COS
La force centrifuge se calcule^ sa composante verticale a pour valeur
289,44 Faisant / = arc sin -^, il vient
La vitesse w de la rotation de la terre est égale à
D'après ces valeurs, il est facile de calculer le second membre de l'équation ( 3 ) .
Comme la valeur de X doit être une petite fraction , on peut développer le premier membre de l'équation (3) suivant les puissances ascendantes de X, et ne conserver que les premiers termes. En s'arrètant aux sixièmes puissances de l'inconnue, on obtient l'équation
Elle se résout par la méthode des approximations successives.
Une première valeur est
l] =r 0,008662 63; une seconde valeur est
),^^ = x? + A. x; — ^ X' = o , 008 676 90 ; II. 29
45o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
une troisième valeur est
Telle serait donc, dans notre hypothèse, la valeur de X* pour l'ellipse méridienne de la terre.
On en conclut la valeur de l'aplatissement,
= 0,004 3io 44 = nr
Cette valeur est un peu supérieure à celle que donnent
les mesures géodésiques, La plus grande densité de la
terre au centre qu'à la surface suffit pour rendre compte de cette différence.
Corollaire I. — Terminons en calculant la pesanteur à la surface de V ellipsoïde ,
Soit g' la pesanteur au point [x^y^ z ) de la surface. Les composantes de cette force suivant les axes sont
Nous avons donc
g = v/P':c' 4- (Q - ^'y ir' + z') ,
P ou bien , d'après la relation = Q — w'
S = — :pY, sl[i -f- vy x^ -h (/» -♦- z').
Pour exprimer cette valeur en fonction de la latitude / du point considéré sur la surface , nous pouvons supposer que ce point soit situé dans le plan méridien des xj.
HYDROSTATIQUE. 45l
Alors réqualion de Fellipse méridienne,
(i -h V)j:'-hr'=B%
nous donne
sin/ par suite,
et,
CCS
PA
cos'
v/i -f- a' ces'/
Développant suivant les puissances ascendantes de X*, et négligeant i*, il vient, ;;owr /e cas dun ellipsoïde trèspeu aplati,
g^=:PA f I — -Vj -h i FAX' sin'/.
D'après cette formule, la pesanteur varie pi opoitionnellement au sinus carré de la latitude {*). L'observation du pendule montre que ce résultat est applicable à la terre.
La formule précédente peut s'écrire
g^ = K(i— .K'cosa/),
K et K' étant deux constantes, dont la première mesure la pesanteur à la latitude de 45 degrés , et dont la seconde est le quotient que l'on obtient en divisant la différence entre la pesanteur à 4^ degrés et la pesanteur à Téquateur par la pesanteur à 45 degrés. L'observation du pendule fait connaître les valeurs de ces constantes pour la terre, et l'on obtient ainsi la formule déjà citée,
^ = 9 , 8o557 ( I — o, 002588 ces a /) .
Corollaire II. — On peut encore observer que les composantes de la pesanteur au point [x^y^ z) de la surface, di-
(') Nous avons vu (page 3oo) qu'il en est de même pour l'attraction.
4^2 MÉCAÏflQUE RATIONNELLE.
rîgées suivant les ânes coordonnés, sont, a un facteur con-* stant près , les dérivées partielles de la fonction de x, jr, z qui, égalés à Tuuité, représente rellipsoïde. 11 sVnsuitque la pesanteur elle-même est égale, sauf un facteur constant , à la racine carrée de la sonmie des carrés des trois dérivées partielles. Or cette racine est précisément l'inverse de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à la surface au point (or, y^ z) . Par conséquent , la pesanteur à la surface de Veïlipsoîde est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à la surface au point considéi^. Cette remarque est de M. Liouville (Joum. de Math.^ t. VHI, p. 36o; i843).
