CHAPITRE IL

ÉQUILIBRE d'un POINT MATÉRIEL.

Soient P l'une quelconque des forces qui sollicitent un point matériel M, «, 6, y les angles que forme la direction de cette force avec trois droites qui ne sont pas parallèles à un même plan , et S un signe sommatoire qui s'étend à toutes les forces P.

Pour que le point M reste en équilibre, il faut et il suffit que la somme des projections des forces sur chacune des droites fixes soit nulle, c'est-à-dire que Ton doit avoir

2Pcosa = o, 2Pcosp = o, 2Pcos7 = o.

Stevin , de Bruges ( * ) énonça le premier les conditions d'équilibre^ d'un point matériel. Après avoir examiné la condition d'équilibre d'un point pesant posé sur un plan incliné et retenu par une force parallèle à ce plan , il en conclut que, généralement, pour que trois forces se fassent équibre autour d'un point , il faut et il suffit qu'elles soient proportionnelles aux côtés d'un triangle formé par des parallèles « leurs directions. Un principe aussi important demandait une démonstration rigoureuse; Roberval (*) la donna en s' aidant de la considération du levier.

Le théorème du parallélogramme des forces n'est qu'une simple modification du principe de Stevin 5 toutefois, il ne fut énoncé qu'un siècle plus lard par Newton (') et

(') Begbin»elen der Waaghron st ; i586. i^^ livre de la Statique, prop. jy . (') Traité de Mécanique; i636.

(") Principia, lex. 111, cor. 2; 1687.

4o MÉCAKIQL'E RATIOBHELLE.

Varignon (*) qni le déconyrirent presque simultanément. Daniel Bernonlli (*) fîit le premier fpii démontra ce théorème comme principe de Statique et sans employer la considération da mouvement. Depuis cette époque , le théorème du parallélc^ramme des forces a été démontré de bien des manières ; Jacobi ( ' ) en a recueilli dix-huit démonstrations de différents auteurs.

Ajoutons encore que la même année où Newton et Varignon énoncèrent la loi du parallélogramme des forces , Lami (*) publia la proposition suivante, qui n'est pour ainsi dire qu'un nouvel énoncé de celle du parallélogramme : Lorsqu'un point matériel reste en équilibre sous l'action de trois forces P, Q, R, on a

P:Q: R :: sin(Q, R):sin(R, P):sin(P, Q).

SECTION I

ÉQUILIBRE SAHS FROTTEMEMT- ATTRACTION.

i . UnJilACBQ parfaitement flexible est attaché en un point fixe par l'une de ses extrémités A , passe dans un anneau B situé à la même hauteur que le point A , et pL supporte un poids Q par son autre extréa mité. En un point C» de la partie du fil qui est comprise entre A et B , on fixe un poids P tel que, lorsque le système est en équilibre y le point C se trouve à égale distance des verticales menées par A ef B. Déterminer le rapport des poids P et Q,

(*) Projet de la nouvelle Mécanique; 1687.

(•) Comment. Petrop., 1. 1, p. 126; 1726.

(') Wuewell's Philosophy of the inductive sciences, 1. 1, p. 197. {*) Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des éléments de Mécanique,

On néglige le poids du fil et le frottement sur Van^ neau.

Soit CD une perpendiculaire abaissée du point C sur la droite AB; posons

AB = a, AC=*, ACD = Ô,

et nommons T la tension du fil AC.

Il est clair que la tension du fil BC est égale à Q , et , puisque D est à égale distance de A et de B, on a