ÉQUILIBRE AVEC FROTTEMENT

Dans la mécanique rationnelle , on considère ordinairement les corps solides comme tout à fait incompressibles et terminés par des surfaces parfaitement unies. Aussi 5 lorsque l'on considère un corps pesant qui repose par une face plane sur un plan horizontal fixe , on admet que toute force horizontale appliquée sur ce corps lui communique un mouvement, quelque petite que soit cette force. Dans la réalité , il n'en est pas ainsi : la force appliquée doit dépasser une certaine limite pour produire le mouvement \ car les corps de la nature sont tous plus ou moins compressibles , et toujours terminés par des surfaces qui présentent une multitude de petites aspérités. Il faut donc admettre que, dans le cas d'une force trop faible pour produire le mouvement , la réaction du plan sur la surface en contact ne se compose pas uniquement d'une force normale à la surface, mais aussi d'une force tangentielle égale et contraire à la force appliquée. Cette réaction tangentielle est le frottement.

Ce qu'il importe surtout de connaître, c'est la limite que la force de frottement ne peut pas dépasser dans des circonstances données ; l'expérience seule peut déterminer cette limite. Voici les résultats auxquels elle a conduit.

Considérons généralement deux corps en contact, l'un d'eux étant fixe. Nommons R la pression normale qui s'exerce entre les deux surfaces et F la plus grande force que l'on puisse appliquer à l'un des deux corps sur sa surface de contact et parallèlement à cette surface sans lui communiquer de mouvement. La force F, que l'on nomme

58 MÉCANIQUE RATIOiNNELLE.

frottement au départ, est proportionnelle, pour deux substances données, à l'étendue des surfaces en contact et à la pression partielle qui s'exerce sur une étendue déterminée de ces surfaces. On énonce ordinairement cette loi de la manière suivante :

Pour deux substances données^ le frottement au départ est proportionnel à la pression normale, et quand la pression est la méme^ il est indépendant de l'étendue des surfaces en contact.

Il en résulte que , si l'on pose

la quantité /x sera constante pour deux mêmes substances, quelles que soient la pression et l'étendue des surfaces en contact. Cette constante p est nommée coefficient de frottement.

Lorsqu'un corps pesant est lancé le long d'un plan horizontal sur lequel il s'appuie par une face plane , on observe que la vitesse imprimée s'épuise peu à peu; tandis qu'elle devrait rester constamment la même, si la réaction du plan était tout entière normale. Il faut donc admettre que la surface en contact éprouve une réaction tangentielle , lors même que le mouvement est établi. Cette réaction est le frottement dynamique, ainsi nommé pour le distinguer du frottement au repos on frottement statique , Ces deux frottements se nomment encore frottements de glissement ou frottements de première espèce, pour les distinguer àa frottement de roulement on frottement de seconde espèce, dont nous parlerons plus tard (*).

Généralement, lorsque deux corps animés de vitesses différentes glissent l'un sur l'autre , le frottement dynamique est mesuré par une force égale et contraire à la force qu'il faudrait appliquer à l'un des corps sur sa surface de con-

(♦) Dynamique, chap. VII, sect, ii,

STA.TIQtJE. 59

lact et eh sens contraire de sa vitesse relative à la seconde surface, pour maintenir le mouvement relatif tel qu'il se continuerait si les deux corps n'exerçaient l'un contre l'autre qu'une simple réaction normale. On voit que le frottement dynamique est une force tangentielle qui tend à égaliser les vitesses des points en contact.

Le frottement dynamique est soumis aux mêmes lois que te frottement statique au départ; de plus, il est indépendant de la vitesse relati\^e des surf aces en contact^ au moins dans les cas ordinaires de la pratique. Le coefficient de frottement dynamique est toujours sensiblement inférieur h celui de frottement statique entre les mêm.es surfaces.

C'est en vertu de cette dernière loi qu'un corps pesant , d'abord en repos sur un plan dont l'inclinaison est peu inférieure à celle qui ne permettrait plus à l'équilibre de subsister, commence à descendre pour ne plus s'arrêter, dès que l'on produit dans le système un ébranlement même léger.

D'après ce que nous avons dit, la composante tangentielle de la réaction totale est égale à |utR lorsque le mouvement relatif est sur le point de naître et aussi lorsque le mouvement est établi , pourvu que dans ce cas on entende par fjL le coefficient de frottement dynamique. Il en résulte que l'angle de la réaction avec la normale a pour tangente le coefficient fx. Cet angle, arc tangfx, se nomme angle de frottement.

Les lois du frottement statique ont été découvertes par Amontons (*). Camus (') et Désaguliers (*) ont remarqué les premiers que le frottement dynamique est plus petit que le frottement au départ. L'exactitude de ces lois fut longtemps contestée par suite de l'imperfection des mé-

(• ) Mém. de i'Acad. des Se. de Paris, 1699, p. 206. ( ' ) Traité des forces mouvantes.

( • ) Cours de Physique.

