J^OUVEMENT PERMANENT DES LIQUIDES AVEC FROTTEMENT

\ . EJfet d'un élargissement brusque de section dans une conduite d'eau. — Ejffet d'un coude.

— Considérons un liquide arrivant par l'orifice AB dans une conduite CDB'A' d'un plus grand diamètre.

Nous supposerons que les sections AB, A'Bf sont assez petites, ou du moins, que la charge sous

HYDRODYNAMIQUE. 4 73

laqlielle le liquide s'écoule est assez grande relativement à l'aire des sections, pour qu'on puisse considérer comme égales les vitesses correspondantes à tous les points d'une même section, lors même que son plan ne serait pas horizontal. Nous admettrons encore que le liquide traverse perpendiculairement les deux plans AB, A'B'5 et nous ne tiendrons point compte ici du frottement qui s'exerce contre les parois.

Soient . |p la densité du liquide ;

(ù Taire de la section AB;

p la vitesse et p la pression moyenne ( ^ ) sur la même sçction j

eo', j^' et ;?' les quantités analogues pour la section A'B';

z la distance du centre de gravité de l'aire w' au-dessous du plan horizontal qui passe par le centre de gravité de Faire o) ;

AB ba la colonne liquide qui traverse l'ouverture AB pendant le temps très-court dt ;

A'B'i'a' la colonne liquide qui traverse la section A'B' dans le même temps.

La loi de l'écoulement nous sera donnée par l'équation des forces vives , jointe à la relation

(i) wp = &)'(/.

L'accroissement de force vive que reçoit pendant l'instant dt la masse liquide qui au commencement de cet instant occupait l'espace CDB' A', se compose delà force vive que possède le liquide A'B' b' a^ à la fin de l'instant dt^ savoir ptù^ vf^dt.i^'^^ moins la force vive que possédait le

(•) Voir p. 383.

474 MÉCANIQUE nAT10Nl«BI«LE.

liquide AB ba au commencement de TinsUnl r//, savoir pci>^'//f.M*, plus la différence entre la force vive du liquide qui occupe Tespace CA^iiBDB'A' à la fin de riu9tant dt^ et la force vive du liquide qui occupait le même espace au commencement de Tinstant dt*^ or cette différence est nulle en vertu de la permanence du mouvement. Ainsi, l'accroissement total de force vive pendant Tinstant dt est

Les travaux des forces qui agissent sur la même masse liquide pendant l'instant dt sont :

1°. Le travail de la pression p, savoir (ùp,udt*^

2^. Le travail résistant de la pression p', savoir — tù' p' ,{f' dt ou — tùp' .udt*^

3**. Le travail de la pesanteur. Ce travail est la différence entre la somme des produits que l'on obtient en multipliant le poids de chaque molécule de la masse liquide CDB' A' par la hauteur de cette molécule au-dessus d'un plan horizontal, et la somme semblable relative à la masse liquide CA ah BD b* a' et au même plan horizontal. Or cette différence est évidemment égale au produit du poids de la masse liquide KRha par la hauteur de son centre de gravité au-dessus du plan horizontal , moins le produit du poids de la masse liquide A' B' A' a' par la hauteur de son centre de gravité au-dessus du même plan horizontal. Ces deux masses liquides étant des tranches infiniment minces et de même poids , le travail dont il s'agit est

gptùvdt.z,

4^. Le travail résistant des réactions mutuelles qui se produisent entre les molécules liquides. Dans l'ignorance où nous sommes relativement à la loi des actions moléculaires , il nous est nécessaire , pour calculer ce travail ,

HYDRODYNAMIQUE. 4?^

d'introduire quelque hypothèse en harmonie avec les résultats de Texpérience. Admettons d'abord que les molécules liquides puissent être assimilées à de petites billes dépourvues d'élasticité, qui se choquent sans frottement. Alors la masse liquide qui occupe l'espace CDB'A' au commencement de l'instant dt^ éprouvera pendant cet instant , par l'effet des chocs mutuels de ses molécules , une perte de force vive dont la mesure , donnée par le théorème de Carnot, est la force vive due aux vitesses perdues, savoir p(ù{fdt,{y — i/)'. Le travail résistant dû aux réactions mutuelles des molécules sera donc

Nous pouvons arriver au même résultat par d'autres considérations. Pour cela, observons d'abord que les réac-r tions mutuelles des molécules ne seraient point changées, si tout le système était animé d'une vitesse uniforme, égale et contraire à la vitesse de la tranche A'B', en sorte que les molécules situées sur cette tranche soient dans un état de repos absolu. Ainsi, nous pouvons admettre que tout se passe dans la colonne liquide CDB' A' à peu près comme dans un vase en repos , à large section , contenant une certaine quantité de liquide, et qui reçoit à sa surface une petite veine liquide animée d'une vitesse égale h y — <^'. Or, dans ce cas, on observe que le liquide reste sensiblement immobile dans l'intérieur du vase; d'où il résulte que la force vive détruite dans un temps donné par les réactions moléculaires e&t sensiblement égale à la force vive du liquide qqi arrive dans le même temps.

