Démontrer la proposition suivante

Si Ton admet que l'attraction de la matière ne dépend que de la distance, la seule loi d^ attraction , suivant laquelle une couche sphérique homogène n * exerce aucune action sur un point intérieur , est celle de V attraction en raison im^erse du carré de la dis-

48 MÉCAXIQLE RATIONNELLE.

tance; mais si F on suppose que F attraction dépend à la

fois de la distance et du rayon de la couche sphérigue, il

est une infinité de lois pour lesquelles la couche n^ exerce

aucune action sur le point intérieur.

Soient r le rayon intérieur de !a couche ;

dr Tépaisseur infiniment petite de cette couche ;

a la distance d'un élément E de cette couche au point

attiré M;

c la distance du centre O au point M \ Tangle que le rayon OE fait avec la direction OM^ <f l'angle que la droite ME fait avec la même direction ] et f (uj r) Fattraction de l'unité de volume situé sur

la couche à la distance u du point attiré.

La direction de l'attraction résultante coïncide évidem*

ment avec la droite MO , et la valeur de cette résultante

est

R=2irr'rfr I cos^ sin ©/(a , r) </0.

Or on a

u sin c sin (0 -4- f ) ,

r sin f r sin f '

diflerentiant ces équations par rapport à u, c et 9, il vient

ces © =r — - ; lie

et si Ton observe que

car r est une constante , on verra aisément que Taltraction résultante peut se mettre sous la forme

R=2irr'€/r— / l sin 9 jf (a, r) duldQ.

Nous pouvons exprimer la variable Q en fonciion de la variable u qui lui est unie par la relation

a» = c' -+- r' — 2 cr CCS 0;

d'où

u sin 6 rfô = — du.

Posons , pour abréger,

(i) ^" J/(u,r)ciu = ¥{u,r),

(2) Ju¥{u,r)du = F(u,r),

et observons qu^aux limites = o, 6 = tt correspondent les limites u = r'' — c, u^ r-hc-^ alors il vient

(3) R^aTrr^r. ^n

Pour que l'attraction R soit nulle, il faut que la quantité

F(r-\-c,r)-^ Fjr-^c, r)

soit indépendante de c] nous pourrons donc poser

F(r-hCyr)--F(r--c,r)=:cff[r),

(f (r) étant une quantité indépendante de c. On en conclut, par une double diflérenliation relative à c,

(4) Kir-^c, r)^ Flirte, r) = o.

Maintenant, il nous faut distinguer deux hypothèses. Admettons d'abord que la loi de l'attraction soit indépendante du rayon de la couche 5 alors /"(w, r) se réduit à y (u) , et l'équation précédente devient

F[Xr + c)^F:(r^c)z=o.

5o MÉCANIQUE EATIONRELLE.

Ici r et c sont quelconques ; il en est de même pour leur somme r -f- c et leur diiTérence r — c ; d'ailleurs

par conséquent, la dérivée seconde F" (u) est indépendante de II, et la dérivée troisième F^'' (u) est nulle. Or, d'après Téquation (2) , on a

F' {u)=zu¥(u)y (5) F''(«)=.F(ii)-hiiF'(«),

F' (u) = ^r (u) ^ ur' (u),

et , si Ton a égard à l'équation (i) ,

Ainsi la fonction y* (u), qui représente la loi de l'attraction, doit vérifier Téquation

»'/'(«) -H 2tt/(a) =0,

laquelle donne , par intégration ,

u}f[u) = const. = A,

c'est la loi de la nature.

Passons à la seconde hypothèse, où l'on suppose que la loi de Tattraction dépend du rayon de la couche.

Dans l'équation (4)9 le rayon r ne peut être considéré comme une quantité arbitraire^ par conséquent, on ne peut se donner à volonté qu'une seule des quantités r -h c , r — c. Nous prendrons

r-f-c = tt, d'où r — c = 2r — u.

Alors l'équation (4) nous donne

STATIQUE. 5l

OU, d'après la formule (5) , jointe à réquatioii (i) ,

Différentîons par rapport à m, il vient