DIO
MRC4NIQUE RATIONNELLE.
3. Déterminer la figure d'équilibre que prend une masse liquide placée entre un plan honzontal H, un pian vertical Y et deux plans M, M' perpendiculaires aux premiers, lorsquelle est soumise à V action d'un courant d'air dirigé perpendiculairement au plan V.
Il nous suffit de déterminer la section ÂP faite dans la surface libre de la masse liquide par im plan pa{*aUèle aux deux plans M, M'. Prenons l'origine des coordonnées au sommet A , Taxe des x dirigé dans le sens de la pesanteur et l'axe des y dirigé en sens contraire du courant.
Soient s Tare de la courbe AP compté à partir du point A, (7 la densité du liquide, p sa pression, v la vitesse du courant, p la densité de l'air et k la constante définie dans les préliminaires.
La pression étant nulle au sommet A , on a , sur un point quelconque P de la courbe , en vertu de la pesanteur du liquide ,
Au même point, la pression exercée par le courant d'aîrest Égalant ces deux pressions, et posant, pour abréger,
il vient
= 2fl,
tlx^
HYDRODYNAMIQUE . 5 LI
OU bien
Cette équation a pour inté£;ralje, conuneTon sait,
y=, ^lax — j:' -f- « arc ces -
On n'ajoute pas de constante, parce que la courbe passe à l'origine .
La surface libre du liquide est donc une surface cylindrique qui a pour base une cycloïde -, le rayon du cercle
générateur de la cycloïde est -^—t
Euler, à qui nous empruntons ce problème, a consi* déré le cas où le courant d'air est incliné à l'horizon.
ËULER, Aeta Acad, Petrqp. 1777, part. I, p. 190.
4. Déterminer la*forme et le mouvement d'une bulle qui s^ élevée à traitera un liquide.
Soient QQ' le niveau du liquide, ABA' un demi-méridien de la bidle.
Prenons pour axe des x l'horizontale OX qui passe au point B où la tangente au méridien est verticale. Nommons
y k hauteur au-dessus de cet axe d'un point P appartenant à la branche supérieure *de la courbe méridienne;
y la distance au même axe d'un point P' de la branche inférieure;
b la distance OA ; b' la distance OA' , 5 l'arc AP;
z le distance du point O au-dessous du niveau QQ' *, p» la vitesse du point O ou — — \
0 la densité du liquide ambiant ; (7 celle de la bulle.
Nous admettrons que la pression exercée par le liquide ambiant sur chacun des éléments de la surface de la bulle, est égale à la pression qui aurait lieu si la bulle était en repos, plus la pression due à la vitesse relative. Nous supposerons, comme à l'ordinaire, cette seconde partie de la pression proportionnelle au carré de la vitesse. De plus, comme la bulle se déforme lentement, nous pourrons admettre, sans grande erreur, que chaque point de la surface est animé de la même vitesse que le point O.
Ceci posé , nommant k la constante définie dans les préliminaires, les pressions normales exercées aux points B, A, P, rapportées à l'unité de supface, seront respectivement
ë?^^ ëpi^ — ^) -^ ^p^S 8p{^ -y) + ^'P*''57r
Or la pression au point P est égale à la pression au point A,- plus la pression due à une colonne fluide de même nature que la bulle et d'une hauteur égale à la différence de niveau h ^—y. On a donc
gp[z — j) ^A^u' — = g^/) (z — *) -+- /-^«^'.-f- ga ( b —/).
De même, en comparant les pressions exercées aux points PetB, on trouve
(0 8p{^ - r) H- ^p^' -jj, = gp* — g^X'
HYDRODYNAMIQUE. 5l3
Ces équations donnent les suivantes :
La dernière montre que la branche supérieure APBest une demi-cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre b roulant sur l'horizontale OB.
Considérons dans la bulle un 61et vertical PP' de trèspetite section w. Le poids de ce filet est wg^tj ( y -h/') , la pression qu'il supporte au point P dans le sens de la pesanteur est (i) (ùg [pz — ay), et la pression verticale qu'il supporte au point P' est wgp {z-hy^) 5 donc la force accélératrice qui tend à le soulever a pour valeur
On trouverait de même , pour l'expression de la force accélératrice qui tend à soulever le filet central AA',
^ fT b-hb''
Les accélérations verticales des diverses molécules de la bulle étant peu différentes les unes des autres , on peut égaler les forces accélératrices des deux filets. Il en résulte l'équation du mouvement,
et ai>ssî
On voit par cette dernière relation que la branche infé-
5l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Heure A'P'B est une demî-cycloïde dont les ordonnées verticales ont été diminuées dans un même rapport.