Si Ton nomme p cette perpendiculaire , on a
CODSt.
d^ailleurs , à l'équateur /7 = Betg' = B(Q— o)*); donc la constante est égale à B* (Q — cd*), et, par suite,
3. Montrer quun ellipsoïde à trois axes inégaux peut être la figure d'équilibre d'une masse fluide homogène , dont les molécules s'attirent suivant la loi de la nature, et qui est animée d'une rotation uniforme autour de l'un des axes de l'ellipsoïde.
Soient M, p, p, w les mêmes quantités que dans le problème précédent, et A, B, C les longueurs des demi-axes de Fellipsoïde, le premier étant Taxe de rotation.
Posons
1^ et V^ pourront être positifs ou négatifs; mais , dans ce
dernier cas , leurs valeurs numériques seront nécessairement inférieures à Tunité , puisque -7= et ^ seront
alors les excentricités de deux sections principales. L'équation de l'ellipsoïde sera
Posons encore (page 299)
J. '- /* î U}dtL
= 4,r,,p(, + V)'(l + VV / ^^îî
= 4 "HP (1 + V)' (1 + vr / ~ î .
Nous trouverons, de la même manière quau problème précédent, pour l'équation de l'équilibre de la masse fluide,
^dp=z— Pa:rfjr — (Q— w2)jfl?j -(R — w')zr/«,
et pour Téquation de la surface libre ,
Px'-|-{Q--w')j»-h(R — a)»)«'=const.
Cette dernière équation devant coïncider avec l'équation (1) , il en résulte les conditions
(R-«^)(i4-V»)=P, que l'on peut remplacer par les deux relations équiva-
454 MÉCANIQUE RITIOMBELLE.
lentes
Admettons que Ton se donne, comme dans le problème précédent , non la vitesse angulaire , mais la somme S des moments des quantités de mouvement autour de Taxe de rotation.
Nous aurons
M=|,rpA»(n-V)'(n-X")';
d'où
u^ du
"^ M' V3M/ (n-V-f-i-hV»)' *
Remplaçant P, Q , R, w' par leurs valeurs , les équations (2) et (3) deviennent
/ /> ' u} di (.-HX')(, + V')(X"-V) / —
1 /•' u}du
= (^"-vo / , ,,
\ Jo (ï-f-V«')'(i4.V'tt'}'
5o S' M^rpy
3 pM^ \3M/
Cette équation (5 ) nous donnera une valeur réelle de S p6ur tout système de valeurs positives attribuées à X* et à
X'*; car l'intégrale qui ligure au second membre aura tous ses éléments positifs. Ainsi , pour démontrer le théorème que nous avons en vue, il nous reste à faire voir que l'équation (4) peut être satisfaite par deux valeurs positives et différentes Tune de l'autre attribuées respectivement à X* et à X'*.
L'équation (4) admet la solution X* = i'*, qui répond à rellipsoïde de révolution discuté dans l'article précédent. Supprimant le facteur X'* — X*, Téquation peut s'écrire
Cette équation ne peut être satisfaite que par des valeurs de X' et de X'* toutes deux positives 5 car, si X* etX'* étaient de signes contraires, le facteur (i — X*X''a*) serait positif, et tous les éléments de l'intégrale seraient positifs. La même chose aurait lieu , si X* et X'* étaient tous deux négatifs, car alors leurs valeurs numériques seraient inférieures, à l'unité, en sorte que le facteur (i — X'X^'tt*) resterait positif dans les limites de l'intégration. Nous voyons par là que Faxe de rotation est nécessairement le plus petit des trois axes principaux , si toutefois rellipsoïde est une figure d'équilibre quand la rotation s'effectue autour de l'un des trois axes.
