SURFACES QUELCONQUES
Soient X ^ y^ z\es coordonnées d'un point quelconque sur la surface considérée, et
dz dz
Tx=P' dP = f:
SÏATIQIE. 23
Les coordonnées X' , j , z du centre de gravité seront données par les formules
SS V^i -^p'-^q^dx dy
SS'J^-^P'-^^'dxdjr '
où les intégrales s'étendent à toute la surface dont il s'agit.
1 . Considérons la surface enveloppe d'une sphère de rayon constant, et dont le centre décrit une courbe plane. Si l'on représente celle courbe directrice par l'équation
l'équation de la sphère mobile sera
on en déduit, par différentiations ,
et si l'on élimine x^ et (p (jCi) entre ces trois dernières équations, il vient
par conséquent l'ordonnée du centre de gravité de la surface enveloppe est
SSS^ -^l^'-^q'dxdy
Dans cette expression, le dénominateur représente l'aire de la surface enveloppe , et le numérateur représente la projection de cette aire sur le plan des xj\ d'où il suit
20 MÉCAMQl E RATIOWISELLE.
que la distance du centre de grapité de la surface au plan de la courbe directrice est une quatrième proportionnelle à Voire de la surface y à Faire de sa projection sur le plan de la directrice et au rayon de la sphère. Cette relation subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à celle de la sphère \ et même on peut , dans ce cas , la démontrer d'une manière très-simple.
2. Soient S Taire d'une figure tracée à volonté sur la surface d'une sphère dont le rayon est r;
S, la projection de cette aire sur un plan diamétral;
z la distance de ce plan au centre de gravité de la surface S 5
ûfS Télémenl de cette surface;
et a Fangle que le rayon mené du centre à cet élément fait avec la normale au plan.
fzdS^
Or
z:=rcosa, et ycosarfS = S,;
par conséquent
Ainsi nous pouvons énoncer la proposition suivante, qui permettra dans bien des cas de déterminer aisément le centre de gravité d'une figure sphérîque :
Soient OX 5 OY, OZ trois droites quelconques menées par le centre d'une sphère dont le rayon est r*, S Faire (Tune figure tracée à volonté sur la surface de la sphère y Sjc, Sj,, S, les projections de cette aire sur les plans YOZ , ZOX 5 XOY, et x^y^ z les distances des mêmes plans au centre de granité de la surface S.
On a
Appliquons ce théorème à la détermination du centre de gravité d^un triangle sphérique.
Nommons A, B, C les angles du triangle, a^ b^ c les côtés opposés, et faisons coïncider les droites OX, OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC.
S = !^(A-f-B-KC-i8o); 100 \
d'ailleurs la projection de cette suiface sur le plan BOC a pour valeur
aire BOC — aire COA . ces C — aire AOB . ces B
=^ TTF- (^ — ^ cos C — C ces B ) ; 36o ^
par conséquent
- I a — b ces C — c ces B "*^ ~ 2 '' A -+- B~H- C^^8Ô" *'
et, de même,
- I b — c ces A — a ces C
•^ *" 2 '' A-+-BH-C — i8ô~ '
- I c — a ces B — b ces A
* "~ â'^ A + B-hC — 180
3. Considérons la surface engendrée par la révolution de la chainette
autour de Tarife des z , et concevons que cette surface se déplace de manière que son axe reste toujours vertical , et que son sommet décrive une courbe dans un plan parallèle à celui des xy\ il en résultera une surface enveloppe dont nous nous proposons d'étudier le centre de gravité.
28 MÉCANIQUE R VTlOx^^ELI T..
Soient
réquation de la courbe décrite par le sommet de la surface génératrice, p^ q les dérivées partielles— 9 — relatives à la surface enveloppe , et
L'équation de la surface enveloppe est R R
on en tire
et si Ton élimine x^ et ç(a:i) entre ces trois dernières équations, il vient
De là résulte une propriété curieuse de cette surface enveloppe. En effet , traçons sur cette surface un contour quelconque , et soit z l'ordonnée du centre de gravité de la portion de surface. limitée par ce contour; on aura
J'J'zdxdy D'un autre côté, si l'on représente par z l'ordonnée du centre de gravité du solide cylindrique , qui est renfermé entre le plan des xy^ les ordonnées du contour et la surface enveloppe , on aura
^-^Jfz'dxdf -■"" JJzdxdy '
les intégrales ont ici les mêmes limites que dans Texpression de z \ par conséquent
Ce que nous venons de dire subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à l'une des surfaces enveloppées.
C'est au professeur Giulio , de Turin , que nous devons les théorèmes exposés dans les n*** 1 , 2 et 3 (yoir le Jour^ nal de Mathématiques de M. Liouville, t. IV, p. 386).
4. Soient OX, OY, OZ (rois axes quelconques menés par le centre d'une sphère dont le rayon est r;
S Vaire d'une figure tracée à volonté sur la surface de cette sphère ;
Sx , S^ , SjB les projections de cette aire parallèles aux axes sur les plans YOZ, ZOX, XOY ;
OX', OY', OZ' de noui^eaux axes respectiv^ement perpendiculaires à ces plans ,•
x', y, z' les coordonnées du centre de gravité de la surface S par rapport à ces derniers axes.
On a
IJX *^Y ^t ^
ScHELLBACH, Joumal de M. Crelle, t. XLV; i853.
La démonstration de M. Schellbach est assez compliquée 5 toutefois le théorème est susceptible d'une démonstration simple.
Nommons JS un élément de la surface, x\ y\ z' ses coordonnées par rapport aux seconds axes, a Tangle que le rayon mené à cet élément fait avec la normale OX au plan Y'OZ', et l'angle des droites OX, OX'.
3o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Or la perpendiculaire abaissée de rélément ^S sur le plan Y'OZ' est égale à r cos a , et, puisque la droite OX' fait un angle avec cette perpendiculaire,
r cos a
cosô '
d'où
./ cos
Projetons rélément dS sur le plan YOZ parallèlement à la droite OX. Les lignes projetantes font un angle 9 avec la normale OX' au plan de projection, et elles font un angle a avec le rayon qui aboutit à l'élément projeté. Or, quand on projette une aire plane P sur un autre plan, si l'on nomme a l'angle que les lignes projetantes font avec la normale au premier plan et Q l'angle qu'elles forment avec la normale au second, la projection est égale à
cos^ p.
cos
De là il résulte que nous avons
*.cos a
cos ô
et, par conséquent,
Considérons, par exemple, la surface d'un triangle sphérique ABC dont les côtés sont a^b^ c.
Si nous faisons coïncider les droites OX , OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC, nous aurons
