o", 8=6377398'"; on en tire, en négligeant le carré de l'aplatissement,
rzzr v^A^sin^/H-B'cos^/— b/i — - ^^^'sin^/j ~ B — (B — A)sin'/= 6 370 292'".
L'attraction G est la somme algébrique de la pesanteur et de la composante verticale de la force centrifuge. La pesanteur s'observe à l'aide du pendule : l'unité de Ion-
gueur étant le mètre, et runité de temps la seconde de temps solaire moyen , elle est représentée à une latitude quelconque par la formule
