FF' P =--=:. W.W

10. Deux poids P ef Q sont unis par un fil PCQ engagé sur une poulie C 5 le poids Q pend librement, le

poids P s^ appuie sur un plan qui fait as^ec l 'horizon

un angle connu a , et tout le système est en équilibre.

Déterminer V angle que le Jil CP forme a%^ec le plan

incliné et la pression que le point P exerce sur ce plan.

Si l'on nomme R la pression et Tangle cherché, on

trouve

P sin a /

= arc ces — - — > R = Pcosa — yQ' — P'sin'a.

H. On courbe un tube très^étroit suiv^ant une parabole dont Vaxe est dirigé ^verticalement de bas en haut^ et dans V intérieur de ce tube on place un point matériel qui peut glisser librement. On suppose que ce point est sollicité à la fois par la pesanteur et par une force émanée de Vaxe de la parabole proportionnelle à la distance de cet axe, Trouv^er les conditions de V équilibre du point.

Soit fx l'intensité de la force émanée de Taxe lorsqu'elle s'exerce à l'unité de distance.

Si le paramètre de la parabole est égal à - ? le poin t placé où l'on voudra dans le tube y restera en équilibre ; si le paramètre est différent de 2., l'équilibre est impossible. W. W.

12. Un triangle isocèle est formé par trois lignes matérielles et homogènes, qui sont douées d'un pouvoir attractif en raison ins^erse du carré de la distance. Un point matériel est placé en un point donné de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, et reste en équilibre sous V action des forces émanées des côtés. Déterminer V angle au sommet.

Soient a et i les distances du point matériel au sommet et à la base.

STATIQl E. 55

L'angle au sommet est égal à 2 arc sin ( ^ ) •

13. Deux droites matérielles et homogènes AB, AC se coupent à angle droite et attirent inversement au carré de la distance un point matériel situé au pied de la per^ pendiculaire AP abaissée de A sur BC. Déterminer la grandeur et la direction de la force nécessaire pour maintenir en équilibre le point attiré.

Soient

BC=rfl, Ck = h, AB = c,

m la masse répartie sur l'unité de longueur dans les droites matérielles, et fx l'attraction de l'unité de masse à Tunité de distance.

La force cherchée est égale k^m ^^9 et fait un angle

de 45 degrés avec chacune des deux droites AB, AC.

14. Un triangle ABC est formé par trois droites matérielles, homogènes et de densités différenteSy qui attirent en raison inverse du carré de la distance. Déterminer les conditions d'équilibre d'un point matériel placé dans r intérieur du triangle.

Soient i , fx, v les densités des côtés BC, CA , AB, et p^ q^ r les distances du point matériel à ces mêmes côtés. Les conditions d'équilibre sont

Il en résulte que , si les côtés des triangles sont de même densité, le point matériel doit être placé au centre du cercle inscrit.

On observera que, si du point attiré comme centre, on construit un cercle tangent à la droite qui l'attire et de même nature, puis que l'on trace deux rayons quelconques , le segment de la droite et l'arc du cercle qui

56 TdtCkKiqVE RATIONAELLE.

sont compris entre les deux rayons, exercent sur le centre jes attractions égales (^).

En effet, supposons que les deux rayons soient infiniment voisins. Us forment sur rélément du cercle et sur celui de la droite qu'ils interceptent deux triangles de même hauteur; ces deux triangles sont donc entre eux comme leurs bases. Dès lors notre théorème sera démontré, si nous prouvons que les mêmes triangles sont entre eux comme les carrés des distances de leurs bases infiniment petites au centre du cercle. Soient A et B nos deux triangles. On peut remplacer l'un d'eux A par un triangle A' semblable au triangle B, sans altérer la base et les grands côtés, si ce n'est de quantités infiniment petites par rapport à ces quantités elles-mêmes. Or les triangles A' et B étant entre eux comme les carrés de leurs grands côtés , il en sera de même à la limite pour les triangles A et B ; et à la limite l'un quelconque des grands côtés peut être pris pour la distance de la base au centre du cercle.

On verra de même que , si l'on suppose Taltraclion en raison inverse du cube de la distance , un cône intercepte sur une sphère qui a son centre au sommet , et sur un plan tangent de même épaisseur et de même matière, deux surfaces qui attirent également un point matériel placé au sommet.

De là il résulte que, lorsqu'un point matériel est placé dans l'intérieur d'un tétraèdre dont les quatre faces sont des plans homogènes de même épaisseur et qui attirent en raison inverse du cube de la distance, les conditions d'équilibre du point sont exprimées par les relations

dans lesquelles p, ^, r, s représentent les distances du ( ^ ) Ce théorème se trouve dans la Dynamique de Earnshavv.

point attire aux faces du tétraèdre , et X, /ix, v, p les densités de ces faces.

SECTION IL