Aux trois sommets B, C, D d^un tétraèdre ABCD I

34 MéCAHlQUE RATIOHNELLE.

sont appliquées trou forces parallèles P, Q, R. Déterminer la distance de leur centre au sommet A.

Soient r cette distance et AB = ft, AC = c, AD = d.

Ona

r » ( p -j- Q + R )» = P» ^» -h Q» c» 4- R» £/ > -h 2 PQ fcc cos (BAC )

-f- 2 QR cif cos ( CAD ) -h 2 VL^db cos ( DAB).

3. A trois points fixes y qui ont pour coordonnées a, b \ a\ y\ a'\ b"y sont appliquées trois forces parallèles p^ p\ p"\ les deux premières forces sont constantes, et la troisième variable. Déterminer le lieu du centre des forces parallèles.

Ce lieu est la droite représentée par Téquation

= (bp -^ h'p')a'' -^[b" -- b)p ^{b'' ^ b')p']x.

4. n forces parallèles et constantes sont appliquées à n points^ n — i de ces points restent fixes pendant que le dernier décrit une courbe. Montrer que le centre des forces parallèles décrit une courbe semblable et semblablement placée.

5. Les centres de gravité de Faire et du contour d*un polygone circonscrit à une circonforence sont toujours situés sur une droite qui passe par le centre de cette circonférence ^ leurs distances au centre de la circonférence inscrite sont entre elles dans le rapport de n ai.

En effet, décomposons le polygone en triangles ayant leurs sommets communs au centre du cercle inscrit. Plaçons ensuite aux trois sommets de chaque triangle des masses sphériques égales, ayant leurs centres aux sommets et proportionnelles aux aires des triangles, c'est-à-dire à

leurs bases. Le centre de gravité du contour sera celui des poids placés aux sommets du polygone. Admettons que tous ces poids soient réunis en une seule masse à leur centre de gravité. Alors le centre de gravité de l'aire s'obtiendra en composant cette masse avec celle qui se trouve au centre du cercle et qui est moitié moindre ^ il sera donc situé sur la droite qui réunit le centre du cercle au centre de gravité du contour, et sa distance au premier point sera double de sa distance au second, ce qui démontre le théorème.

Cette proposition a lieu pour un triangle quelconque; elle s'appliquerait aussi à un polygone gauche dont les côtés seraient tangents à une sphère. Seulement il faudrait, dans ce cas, remplacer l'aire polygonale par la somme des aires triangulaires qui ont leur sommet commun au centre de la sphère et qui ont pour bases les côtés du polygone circonscrit.

Brassime, Journal de M. Liouville, t. VIII; i843.

6. Le centre de grai>ilé d'un polyèdre circonscrit à une sphère est situé sur la droite qui joint le centre de gras^ité de la surface de ce polyèdre a^ec le centrede la sphère inscrite.

Les distances du centre de grai^ite du polyèdre et du centre de graMé de sa surface au centre de la sphère inscrite sont entre elles dans le rapport dei à 4»

Ces propositions sont vraies pour une pyramide triangulaire quelconque. Elles se démontrent comme celles qui précèdent, seulement les triangles sont remplacés par des pyramides triangulaires ayant leurs sommets communs au centre de la sphère inscrite.

Ce mode de démonstration s'applique avec avantage à la plupart des propositions connues sur les centres de gravité des polygones et des polyèdres.

BR/kssiNE, Journal de M, Liouville, t. VIII; i843.

36 HÉCAM<^LE BATIO^?kELLE.

SECTION XI

THÉORÈME DE GULDIS.

Lorsqu'une aire plane loume autour d*un axe extérieur situé dans son plan, le volume du solide engendré est égal à celui du prisme qui aurait pour base Taire géné> ratrice, et pour hauteur la longueur de Tare de cercle parcouru par le centre de gravité de l'aire.

Lorsqu'une courbe plane tourne autour d'un axe extérieur situé dans son plan, l'aire de la surface engendrée est égale à celle du rectangle dont les côtés seraient égaux en longueur à la courbe génératrice et à l'arc de cercle parcouru par le centre de gravité de la courbe.

Ces deux propositions furent d'abord énoncées par Pappus, géomètre d'Alexandrie, dans la préface du livre VIP de ses Collections mathématiques (*); toutefois on les nomme ordinairement théorèmes de Gulilin, parce que ce savant jésuite les a démontrées et signalées à rattention des géomètres par des applications élégantes dans son Traité De centro gravitatis, lib. II et III.

1 . Uaire comprise entre une parabole, F axe de cette courbe et une ordonnée perpendiculaire exécute une réi^olution complète autour de l'ordonnée. Déterminer le volume du solide engendré.

Soient y l'ordonnée, x sa distance au sommet, x la distance de cette même ordonnée au centre de gravité de Taire.

Le volume cherché est

V 2 7r=a: X aire.

(*) Cet ouvrage fat publié pour la première fois dans Tannée i588.

Or X = -p X, et Taire est égale k - xy \ par conséquent

On peut observer que le volume du cylindre engendré par la révolution du rectangle construit sur l'ordonnée y et l'abscisse x autour de la même ordonnée, est égal à

2 7r. -x.xjr, ou nx^ Y, ou -5- V.

Ce problème fut proposé par Kepler dans sa Stéréométrie, et résolu par Guldîn, De centra gra^^itatis, lib. II, cap. XII, prop. 6.