D'après cela, les actions moléculaires qui s'exercent dans la masse liquide CDB' A' lui font perdre une force viye égale à ptùVfît. [v — j/)^, et le travail correspondant

/iy6 MÉCANIQUE UATlONliELLE.

esl

pon>dt.{u — i»')%

comme nous Tavons déjà trouvé.

Ajoutant tous les travaux obtenus, et égalant le double de cette somme à la force vive perdue, il vient Téquation cherchée,

Le terme ( • . — - j , qui provient seul des réactions

moléculaires, est égal à- la hauteur due à la vitesse i^ — i^'. Il en résulte ce théorème important : Le passage brusque de la vitesse v à la vitesse plus petite v* produit une perte de charge égale à la hauteur due à la différence de ces vitesses»

L'équation précédente, jointe à la relation (i) , fait connaître la vitesse i^' çn fonction des pressions p, p'i

Nous avons supposé que les molécules liquides traversent l'ouverture AB avec une vitesse perpendiculaire au plan de cette section. Si le liquide est conduit vers cette ouverture par une paroi continue, cette supposition sera vérifiée; mais, si la forme de la paroi est discontinue, comme dans le cas de la figure, alors la veine liquide se contractera au delà de l'ouverture, et la supposition de la perpendiculariié des vitesses ne sera plus vénifiée pour la section AB , mais bien pour la section de la veine contractée.

Dans ce cas, on imaginera que la veine liquide soit

HYDRODYNAMIQUE. 477

entourée* d'une paroi très-mince, ouverte suivant la section de la veine contractée, et l'on substituera cette section à la section A6 dans tous les raisonnements qui précèdent. Les formules resteront les mêmes, si ce n'est que les quantités p^ z^ v^ se rapporteront à la section contractée., et que l'aire &) de l'ouverture AB sera remplacée par celle de la section contractée Xw, X désignant le coefficient de contraction.

Lapressionp' peut se mesurer facilement, en ajustant un t\jbe de verre vertical sur le contour de la section A'B', et mesurant la hauteur à laquelle le liquide s'élève dans ce tube. Il n'est pas aussi facile de mesurer la pression p qui s'exerce dans la veine contractée^ mais il est aisé d'obtenir une formule où cette pression soit remplacée par celle qui s'exerce dans une section quelconque A oBq, située en amont de l'ouverture AB.

Soient

iù^ l'aire de la section AoB^ ;

i^o la vitesse et /^o la pression moyenne sur la même section;

Zfi la hauteur du centre de gravité de cette section audessus du plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section de la veiné contractée.

Appliquant le théorème des forces vives à la masse liquide comprise entre la section AqBo et la section de la veine contractée, on trouve l'équation

P qui, ajoutée à l'équation (2), donne

(3) p'»- ç^^ = ^piileL^ 2g {z -f. zo) - (p -^ c'y. p

Si Ton élimine p» et ^'o à l'aide des relations

on obtient la formule

on il ne figure plus que des quantités facilement mesurables.

La formule principale (2) a été donnée en premier lieu par Borda , dans les Mémoires de VAcudémie des Sciences de Paris, 1766, page Sgo. Elle s'applique à tous les cas où quelque étranglement dans la colonne liquide produit des mouvements irréguliers et tumultueux. On voit par là avec quel soin il faut éviter les changements brusques de section dans les tuyaux de conduite, si l'on ne veut pas diminuer rapidement la dépensé.

Plus généralement , toute cause qui produit ime agitation irrégulière dans la colonne liquide, diminue sa force vive et, par suite, diminue sa vitesse. Les coudes brusques produisent cet effet à un haut degré; il faut donc les éviter avec le même soin que les étranglements. Toutefois on n'a pas encore appliqué le calcul avec succès à la détermination de la perte de charge occasionnée par un coude.

Des expériences de Dubuat ont conduit Navier au résultat suivant : si le coude est arrondi , et que Ton nomme c la longueur de Tare de cercle qui est tangent aux extrémités des deux parties droites de l'axe du tuyau , r le rayon du cercle , o«> l'aire de la section du tube coudé supposée constante et p» la vitesse moyenne sur cette section, la perte de charge occasionnée par le coude sera

{o,oo3q-+- 0,0186/*) ~- — ^

le mètre étant pris pour unité de longueur, et la seconde pour unité de temps.