Fer sur chêne, fibres parallèles, mouillées d'eau, fi= |

Fer

thodes expérimentales. Les expériences de Muschenbroek ('), de Tabbé NoUet (*), de Coulomb (») et de Ximénès (^) laissaient encore des doutes; mais les belles expériences de M. Arthur Morin (*) les ont dissipés. Aujourd'hui ces lois sont universellement adoptées.

Les résultats suivants donneront une idée de la différence qui existe entre les deux coefficients de frottement pour les mêmes substances. Le premier nombre se rappofte au frottement statique , le second au frottement dynamique :

sur fonte, sans enduit, f* = } ' '^

i . Deux points pesants P, P' 5 a/7puient sur deux plans inclinés et dépolis AC, AC, e^ sont réunis par un fil infiniment délié POP', qui s^en^ ^' gage sur une poulie O située vertica^ lement au-dessus du sommet commun des deux plans, Quelle est la position des points P et P', lorsque le premier est sur le point de glisser dans la direction AC? Soient a , a' les inclinaisons sur là verticale des plans AC , AC; et 0' celles des portions du fil OP et OP'; T la tension du fil ; P et P' les poids des points désignés par les mêmes lettres; fx et ft' les coefficients de frottement sur les deux plans AC et AC, R et R' les réactions normales de ces mêmes plans.

(*) Introd. ad Phil. nat., t. I, cap. ix; 1762. — Lcct, Ph/s. exper., t, I,p. 241.

(') Leçons de Phjrs, expêr., t. I, p. 23o; 1754. (') Savants étrangers (Acad. des Se. de Paris ), t. X; 1786. (*) Teoria e pratica délie resist. de* sol. ne' loro attriti; Pisa, 1782. (*) Savants étrangers {Kcmà. des Se. de Paris), t. IV; i833.

Projetons les forces qui sollicitent le point P, d'abord suivant une parallèle à AC, puis suivant une perpendilaire. Il vient

f*R -f- T ces (a — 0) = P €05 a, R -H T sin (a — - 0) = P sin a.

Si l'on opère de la même manière relativement au point P', en observant que le frottement est dirigé suivant AG^, on trouve

f*' R' -f- P' cos a' = T ces (a' — Ô') , R' H- T sin (a' — 0') = P' sin a'.

Entre les deux premières équations on élimine R , et entre les deux dernières on élimine R', puis entre les deux résultats on élimine T, et il vient

P' (jcos a' -h fx' sin a') [cos (a — 0) — f* sin (a — 0) ] =: P(cosa— -fxsina) [cos (a'— 0' ) -f- fii'sin(a'— 6')];

ou , si l'on pose [i = tang £ , fjt' = tang e',

P' cos (a' — • e' ) cos (a — + f) = P cos (a -f- •) COS (a' — 0' — «' ) .

D'ailleurs, si nous désignons par h la distance OA et par a la longueur du cordon, la géométrie nous donne

h sin a h sin a'

sin (a — 0) sin (a' — 0')

Cette équation, jointe à la précédente, détermine les angles 0, 0', et, par suite, la position des points P, P'.

2. Un point pesant est posé sur un plan parfaitement poli et incliné à F horizon (Tun angle a. On applique à ce point une force donnée P, et Von demande r angle z" que cette force doit faire a^^ec le plan pour maintenir le point en équilibre. On ne connaît pas le poids du point, mais on sait que , si Von place ce point

sur un autre plan également incliné à l'horizon et tellement dépoli y que V inclinaison (f soit 4a plus petite de celle quil peut admettre sans empêcher le point de glisser, et que Von applique encore à ce point la force P, la quantité connue S est la demi-somme du plus grand angle e' et du plus petit angle t que la force P peut faire ai^ec le plan sans déplacer le point, tandis qu'une autre quantité connue D est la demi- différence des mêmes angles.

Considérons le plan dépoli ; nommons [x son coefficient de frottement, R sa réaction normale et Q le poids du corps; supposons d'abord que la force P fasse avec le plan l'angle e.

Projetant les forces d'abord sur une parallèle au plan , puis sur une perpendiculaire, on obtient

P ces 8 = fxR -H Q sin a , P sin e -h R = Q ces a ;

d'ailleurs, on a

p = tang (p.

Si l'on élimine R et fjt entre ces trois équations, il vient

cos (e — <p)

Quand la force P fait avec le plan l'angle e', le calcul est le même , si ce n'est que /x ou ç changent de signe ; on a donc

^ COS(s'-+-(p)

Ces deux dernières équations nous font connaître le* poids Q en fonction des quantités données , car si l'on ajoute ces deux équations, on trouve, après quelques réductions,

cos S cos (D -h <p)

sin a cos (p

Ceci posé , la condition d'équilibre sur le plan poli est ^ ^ sina

remplaçant Q par sa valeur, il vient

cosS ,^

ces e'= cos (D -h <p).

ces (J» ^ ^

Telle est l'équation qui détermine l'angle cherché e",

3. Un point pesant est placé sur une circonférence de cercle, située dans un plan ^vertical, et sur laquelle le frottement est égal à la pression. Quelle est la plus basse des positions ou le point peut rester immobile?

Le rayon qui passe au point cherché fait un angle de 45 degrés avec la verticale.