Donnons à X* une valeur positive et finie, mais quelconque. Pour toute valeur de X'* positive et inférieure à
~ > tous les éléments de l'intégrale seront positifs et finis j
cette intégrale ne sera pas nulle. Donc l'équation ne peut
être satisfaite à moins que Tune des quantités X', X'^ ne soit
supérieure à l'unité. On en conclut que dans la figure d'é-
quilibre l'un des rapports -> - est supérieur à y/a. Ainsi,
436 MÉCANIQUE RÀTlOHlfELLE.
r ellipsoïde à trois axes inégaux doit différer sensiblement d'une sphère, et, par suite, on ne peut pas admettre que sa figure soit celle de la terre.
Maintenant, X* restant toujours positif, fini, mais quelconque, faisons converger X" vers l'infini. L'intégrale deviendra négative pour une valeur suffisamment grande de
X'*. On s'en assure en développant le rapport ^ 5-
suivant les puissances décroissantes de X"; car alors l'intégrale devient
et sous cette forme on voit clairement que pour des valeurs très-grandes de X", tous les éléments dans lesquels u n'est pas très-petit sont négatifs. Il en résulte que V ellipsoïde à trois axes inégaux peut être une figure d'équilibre.
Ce théorème remarquable a été annoncé par Jacobî , en i834ï dans une lettre à l'Académie des Sciences de Paris. M. Liouville (*) en a aussitôt présenté une démonstration qui a été publiée dans le XXIII* cahier àvL Journal de V École Polytechnique,
Plus tard, M. Meyer, de Kœnigsberg (*), a tiré plusieurs résultats intéressants de la discussion attentive des formules. Ainsi, on reconnaîtra sans peine que, si l'on augmente indéfiniment la somme des moments des quantités de mouvement en même temps que Ton diminue in-
(*) M. Liouville a écrit sur le inôme sujet deux autres Mémoires, qui OBtété publiés dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 18^6 et pour i855. Le dernier e^t relatif à la stabilité de l'équilibre de la masse fluide. Ces deux Mémoires ont été reproduits dans le Journal de Maihé-^ manques, t. XVI et t. XX.
(') Journal de M. CrcUc, t. XXIV, p. i',; 1842.
défiuiment la vitesse de rotation , rellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi devient une aiguille très-allongée 5 tandis que, dans la même hypothèse , rellipsoïde de révolution de Maclaurin devient un disque très-étendu^ dans les deux figures , l'axe de rotation est le plus petit des trois axes principaux. Comme la rotation est nulle à la limite , il s'ensuit que la sphère nest pas la seule figure (V équilibre d'une masse fiuide en repos. Le même géomètre a démontré que , pour un mouvement donné , il n'est jamais plusieurs ellipsoïdes à trois axes inégaux qui soient figures d'équilibre; et même, si la somme des moments des quantités de mouvement devient inférieure à une certaine limite, Tellipsoïde à trois axes inégaux cesse de convenir comme figure d'équilibre. L'ellipsoïde qui était possible au delà de la limite est venu se confondre avec l'ellipsoïde de Maclaurin, quand la somme des moments des quantités de mouvement a diminué jusqu'à la limite qu'elle ne peut dépasser.
Ce dernier résultat se déduit aisément des formules auxquelles nous sommes parvenus. En effet, si l'on se rappelle que X* et X'^ sont nécessairement positifs et que l'une de ces quantités est supérieure à l'unité , on voit de suite que le second membre de l'équation (5) admet un minimum relativement aux variables X' et X'*, lesquelles sont assujetties à vérifier la relation (6). En outre, ce minimum répond à des valeurs égales des deux variables; car la relation (6) et la fonction qu'il s'agit de rendre un minimum ne sont point altérées par la permutation des lettres X* et X". Ces valeurs communes sont les racines supérieures à l'unité de l'équation que l'on obtient en posant X'*= X' dans la relation (6).
Cette équation est la suivante :
A (3 -+- i3a') — (3 4- i4'''H- 3).') arc tangA z=z o.