Celte formule n'a certainement pas toute la généralité

HYDRODYNAMIQUE. 4yg

désirable, puisqu'elle est indépendante du diamètre du tuyau. L'expérience montre que la perle de charge est négligeable, lorsque le coude est bien arrondi, et que le rayon du cercle est plus grand que dix fois le diamètre de la conduite.

2. Influence d'un ajutage cylindrique sur la dépense d^un orifice, — Expérience de Venturi.

— Quand le liquide commence à couler dans un aj d tage cylindrique , il ai rive en remplissant tout le cylindre , parce que les premières molécules qui se présentent ont peu de vitesse, et par suite peu de force centrifuge tendant à contracter la veine.

Mais, à mesure que la vitesse augmente, les molécules liquides arrivant dans l'ajutage se pressent plus vivement vers l'axe du cylindre, et il tend à se former un vide autour de la section contractée. En même temps, la pression atmosphérique qui s'exerce à la sortie, refoule le liquide et le force à remplir encore tout Tajutage. De ces deux actions combinées, il résulte que la veine, se contractant à une petite distance de l'embouchure, s'y trouve entourée d'un anneau de liquide à l'état de remous sous une pression inférieure à la pression atmosphérique, et sort en remplissant tout le cylindre. Comme d'ailleurs il doit passer dans le même temps une même quantité de liquide à travers chaque section, il y a nécessairement changement rapide de vitesse dans l'ajutage, accompagné de mouvements irréguliers, et îL en résulte une perte de

48o MÉCÀHIQUE RATIONNELLE.

force vive, qui se calcule à Taide du théorème démontré au numéro précédent.

Admettons, pour simpIiCer, que le liquide arrive d'un vase à large section , ouvert dans l'atmosphère; et soient

61 Taire de la section de l'ajutage^

û)o Taire de la section horizontale du vase faite au niveau du liquide;

Zo la hauteur du niveau dans le réservoir au-dessus du centre de gravité de l'ouverture par laquelle le liquide débouche dans l'atmosphère ;

ï. le coefficient de contraction tte la veine dans l'ajutage;

i^ la vitesse du liquide à sa sortie.

Appliquant la formule (4) clu numéro précédent au liquide qui est contenu dans le réservoir et dans Tajutage,

et négligeant le rapport — > il vient

Si Ton pose X = 0,62, on obtient pour la vitesse du liquide à sa sortie de Tajutage

Le volume du liquide qui s'écoule pendant l'unité de temps, ou la dépense de l'orifice , est

Sans ajutage on aurait eu

u' =z ^2gZQy et V = o,62 w v^2g^;

la vitesse eût été plus grande, mais la dépense eût été plus petite dans le rapport de 62 à 85.

Si le frottement du liquide contre la paroi de Tajutage

HYDRODYNAMIQUE. 48 1

peut se négliger ) ces résultats subsistent quelle que soit la longueur du tuyau, pourvu qu elle soit au moins égale au double du diamètre. Nous verrons plus loin comment on peut tenir compte du frottement contre la paroi du tuyau quand sa longueur est considérable.

Les expériences donnent en moyenne pour la dépense des ajutages cylindriques

V = 0,82» vag'Zo.

La petite différence qui existe entre cette formule et celle que le calcul nous a fournie , peut être attribuée aux frottements contre les parois et aux petites inégalités entre les vitesses des filets liquides qui composent la veine ( * ) . •

(*) Il est aisé de voir que la supposition d'une vitesse commune à tous les points d'une même section , égale au quotient de la dépense par l'aire de la section, donne toujours une force vive inférieure à celle qui existe réellement quand les vitesses sont inégales.

En effet, soient c la vitesse fictive commune à tous les points de la section <a, u la vitesse réelle correspondante à l'élément dta, et s la différence w — p. La force vive réelle et la force vive calculée dans l'hypothèse d'une vitesse commune seront respectivement proportionnelles à fu'doi et v'cj.

Or, on a

d'ailleurs

ôu -h e = 21* -^ Uy

et l'intégrale f edoi est nulle puisque la dépense calculée d'après les vitesses réelles, fuda, est égale à la dépense calculée dans l'hypothèse de la vitesse commune, f udoi. Donc il reste

f u*dca=zv*ca-i- f s*{2v-^ u)du;

comme 2('+u est une quantité essentiellement positive,* il s'ensuit que la différence f u^dùi^ v^ca s'exprime par une intégrale dont tous les éléments spnt positifs.

Il en résulte que dans l'équation (i) le coefficient de v'^ est un peu trop faible quand on se place dans l'hypothèse d'une vitesse commune à toutes les molécules d'une même section. Par suite, la valeur de v' tirée de cette équation est un peu trop considérable.

Cette, remarque est de M. Poncelet; elle s'api:)lique à toutes les formules obtenues dans cette Section de l'ouvrage. •-' -