BCD
Ceci posé, projetons les trois forces P, Q, T qui sollicitent le point C successivement sur une ligne horizontale et sur une ligne verticale , il vient
d'ailleurs
T sin = Q sin 9 , (T-l-Q)cos9 = P;
- = è sin (
Si l'on élimine T et 9 entre ces trois équations, on trouve
2. Un point matériel M posé sur la surface d'un e/lipsoïde de rés^olution est attiré vers les foyers F, F' par deux forces proportionnelles à MF" et MF' . Déter-miner la position d'équilibre.
On néglige le frottement du point matériel sur la surface.
42 MÉCA^ilQrE &AT102ISE1.LE.
Soient 3a l'a^e de rérolulion, et r, i* les distances du point matériel aux foyers.
Si nous considérons la section faite dans la surface par le plan qui contient les foyers et le point matériel , et que nous projetions les deux forces sur la tangente en ce point à l'ellipse de section , en observant que cette tangente est paiement inclinée sur les deux rayons vecteurs , nous aurons la condition d'équilibre
qui , avec la relation
détermine les distances r, r'.
3. Deux poids P, P' sont fixés en O et O' sur un fil parfaitement flexible AOO'A' dont les extrémités sont attachées en deux points A , A' situés sur une même ligne horizontale. Déterminer la position que doivent avoir les points O, O' sur le fil pour que leur commune distance à la droite AA' ait une valeur donnée a.
Soient OE, O'E^ les perpendiculaires abaissées des points O, O' sur la droite A A', c la longueur du fil, b la distance AA', et Q' les angles AOE , A' O' E' ei T la tension du fil OO'.
Si nous considérons successivement les forces qui se font équilibre autour du point O et autour du point O', nous obtenons les deux équations
T sin(7r — 0)
sin(^^e)
T sin (tt — 9^)
d'où
P lang9=: P' tango'.
STATIQtJE. 43
D'un autre côté, 1« géométrie nous donne la relation a (sec ô — tang ô) 4- a (séc ô' — lang ô') = c — b.
Cette équation , conjointement avec celle qui précède , nous donne des valeurs de et Q' qui , substituées dans les formules
ces 9
cosO'
nous feront connaître la position des deux points O, O'.
Diana n ReposUory^ p. 627.
4. Toutes les molécules d'une demisphère solide et homogène sont douées d'un pouuoîr attractif en raison im^erse du carré de la distance. En quel lieu de Vaxe de ce corps faut ~il placer un point matériel pour qu!il reste en équilibre sous l'action des forces attractives ?
Soient CA l'axe de la demi- sphère, DCD' un diamètre de la base, O la position cherchée du point matériel, DAD' l'intersection de la surface de la demi-sphère par 1 e plan des droites CA , DCD' 5 traçons la droite BOB' perpendiculaire à CA. D'un point M pris sur l'arc BA abaissons la perpendiculaire MP sur l'axe, et d'un point m pris sur l'arc BD abaissons de même la perpendiculaire mp. Posons
CA=:«=rCD. CO=:c, OB = ^, OD = ^', OMrzr, OP=::c, MP=r^, Omzzz/^ 0/? = x', mp==y;
nommons [â l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance, et p la densité de la sphère.
Ceci posé , l'attraction exercée sur le point O par une tranche MPM' perpendiculaire à l'axe et d'épaisseur dx est
44 MÉCANIQUE RATlONliELLE.
dirigée suivant OA , et a pour expression
27tlipdx f ^
X^ dix^-hr*)'^ I x\ ^^ rf7 = 27rfip^l— -j dx',
par conséquent, l'attraction X du segment de sphère OBAB' est dirigée suivant OA , et est égale à
De même, l'attraction X' de la tranche CDBOB' D' est dirigée suivant OC, et a pour valeur'
Or la géométrie nous donne la relation
r'= x^ '\' [a -{- X -\' c) [a — x — r) r= ^' — 2 ex ,
d'où l'on tire
cdx ■=. — rdr^
OU
xdx 6' — r' , = — - dr\
par conséquent.
On trouve pareillement
r"= 6» 4- 2 ex', x'dx^ b'—r'' , ,
X'= 27r^p [c+ ^, jT' (ô'~r'')rfr'J,
OU , ce qui est la même chose ,
X' = 2 Tt |Xp
h il"'"- '•""]■
La condition d'équilibre
peut donc s'écrire
= ^,l>'{b' + c-a) + ±;[{a-cY-b"].
Eliminant £' par la relation
il vient
i:tc* — Sa^c -H 3a* = o,
équation qui détermine c , et donne approximativement
Diarian Repositorj, p. 629.
5. La plus grande attraction quune masse homogène défigure quelconque puisse exercer y suiv^ant la loi de la gravitation unii^erselle, sur un point placé comme on ^voudra, est à l'attraction que la même niasse, réduite en sphère homogène et de même volume, exercerait sur un point placé à sa surface, dans le rapport deià \f^.
Le corps de plus grande attraction , sous une masse et un volume donné, jouit de cette propriété, que les molécules situées à sa surface exercent des attractions égales
46 MéCAniQUE KlTIOAHELLE.
suivant la direction de la résulunte. En effet , considérons on corps homogène dont tontes les molécnles situées à la surface exercent des attractions ^ales. Si nous déplaçons une de ces molécules , ce ne peut être qu'une molécule de la sarface, autrement nous changerions la densité; et cette molécule ne peut être placée qu'à Textérieur. Or je dis que toute molécule située à Textérieur attire moins qu'une molécide placée sur la surface primitive.
Prenons le point attiré pour origine de coordonnées polaires dont Taxe coïncidera avec la direction de l'attraction résultante, et nommons A une constante. La surface d'égale attraction aura son équation de la forme
et il est clair que pour tout point extérieur on aura cosO I
c'est-à-dire que Tattraction sera moindre que pour un point de la surface.
De là il résulte que nous pouvons prendre l'équation (C) pour représenter la surface du corps de plus grande attraction , sous une masse et un volume donnés. JNous supposerons la densité du corps égale à l'unité, et nous prendrons pour unité de force l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance.
D'après cela , le volume du corps est
2 7r / / r^ sin B dB dr = ^n I r^sinBdB
= 7r7rA' / cos'9sinGf/Q=r -^ttA', 3 Jo «^
et Tattraction qu'il exerce a pour valeur
cos'0sin0rf0 = 57rA.
27r I / sin BcosQ d9dr = 2nX j Jo Jo t/O
Le rayon R de la sphère, qui a même volume et même masse, doit vérifier l'équation
d'où
6 lô
On en conclut que l'attraction de cette sphère sur un point placé à sa surface est égale à
et, par conséquent, le rapport de l'attraction du premier corps à celle de la sphère a pour expression
Gauss , Principia generalia theoriœ figurœ fluidorum in statu œquilibrii; Gœttingue, i83o.
