ar - «)/;,^ (2r— II, r) = o
Cette équation nous montre que la fonction y* (i/, r) est assujettie à cette seule condition , que la quantité
change de signe et non de valeur, lorsque l'on y change u en ar — w^ cela revient à dire que la quantité dont il s'agit est l'ordonnée correspondante à l'abscisse u, dans une courbe qui a pour centre le point de Taxe des abscisses cori'espondant a u = r.
Soit
l'ordonnée d'une courbe qui jouit de cette propriété. On pourra poser
alors .
représentera une loi d'attraction pour laquelle une couche sphérique de rayon r n'exercera aucune attraction sur un point intérieur.
Prenons , par exemple ,
a désignant une constante.
52 MÉGAHIQVE, RATIONMELLF,
Nous aurons
/(«,r) = «(lr-I«).
La première partie du théorème qui précède est de Laplace [Mécanique céleste , liv. II, chap. ii); la seconde partie, relative à une loi d'attraction qui dépend du rayon de la couche, a été remarquée par M. Bertrand dans son cours au Collège de France.
7. Troui^er toutes les lois d^ attraction qui ne dépendent que de la distance ^ et suivant lesquelles une couche sphérique homogène attire un point extérieur comme si elle était tout entière condensée en son centre.
Si nous conservoi\s la notation du théorème précédent^ Véquation (3) de ce théorème nous donne, dans le cas actuel ,
'^'^ Jc\ c ^ ^ \=^^r^drf{c),
d'où l'on tire
F{€ 4- r) — F[c — r) = 7,rc j'f{c) de + Cff (/•),
f (r) étant une quantité indépendante de c.
Dans cette dernière équation , les dérivées secondes du premier membre par rapport à c et par rapport à r sont évidemment égales ; nous pouvons donc égaler entre elles les dérivées secondes du deuxième membre^ il vient alors
C de 2/- dr^
Le premier membre de cette équation est indépendant de r, et le second est indépendant de c ; il faut donc que chacun des deux membres soit une constante : nous nom-
nierons celte constante 3 A-, en sorte que
c de
Intégrons, et nommons B une nouvelle constante-, îl viendra, en remplaçant c par u,
Telle est la forme des lois d^attraction suivant lesquelles une couche sphérîque attire un point extérieur comme si elle était condensée en son centre. On voit que, parmi les lois d'attraction qui jouissent de celte propriété, la loi de la nature est la seule d'après laquelle rattraction soit peu considérable à de grandes distances.
Lapla.ce, Mécanique céleste, liv. II, chap. ii.
8. Un poids P est maintenu en équilibre sur un plan incliné BA par Vac-
p A tion de trois forces égales à ■^'i etdin-
géeSy lune en sens contraire de la pesanteur, l'autre dans la direction BA et la troisième suii^ant l* horizontale AC. Quelle est F inclinaison du plan BA sur V horizon?
Cette inclinaison est égale à 2 arc tang —
9. Deux forces données F, F', respecti\^ement parallèles à la base et à la longueur d'un plan incliné , sollicitent alternatii^ement une même molécule pesante posée sur ce plan. Quel doit être le poids P de cette molécule pour quelle reste en repos?
On trouve
