II. 3o
distance horizontale sa, et le temps i/ — !^ pour parcourir la distance verticale ^, sous Tinfluence de la pesanteur. Egalant ces deux temps, il vient
On trouve que cette relation se vérifie quand Torifice est percé en mince paroi, c'est-à-dire , quand l'épaisseur de la paroi est moindre que la moitié de la plus petite dimension de l'ouverture. Si, pour des parois plus épaisses, on avait a^ = ^z — e) z^ , la vitesse de sortie serait égale à ^2g(z — g), et, par suite, la perte de force vive initiale par unité de poids de liquide écoulé serait égale à 2e.
Dans le cas d'un orifice percé en mince paroi, le volume V du liquide écoulé pendant le temps t serait (ù \2gz /, si l'on pouvait supposer, comme nous l'avons fait , que la vitesse des molécules est exactement perpendiculaire au plan de Torifice. Mais on c(mçoit que les molécules liquides, se rendant à l'orifice de tous les points du vase, y arrivent en général avec une direction inclinée, en décrivant une ligne courbe \ de là naissent des forces centrifuges qui augmentent la pression à l'orifice de dehors en dedans et , par suite, diminuent la quantité de liquide qui s'écoule. En effet , on reconnaît que le volume du liquide écoulé pendant le temps t n'est qu'une fraction de la quantité tù^igz f, égale sensiblement à 0,6a, tant que le diamètre de l'ouverture n'excède pas 10 millimètres. D'un autre côté , on observe que la veine liquide se contracte à une petite distance de Torifice, égale à peu près au diamètre de l'ouverture, et conserve au delà une section constante, dont l'aire est à peu près les 0,64 de Taire de l'ouverture. .D'après cela, on peut substituer l'aire de la section contractée à celle de l'orifice dans la
HYOKOÏ)VNAMlQtJÊ. 4^7
formule \ =^(m> ^2 gzt-^ ou bien conserver l'aire de Forifice, et multiplier le volume du liquide calculé dans cette hypothèse par le coefficient o,6a : dans les deux cas on arrivera à des résultats sensiblement conformes à ceux de r expérience.
Torricelli énonça la loi de l'écoulement des liquides à la fin de son Traité De motu gra^ium naturaliler accélérâtes publié en i643 ; elle n'était pour lui qti'un résultat de Tobservation. Newton j dans ses Principes (liv. II, pr. 36), et Varîgnon, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année fjoZ (p. 238), s'efforcèrent de tirer cette loi des principes admis en mécanique^ mais leurs raisontiements ne furent point à Tâbri d' objections graves.
Toutefois, les recherches de Newton ne furent point infructueuses-, elles Tamenèreïit à découvrir le phénomène de la contraction de là veine. Ses observations à ce sujet Itti fournirent une valeur du coefficient de contraction , peu diflërente de celle qu'on adopte aujourd'hui.
Ce fut Daniel Bernoulli qui le premier démontra le théorème de Torricelli d'une manière tout à fdit satisfaisante ; et même il établit la formule citée précédemment, qui est plus générale. Sa démonstration n'est qu'une simple application du principe des forces vives. Elle parut d'abord dans les Commentaires de SainUPéters^ bourg y en 1727 (p. ui), et fut développée pluâ lard dans V Hydrodynamique du même auteur.
Considérons maintenant ua fluide élastique.
Posant /E7 = /r p, et conservant d'ailleurs la même notation, on arrive à la formule
2 fi'z -H 2 /• loi; ^ P
468 MÉCIMIQUE KATIOMIELLE.
Lorsque la dis lance z des deux sections n'est pas trèsconsidérable, on peut négliger le terme 2 gf>z, à cause de
la petitesse du rapport j*
Cette formule s'applique au cas où les sections ne sont point horizontales, pourvu que leurs dimensions verticales ne soient pas considérables.
Si de plus le rapport— est très-petit, la formule peut
se réduire à celle-ci :
■^sl-
a/log^.
1 . On suppose un vase dont la surface intérieure est uri demi-ellipsoïde ouvert suiyant un plan principal. L* ouverture est horizontale^ et la concavité tournée vers le haut. On demande de couper le vase par un second plan horizontal^ de manière qu'en maintenant le vase toujours rempli d'un liquide^ la vitesse du liquidée qui s'écoule par Touverture inférieure soit un minimum. On demande encore de déterminer le plan sécant par la condition que le volume du liquide qui s^écoule dans un temps donné soit un maximum.
Soient a, &, c les demi-axes de rellipsoïde, le dernier de ces axes étant vertical , et jc la distance du plan sécant au niveau constant du liquide.
Là vitesse du liquide, à sa sortie par l'ouverture inférieure, est
2gg
Cette vitesse sera un minimum quand le binôme c*« — z^ sera un maximum, c'est-à-dire quand on aura
. = ey/î.
HYDRODYNAMIQUE. 4^9
Le volume du liquide qui s'écoule dans Tunité de temps est
Ce volume sera un maximum en même temps que la fraction
c'c8t-à-dire quand on aura
MosELKY*s Hydroftatics y p. i65 et 166.
2. Déterminer le volume du liquide qui s^ écoule dant un temps donné, par une oui^erture circulaire de dimensions finies, pratiquée dans la paroi verticale d^ un vase où le niueau est maintenu constamment à la même hau-teur.
Soient r le rayon de Touverlure circulaire, nr la distapce du centre de ce cercle au niveau du liquide , et 0 Fangle (i'un rayqn quelconque avec la verticale qui est dirigée de bas en haut.
Décomposons l'aire de l'ouverture en tranches horizontales infiniment minces. L'aire d'une tranche sera
2 rsinôX— d.rcosQ = ar'sin'Ô^Ô,
et sa distance au niveau ,
nr — r cosô.
Le volume de liquide qui s'écoule pendant \ç teiups t, à travers l'une de ces tranches, est
t ^2 g {nr — r cosB) 2 r'sin'9r/9;
4^0 MÉCANIQVE RATIONNELLE.
et, par saite, le Tolame V du liquide qui s'écoule daus le même temps par Fouverture entière est égal à
Or, d'une part ,
^ rosOy I cosO
I cos'O 1 . 1 .3 cos'Ô
.1.3.5 cos^e