Il reste à déterminer la quantité i'. On y parviendra en égalant la masse connue de la bulle , M, au produit de la densité ff et du volume calculé en fonction de i' à Taide des équatioTis de la courbe méridienne. L'équation est
Remplaçant y par -r Jt J par - (i-hcosot)), x par
- (^ -+- sinw) , et intégrant par rapport à w entre les limites o et TT, on trouve
et , par suite ,
D'après cette valeur et celle de b , l'équation du mouvement devient
Si la bulle est liquide , l'équation est de la forme dv
A et B désignant des constantes. On sait Fintégrer une première fois en quantités finies.
Si la bulle est gazeuse , on devra poser a = hz^ h étant
HYDRODYNAMIQUE . 5 I 5
une constante, puis remplacer p* par — --•, alors on aura
une équation du second ordre, où ne figureront que les variables zelt.
Maupertuis (*) a déterminé le mouvement d'une bulle d'air en la supposant sphérique. Cette hypothèse étant certainement bien éloignée de la vérité, l'Académie de Bruxelles considéra le problème comme non résolu , et le mit au concours pour Tannée 1828.
Pagahi, /ottr/?^/ de M. Crelle, t. XI, p. 384; ^834-
5 . On suppose un liquide oscillant sous V action de la pesanteur, dans un siphon qui est formé de deux tubes verticaux réunis par un tube horizontal de même diamètre. Il s'agit de démontrer que la pression moyenne exercée, pendant chaque oscillation j sur un élément de la paroi du tube constamment en contact av^ec le liquide, est inférieure à celle qui s'exercerait sur le même élément si la colonne liquide était en repos.
On entend par pression moyenne exercée pendant une oscillation^ le rapport
oiip représente la pression à V époque /, et T la durée d'une oscillation ,
Soient p la densité du liquide -,
/ la longueur de la colonne ;
z la hauteur du liquide dans Tune des branches verticales au-dessus du niveau qui convient à l'équilibre;
h la distance de l'élément considéré au même niveau
(') Mém. de VAcad. des Se, de Paris, 1733, p. a55.
5l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
d'équilibre, cette distance étant comptée positive audessous du niveau^
^0 la valeur de z au commencement de chaque oscillation.
D'après le principe de d'Alembert, et en supposant que le mouvement ait lieu par tranches perpendiculaires à l'axe du tube, la portion de la colonne liquide qui se termine vers l'élément considéré doit être en équilibre sous les actions réunies de la pression p qui s'exerce sur la base, du poids de la colonne verticale située au-dessus de Félément âs^ et d'une force égale et contraire à la force accélératrice de la même colonne verticale.
On a donc l'équation
/? = ^p (A -+- z) -+- p {/i 4- z) ~ En outre, on a trouvé précédemment (page 498 ) , d-z 2g
z'=. z. ces
(v/f ')• -Vi^-
D'après ces valeurs, il vient
' P^t dt cos-dt 7^ =gpà T — •^-ê'P^^o^^i-^-j
I cos' -— de
i T — bP' /
Si le liquide était en repos, la pression moyenne serait gplr^ donc, par le fait même des oscillations, la pression moyenne est diminuée de
£pV /
HYDRODYNAMIQUE. Jiy
M. Anatole de Caligny, (*) a construit sur ce principe un appareil très-simple, composé de deux tubes seulement, qui est capable d'élever Feau à une petite hauteur, par l'efifet d'une agitation irrégulière produite dans le liquide du réservoir supérieur. C'est encore dans cette diminution de pression occasionnée par le mouvement du liquide, que M. de Caligny trouve l'explication de ce fait singulier, que certains cours d'eau du littoral se jettent dans la mer, selon toutes les apparences , bien que leur niveau soit moins élevé qu'elle.
Combes 9 Journal de M. Liouville, t. VIII, p. 4o ; i843.
6. Calculer directement la pression totale exercée contre les parois d'un tuhe, dans lequel se meut un li'^ quide sous l'action de forces quelconques , en supposant que le mouy^ement ait lieu par tranches perpendiculaires à Faxe du tube.
Rapportons le système à trois axes rectangulaires.
