Trouver toutes les surfaces de révolution qtii

HYDROf^YjyAMIQCE. 5o5

jouissent de cette propriété, qu un fluide animé d^une vitesse parallèle à Vaxe de figure , exerce dans la même direction^ sur la portion de surfaee comprise entre deux parallèles quelconques, une pression qui soit un minimum.

L'axe de révolution étant pris pour axe des x , la pression exercée dans le sens de Taxe est proportionnelle à rintégrale

dx on ' "

prise entre des limites constantes.

Il s'agit de déterminer la relation qui doit exister entre y et X pour que cette intégrale soit un minimum.

Ce problème se résout par le calcul des variations. Nous considérerons x et y comme des fonctions d'une variable indépendante choisie à volonté. Nous n'aurons rien à changer dans la fonction comprise sous le signe

> puisqu'elle ne contient que des différentielles premières. Soient L, L', M et M' les dérivées partielles de cette fonction prise par rapport à x, y, dx et dy.

Les équations de la courbe génératrice seront

dY Or, si Ton pose -^ == y», on trouve

2 rp'

5o6 MÉCANIQUE HATIQNNELLE.

D'après ces valeurs, la formule (i) donne immédiatement

(3) ^yp'=a(i^p^)\

a désignant une constante arbitraire.

Cette nouvelle équation permet d'éliminer y de la valeur de M', en sorte que Ton a

Substituant celte valeur et celle de L' dans la formule (îi), il vient

Cette équation est vérifiée, soit par p =« , ce qui représente un cylindre, soit par

(4) . = i+î(,og;,4-^,H-A),

b désignant une nouvelle constante arbitraire.

Occupons-nous de cette dernière solution seule intéressante.

Si Ton éliminait p entre les équations (3) et (4) , on aurait l'équation finie de la courbe génératrice ^ mais cette élimination n'est point nécessaire pour trouver la forme de la couibe.

Remarquons d'abord que l'on peut supposer la constante a positive, sans nuire à la généralité de la solution; car le signe de cette constante ne dépend que du sens suivant lequel on compte les coordonnées positives. La constante b

hydhodynamiqûe. 607

dépend du point de Taxe de révolution qui est pris pour origine des coordonnées ; on peut donner à celte constante telle valeur que l'on voudra , sans que la forme de la courbe soit changée.

Ceci posé 5 l'équation ( 3 ) peut s'écrire

Pour une valeur positive de - cette équation ne peut.

pas être satisfaite par des valeurs négatives de p. Lorsque

- est supérieur à 2, la valeur yt? =ri, substituée dans le

premier membre, dgpne un résultat négatif; donc il est alors deux valeurs positives de p qui vérifient l'équation, La règle de Descartes montre qu'il n'y en a jamais un plus grand nombre. Les valeurs de x qui correspondent à ces deux valeurs de p sont réelles , d'après l'équation (4). Donc la courbe se compose de deux branches infinies.

Lorsque - est très-grand, les valeurs p = -? ^ = i/-

rendent négatif le premier membre de l'équation (5) 5 on en conclut qufe les deux valeurs correspondantes de p sont Tune très -grande, l'autre très-petite. C'est-à-dire que les deux branches , à mesure qu'elles s'éloignent, tendent à devenir parallèles , l'une à l'axe des / , T autre à l'axe des X. Elles n'admettent point d'asymptotes, car x converge vers l'infini lorsque ^9 augmente ou diminue indéfiniment.

Chacune des dérivées ^' ^' n'est annulée que par

une seule valeur positive de p^ et cette valeur est la même pour les deux dérivées, savoir /? = v/3. La valeur

5o8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

correspondante de - est — p* Cette valeur rend égales les

deux racines réelles de l'équation (5). Comme alors il ne répond aux deux racines qu'une seule valeur de or, il s'ensuit que les deux branches de la courbe viennent se toucher l'une l'autre en un point A , à ce point leur inclinaison sur l'axe des x est de 60 degrés. En outre, la courbe n'a pas de points d'inflexion. Le point A est un point de rebroussement, car l'équation (5) n'est vérifiée par aucune

valeur réelle de ;? lorsque - est ipférieur « — y=.* Ce point

de rebroussement est du premier genre , puisque, à partir de ce point, y croit sur l'une des branches et décroît sur l'autre.

La plus petite valeur de y^ — =9 ne peut être nulle;

car, si l'on fait a = o , la surface se réduit à un plan perpendiculaire à l'axe, et alors la pression est évidemment un maximum et non un minimum. Il suit de là que la surface de moindre pression ne peut jamais recouvrir entièrement le cercle qu'on obtient en la coupant par un plan perpendiculaire à l'axe. Mais on peut faire en sorte que l'ouverture centrale soit aussi petite que l'on veut. Il suiEt pour cela de donner à la constante a une valeur très-petite. Cette faible valeur de la constante n'empêche pas la surface de s'étendre indéfiniment en longueur et en largeur; car quelque petite que soit cette constante, pourvu qu'elle ne soit point nulle, on peut toujours assigner une valeur de p suffisamment grande pour que x et y dépassent toute quantité donnée.

Ce problème est l'un des premiers exemples du calcul des variations que Ton rencontre dans les écrits des géo-

HYDRODYNAMIQUE. Sop

mètres du dernier siècle. C'est à Newton (*) que l'on en doit la première solution ; il énonça , sans la démontrer, la propriété des tangentes représentée par l'équation (3). Plus tard Fatio Duiller (') donna une démonstration analytique , mais elle est fort compliquée. L'Hôpital (') la simplifia beaucoup. Jean Bernoulli (*) se consola de n'avoir pas été le premier à résoudre cette intéressante question, en se récriant sur la facilité du problème, qu'il dit avoir trouvé sans plume ni papier pendant qu'il reposait sur son lit.

On trouve dans le Traité du Native j de Bouguer, et aussi dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris y pour l'année i-^SS , la solution d'un problème du même genre que celui qui nous occupe : Une base qui est exposée au choc d'unjluide étant donnée ^ trouuer le conoïde dont il faut la cous^nr pour que V impulsion soit la moindre quil est possible. Bouguer entend ici par conoïde une surface telle , que les sections parallèles à la base soient semblables, et soient percées en des points homologues par une même perpendiculaire à la base; cette droite est celle qu'il nomme Yaxe du conoïde. Il arrive à ce résultat digne de remarque, que le conoïde de moindre résistance au mouvement suivant Taxe, est aussi celui pour lequel la résistance suivant l'axe est un minimum quand le mouvement est oblique; et spécialement, si la base est un demi-cercle et que l'axe passe au centre , la résistance totale est un minimum quel que soit le mouvement. *

(') Principia^Mh, II, prop. 34, schol.

( ') De murorum inclinatione fruetiferas ad arbores sustinendas; Londres,

(') Mcm. de l'Acad. des Se. de Paris, 1699, p. 107.

{*)Acta erudilorum, 1699, P- 5i3, et 1700, p. 208. — Opéra, t. I, p. 307 et suiv.