MOUVEMENT PERMANENT DES LIQUIDES ET DES GAZ SANS FROTTEMENT

Considérons un point fixe de l'espace occupé par la masse fluide en mouvement.

Soient

x^j^ z les coordonnées de ce point-,

p la pression rapportée à Puni té de surface au même point -,

p la densité du fluide;

r sa vitesse ^

X, Y, Zles composantes parallèles aux axes de la force accélératrice extérieure qui sollicite les molécules du fluide à l'instant où elles passent au point considéré.

On a r équation

(A) dpzzi^ (xdx-hYdy-hZdz-^ l"^'"")'

d'où l'on voit que le mouvement permanent serait impossible, si lLdx-\-Ydjr-+-Zdznéiah pas la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x,y, z\ considérées comme variables indépendantes.

Supposons qu'il s'agisse d'un fluide sollicité par la seule force de la pesanteur, dont toutes les molécules traversent successivement deux plans horizontaux, dans des directions normales et avec une même vitesse. Si l'on nomme (ù Taire de la section faite dans la masse fluide par l'un des deux plans , u la vitesse et p la densité correspondantes, coo , ^0 et po les qiiantités analogues pour la section faîte par le second plan, on aura l'équation

qui, jointe à la formule (A) et à la relation qui lie entre elles la densité et la pression, suiEra pour déterminer toutes les circonstances de Técoulement à travers une section, lorsque l'état du fluide sur l'autre section sera connu.

S'il s'agit d'un liquide y nommant/? et ;?o les pressions correspondantes aux deux sections, etz la distance de la section w au-dessous du plan de l'autre section, on aura

La quantité z -h — — - se nomme la charge sous laquelle a lieu l'écoulement.

HYDTLOOITNAMIQUB. 4^5

Cette formule peut, sans erreur notable, s'appliquer au cas où les sections co et co^ ne sont pas horizontales, pourvu que dans chacune d'elles les différences de niveau entré les différents points soient toutes très-petites^ car alors il n'y a pas grande erreur à supposer que la pression et la vitesse soient les mêmes en tout point de chaque section.

Quand la section ot)o est horizontale et beaucoup plus grande que la section w, on peut négliger le rapport

— -, alors la formule exprime le théorème de Torricelli :

* Lorsqu'un liquide , maintenu dans un vase à un nii^eau constant, s'écoule par un petit orifice dans un milieu oii la pression est la rhèmé quà la surface de niveau, la vitesse du liquide à sa sortie est égale à celle qui serait due à la hauteur du niveau.

Ce théorème se vérifie facilement par Texpérience, En effets supposons qu on ait placé sur un plan horizontal un vase prismatique, où le liquide soit maintenu à un niveau constant, tandis qu'il s'échappe par un petit orifice percé dans Tune des faces verticales. Soient z la hauteur du niveau au-dessus de l'orifice,^! la hauteur de l'orifice audessus du plan horizontal, et a a la distance de la face du prisme au point où la veine tombe sur le plan horizontal quand le mouvement permanent est établi.

Si le théorème de Torricelli est applicable, le carré construit sur la ligne a doit être égal au rectangle construit sur les lignes z ta z^. Car chaque molécule de la veine liquide peut être considérée comme un projectile , lancé de l'orifice dans une direction horizontale avec la vitesse v^ 2 g^z. Par suite, en négligeant la résistance de Pair, qui a peu d'influence dans un petit parcours, la mo-

lécule liquide emploie le temps pour parcourir la