Soient
x^ y^ z les coordonnées d'un point de la courbe qui forme l'axe du tube 5
s l'arc de cette courbe qui se termine au point [x^j^ z) \
a l'angle que la tangente à la courbe au même point fait avec l'axe des x \
0) l'aire de la section du tube faite au même point-,
1^ la vitesse du liquide qui traverse cette section 5
X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force accélératrice qui est appliquée aux molécules situées sur cette même section •,
Pxds^ Pyds^p^ds les composantes parallèles aux axes de la pression que la tranche liquide comprise entre les sections faites aux extrémités des arcs s ei s -\- ds exerce contre la paroi du tube ;
(») Journal de M. Liouville, t. VIII, p, 23.
5l8 MÉCAHIQrB RATIONNELLE.
P^ la pression totale que le liquide exerce sur le tube dans la direction de Taxe des x;
p la densité du liquide ;
^•> *o> *•> ^01 ^0» «^ ''^u *iï «!> «n ♦'i» les valeurs de XfS^oLyfùjV correspondantes aux extrémités du tube. '
Si l'on exprime que les forces perdues se font équilibre sur la tranche considérée, il vient
Il en résulte, en particulier, que la pression totale exercée dans la direction de Taxe des x est exprimée par la formule
-, -, , . rf-x , d.çcosa L accélération — — peut se représenter par — >
mais il faut observer que u est une fonction de t et de f , a une fonction de 5 seulement, et que la dérivée est ici une dérivée totale. On a donc
</'x dp d.pcosa ds
dt^ dt ds dt
les dérivées qui figurent au second membre étant des dérivées partielles.
De plus, on a les relations
dt '
dv dp^
- = "••'•' *'dt = '"W
Substituant ces valeurs dans Texpression de P,, od
HYDRODYNAMIQUE. 5l9
obtient
— (-f^o f^o ( ^i ces a, — f'^ CCS «0 ).
Des formules semblables donneraient la valeur de la pression totale qui s'exerce suivant l'axe des y et suivant Taxe des z.
Le terme qui contient la dérivée — * disparait quand le
mouvement est permanent.
Si les forces appliquées au liquide se réduisent à la pesanteur, alors , nommant U le poids du liquide contenu dans le tube et a l'angle que fait Taxe. des x avec la verticale, on aura
P I Xw</y=ncosfl;
et, si Ton se borne à considérer le mouvement lorsqu'il est devenu permanent, la pression totale ne sera point changée , de quelque manière que l'on courbe le tube , pourvu que les extrémités conservent la même différence de niveau et des directions parallèles à leurs directions premières; il faut néanmoins exclure les coudes brusques qui changeraient la nature du mouvement.
Ces formules ont été données pour la première fois par Euler. La démonstration qui précède est de Coriolis {Journal de M. Liouville, t. II, p. i3o; 1837).
7. Démontrer directement y parlepnncipe des forces "visses y qiiune "veine liquide ^ tombant sur un plan quelle ne quitte qu après auoir perdu toute sa "vitesse perpendiculaire au plany exerce sur cette surface une pression normale proportionnelle au carré de la vitesse rela^
520 MÉCANIQUE RÀTIONITELLE.
tiue de la veine et du plan , estimée suii^ant la normale
au plan.
J^xvi Bernoulli , Comment, Petrop.y 1787, p. 37. — Opera^ t. IV, p. 4^^.
8. Revenons à l'hypothèse d'après laquelle la pression qui s'exerce entre un fluide et une surface solide, dans leur mouvement relatif, est proportionnelle au carré de la vitesse relative estimée suivant la normale , et proposons-nous les problèmes suivants.
Troux^er le centre de pression d^un demi-cercle qui tourne autour de sa base dans un fluide homogène.
Le centre de pression est situé sur le rayon qui partage la surface en deux parties symétriques, à une distance de la
base égale à la fraction -zr- du rayon. „, „^
lOTT *' W. W.
9. Un cylindre de résolution, homogène, placé debout sur un plan horizontal, est exposé au choc d'un vent gui souffle dans une direction parallèle au plan. On demande quelle est la vitesse du vent nécessaire pour reni^erser le cylindre, en supposant la surface du plan de telle nature, que le cylindre ne puisse pas glisser.
Si l'on nomme P le poids du cylindre, /sa hauteur, p la densité de Pair, k la constante définie dans les préliminaires et i^ la vitesse cherchée, on trouve