Elle n'adfnel qu'une seule racine supérieure à l'unité, savoir^
Il s'ensuit que Tellipsoïde à trois axes inégaux devient un ellipsoïde de révolution , où l'excentricité de l'ellipse méridienne est 0,8126, à l'instant où la quantité
"lvf3 ( ^M ) ^*^^®^^^ ^^ croissant la valeur 0,0922^ au delà
l'ellipsoïde à trois axes inégaux est impossible.
Terminons en observant que sur l'ellipsoïde à trois axes illégaux comme sur Tellipsoïde de révolution (page 452), la pesanteur est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan langent à la surface au point considéré. La démonstration est la même pour les deux cas.
4. Un tube coudé à angle droit contient une colonne liquide qui ne peut se diviser. Une des branches étant horizontale et F autre verticale , on fait tourner le tube av^ec une . vitesse constante autour d'un axe vertical qui passe à V extrémité de la branche horizontale y et Véquilibre s établit. Trouver la relation qui existe entre la vitesse angulaire o) , la hauteur h de la colonne verticale, la longueur l de la colonne horizontale et la longueur a de la branche horizontale du tube.
On trouve
DucaEST , Essais sur les Machines hydrauliques , p. 229; 1777.
5. Une demi-sphère creuse et homogène, renversée sur un plan horizontal, est exactement remplie d*un liquide homogène^ de densité connue p. Tout le système tourne autour de l'axe de la demi-sphère ayec une vitesse an-
gulaire constante et donnée w. Déterminer le plus petit poids que puisse as^oir le vase, sans que le liquide s'écliappe en le soulevant.
Nommant a le rayon intérieur de la demî-sphère , on trouve que le poids doit être au moins égal à
•6. Un cylindre circulaire et vertical , exactement rempli d'un liquide homogène de densité connue p , est fermé par un disque homogène^ égala la base de la sur/ace interne, et mobile autour d'une charnière fixée à la paroi. Le système tourne autour de l'axe du vase ai^ec une vitesse angulaire constante et donnée «. Déterminer le plus petit poids que puisse a^^oir le coui^ercle, sans que le liquide s'échappe en le soulevant.
Nommant a le rayon inlérieur du cylindre, on trouve que le poids du disque doit être au moins égal à
•j ftp w' fl".
7. Un cylindre circulaire et vertical ^ contenant une quantité de liquide dont le poids joint à celui du vase est égal à Q, est lié à un poids mobile P par Vintermédiaire dCun cordon sans masse qui passe sur une poulie fixe. Le système monte ou descend sous faction de la pesanteur, pendant que le vase tourne autour de son axe ai^ec une vitesse angulaire constante o). On suppose le liquide parvenu à Vétat d'équilibre dans lequel sa figure est insfaiixible, et Von demande de déterminer la forme de la surface libre.
Celte surface csl uu paraboloïde de révolution autour de
46o MÉCÀMQUE RATIONNELLE.
l'axe du vase ^ le paramètre de la parabole génératrice est
8. Un vase de dimensions connues , qui a la forme d*un cône droit, ouvert par sa base, tourne avec une vitesse angulaire constante co autour de son ajce qui est vertical. On demande quel est If* volume du liquide quil peut contenir dans cet état de rotation ^ et quelle est la plus petite vitesse de rotation qui ne permette à aucune molécule dujluide de rester dans le vase.
Soient h la hauteur du cône et a le rayon de la base.
Pour une vitesse de rotation quelconque &> , le volume du liquide contenu dans le vase est au plus égal au volume qui remplirait le vase, diminué de —^
La plus petite vitesse o) qui chasse nécessairement tout le liquide hors du vase , est
9. Une sphère creuse y exactement remplie d'un liquide ^ et percée cjHun petit orifice à son extrémité inférieure, tourne uniforméfnent autour de son diamètre vertical. On demande quelle est la vitesse de rotation nécessaire pour empêcher le liquide de s^ écouler tout entier par V orifice.
Si Ton nomme a le rayon de la sphère , on trouve que la vitesse angulaire cherchée est égal au rapport —i*
