ÉQUILIBRE SANS FROTTEMENT
\ . Une tige pesante et homogène appuie son extrémité inférieure A sur un plan horizontal, et son extré^ mité supérieure B sur un plan vertical» Le plan vertical qui passe par la tige, est perpendiculaire à l'intersection commune des deux premiers plans, et coupe cette droite en un point C 5 un point connu de la lige, E, est lié au point C par un fil sans poids CE, qui maintient l'équilibre. Déterminer la tension dujil.
Soient ia la longueur de la tige, P son poids, R et R' les réactions du plan vertical et du plan horizontal , a et e I. 5
les inclinaisons de la tige et du fil sur l'horizontale ÂC, T la tension du fil.
Observons que Ton peut toujours remplacer les poids de toutes les molécules d'un corps solide par une force unique , égale au poids total du corps , et appliquée au centre de gravité.
Pour former les équations d'équilibre, projetons toutes les forces qui sollicitent la tige d'abord sur l'horizontale CÂ , puis sur la verticale CB , et prenons leurs moments par rapport au point C. Il vient
R — Teoss = o, R'— P — Tsing = o, R.aa bin a 4- P.acosa — R'. 2a cosa = o;
d'où l'on tire, après avoir éliminé R et R',
^ ^ ces a
2sin (a— e)
Cette formule résout le problème et nous montre que : Si e = a , T est infini , l'équilibre est impossible 5 Si e }> a , T est négatif, l'équilibre est impossible ; Si e <^ a , T est positif, l'équilibre est possible.
2. Une tige pesante et homogène A A' A" B repose par son extrémité inférieure A sur un plan hon'zontal ^ presse en A' une chev^ille fixe située au-dessus du corps ^ et s^ appuie en A!^ sur une autre chev^ille fixe située audessous. Déterminer, dans le cas d'équilibre, les prèssions exercées sur la tige par le plan horizontal et les deux chevilles.
Soient 2a la longueur de la tige, P son poids, a son inclinaison sur le plan horizontal , b la distance des deux chevilles , et R , R', R" les pressions exercées par le plan , la cheville A' et la cheville A'^.
Projetons les forces qui sollicitent la tige sur la direction AB et sur une direction perpendiculaire, puis pre-
nons leurs moments par rapport au point A. Il vient P sin a — R sin a = o , R' + P ces a — R" — R CCS a = o, R". (ÂÂ' + ^) — R'. ÂÂ' — P.fl ces a = o; d'où l'on lire
R = P, R' == R'^ = ^ P ces a .
3. Une tige pesante et homogène A A' B appuie son extrémité inférieure A contre une droite verticale^ et repose en A' sur un point fixe situé au-dessous du corps • Déterminer les pressions que la tige supporte de la part de la droite et du point y lorsque l'équilibre a lieu.
Soient 2a la longueur de la tige, P son poids, a son inclinaison à l'horizon, c la distance du point fixe à la droite verticale, R et R' les pressions exercées par la droite et par le point.
Si nous projetons successivement les forces qui sollicitent la tige, sur la direction A A' et sur une direction perpendiculaire, puis que nous prenions leurs moments par rapport au point fixe A', nous obtenons R cos a — P sin a = o , R' — R sin a — P cos a = o , R . ÂÂ? sin a = P (û — AA') cos a.
La dernière équation peut s'écrire
R c sin a = P (^7 cos a — c) cos a.
Cette formule, jointe à la première, donne
cos a :
R = p iang a = P
68 MÉCAHIQIJE &ÀT10NKELLE.
el 9 par la combinaison des denx premières équations , on obtient
cosa \ c /
La valeur de cos a montre que l'équilibre est impossible lorsque c est plus grand que a.
4. Quelle est la force nécessaire pour retenir, dans une position donnée y une porte dont les gonds ne sont point situés sur une mênie ligne 'verticale?
On connaît le poids P de la porte, la distance a du centre de gravité à la ligne des gonds , l'inclinaison |3 de cette ligne sur la verticale, et l'angle dièdre a compris entre le plan vertical mené par cette même ligne et le plan de la porte.
Nommous (p l'inclinaison de la porte sur le plan horizontal.
Le moment du poids de la porte par rapport à la ligne des gonds est P cosç.a \ or, dans le trièdre rectangle formé par le plan de la porte, un plan horizontal et le plan vertical mené par la ligne des gonds, on a
cos<p = sinasinp;
par conséquent, pour maintenir la porte en équilibre, il faut lui appliquer, à une distance b de la ligne des gonds, une force normale F, telle que
F^ ^= P sinasin^.a.
5. Une tige rigide AB peut tourner librement autour de son extrémité inférieure A , qui est engagée dans une charnière fixe, tandis que son extrémité supérieure B s^ appuie contre une droite ^verticale. Déteiminer la pression exercée parla droite y ainsi que les composantes
liorizantales et verticales de la pression exercée par la charnière.
Soient P le poids de la tige , a sa longueur, b la distance de son extrémité inférieure au centre de gravité, a son inclinaison à l'horizon, R la pression exercée par la droite verticale, H la composante horizontale de la pression exercée par la charnière , et V la composante verticale.
Si nous projetons les forces sur l'horizontale, puis sur la verticale, il vient
et, si nous prenons les moments par rapport à la charnière A , nous obtenons
R . « sin a = P . ^ cos a ;
d'où
a tang a
Ce problème fut proposée! mal résolu par Stone^ Jean Bernoullî (*) ne le résolut pas mieux, et ce fut Couplet (*) qui donna la première solution correcte. On peut lire Thistoire de ce célèbre problème écrite par Franchini, dans les Mémoires de la Société italienne^ tome XVI , part. I, p. 228^ i8i3.
6. On sait que des forces en nombre quelconque^ appliquées à un corps solide, peuvent toujours se réduire à deux forces, et cela d'une infinité de manières. Prou ver que, de quelque manière que Von fasse cette réduction, le tétraèdre construit sur les deux forces ré-
(») Opéra, t. IV, p. 189.
(') Mémoires de l'Académie de Paris; i']'ii, p. 69.
70 MÉCÀHIQUE RATIONNELLE.
svltanteSy comme arêtes opposées^ a toujours même "volume.
Soient A , 6 deux points pris a volonté dans l'espace , et PQ la droite qui représente en grandeur et en direction une force donnée. II est aisé de voir que le moment de la force PQ par rapport à l'axe AB est égal, en valeur absolue, à six fois le quotient du tétraèdre A6PQ par la distance AB. Nous représenterons ce moment par
6ABPQ
et nous aurons soin de disposer les lettres du numérateur de manière qu'un observateur, dont les pieds sont en A et la tête en B, voie le point P à sa gauche et le point Q à sa droite, lorsque le moment est positif. Nous aurons, par exemple ,
ABPQ ABQP PQAB
