AB ~" AB ~" AB
Ceci posé , nommons PQ et RS un système de deux forces résultantes , P' Q' et R' S' un autre système de forces résultantes, et A , B deux points pris à volonté dans l'espace. Les quatre forces PQ, RS, Q'P', S'R' se font équilibre 5 la somme de leurs moments par rapport à l'axe AB est nulle , et , par conséquent , on a
ABPQ + ABRS = ABP'Q' H- ABR' S'.
Nous pouvons faire coïncider les points A et B successivement avec les points P et Q , R et S , P' et Q', R' et S' 5 il vient alors
PQRS = PQP' Q' -f- PQR' S',
RSPQ = RSP' Q' -f- RSR' S', P' Q' PQ -4- P' Q' RS = P' Q' R' S', R' S' PQ 4- R' S' RS = R' S' P' Q'.
STATIQUE. Jl
Ajoutant ces équations , on obtient
PQRS = P'Q'R'S',
et cette égalité démontre la proposition.
Ce théorème fut énoncé d'abord par M. Chasles [^njiales de Gergonncy t. XVIII 5 1828)5 la démonstration qui précède est de Môbius [Journal de M. Crelle, t. IV, p. 179). M. Chasles a démontré plus tard ce théorème, ainsi que plusieurs autres du même genre, dans le Journal de M. Liouville, t. XII; 1847.
7. Soient PQ et RS les droites qui représentent en grandeur et en direction deux forces données. Nous dirons que le tétraèdre qui a ces deux droites pour arêtes opposées est construit sur les deux forces , et nous conviendrons, dans le théorème qui suit, de prendre ce tétraèdre positivement lorsqu'un observateur, dont les pieds sont en P et la tète en Q, voit le point R à sa gauche et le point S à sa droite.
Lorsque n forces appliquées à un corps solide se font équilibre^ ou peuuent se réduire à une force unique, la
somme algébrique des — tétraèdres, que l'on peut
construire sur ces forces prises deux à deux, est nulle ^ dans les autres cas, oà les forces ne peui^ent se réduire quà deux résultantes, la somme dont il s* agit est égale au tétraèdre construit sur les deux résultantes.
Démontrer ce théorème.
MÔBius, Journal de M. Crelle, t. IV, p. 184.
8. Une échelle, inclinée de 3o degrés à Vhorizon^ appuie son extrémité inférieure sur un plan horizontal, et son extrémité supérieure sur un plan incliné de 60 degrés à l'horizon. Ces deux plans sont parfaitement polis, et V échelle peut être assimilée à une barre homogène.
nT. MÉCAMIQUE RATIOMNELLE.
Quelle force horizontale faut-il appliquer au pied de r échelle pour V empêcher de glisser?
Soit P le poids de Féchelle.
lia force cherchée est égale à -y P.
9. Une sphère homogène repose sur deux plans inclinés. Déterminer la pression exercée sur chacun de ces plans.
Soient P le poids de la sphère, a, a' les inclinaisons des deux plans sur l'horizon , R, R' les pressions exercées sur ces mêmes plans.
On trouve
sin (a 4- a') * sin(a-ha')
Leibmitz, Opéra, l. III, p. 176.
10. Une barre homogène s^ appuie par ses extrémités sur deux plans inclinés. Déterminer la position d'équilibre et les pressions exercées sur les plans.
Soient P le poids de la barre, Q l'angle qu'elle forme avec Thorizon, a et a' les inclinaisons des deux plans sur l'horizon, R et R' les pressions exercées sur ces plans; et supposons que l'extrémité inférieure de la barre s'appuie sur le plan auquel se rapportent les quantités a et R.
La barre est perpendiculaire à l'intersection des deux plans , et l'on a
sin a' sin a
■R — -: — } 77 P, R — ~: — ; rr P,
sm (a H- a ) sm (a -+■ a')
sin (a' — a) ^ 2 sm a sm a
i \ . Une tige pesante et homogène AEB appuie son extrémité inférieure A contre un plan vertical, repose
STATIQUE. yi
en E sur un point fixe, et porte un poids Q à son extrémité supérieure. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient P le poids de la lige , a sa longueur, b la distance du point fixe au plan vertical , et a: la longueur AE de la partie de la tige qui est située entre le point fixe et le plan vertical.
La tige est dans un plan perpendiculaire au plan vertical dont il s'agit, et Ton a
Q-HP/ FoNTANA, Memorie délia Societa italiana ; 1802, p. 63o.
\ Si l'on suppose P= o, alors x = (ai*}% quelle que
soit la grandeur du poids Q.
Euler ( * ) a discuté ce problème comme application du
principe de Maupertuis , nommé loi du repos.
B 12. Un poids Q est suspendu à V extrémité B d'unetige ADB^ dont r autre extrémité A est engagée 7L^ — l^f^l... 1 dans une cliarnière fixe. Cette
* tige est sans poids, et elle est soutenue par un fil perpendiculaire, attaché en son point milieu D. Déterminer la graiideur et la direction de la pression supportée par la charnière y lorsque la tige fait un angle de 3o degrés av^ec V horizon.
Soient 2 a la longueur de la tige, X la composante horizontale de la pression supportée par la charnière , Y la composante verticale, R la pression résultante et (j? l'angle que cette pression fait avec l'horizon.
(•) Académie des Sciences de Berlin, t. VII,, p. 196.
^4 MÉCANIQUE KÀTIOKNELLE.
On trouve
13« î7/te Jarre pesante AB peut tourner librement autour de son extrémité A^ qui est fixe, tandis que Vautre extrémité B est soutenue par un cordon, qui s engage sur une poulie fixe et porte un poids Q. Déterminer la po^ sition d^équilibre.
On connaît le poids P de la barre, les distances aet b de son centre de gravité aux extrémités A et B, les distances / et ^ de la poulie à l'horizontale et à la verticale menées par l'extrémité fixe A .
Les angles et ç, que la barre et le cordon forment sur l'horizon , nous sont donnés par les équations
Q(fl -h ^)siD(<p — 0) = Va cosô, (a -+- ^)sin((p — 0) = ^ sin ç — /cos^,
dont la résolution est facile.
14. Une barre pesante et homogène appuie l'une de ses extrémités sur un plan incliné, tandis que l'autre extrémité est soutenue par un fil attaché en un point fixe, lequel est situé au-dessus du plan incliné. Déterminer la position d'équilibre, la tension du fil et la prèssion sur le plan.
Soient a Tinclinaison du plan sur Thorizon, ia la longueur de la barre , P son poids , son inclinaison sur le plan , R la pression qu'elle exerce sur le plan , T la tension du fil, c sa longueur, (f son inclinai^n sur le plan , b la distance au plan du point fixe où le fil est attaché.
STATIQUE. y5
Les angles 6 et (p sont déterminés par les deux équations
2 sin (y — G) sin a = cos f cos (0 4- a) ,
c sin y -h 2 fl sin = ^ ;
et Ton a
^ ^ cos (a -I- qp) ^ ^ sin a
cos 7 cos 7
15. î/ine Jarre pesante et homogène appuie l'une de ses extrémités contre un plan ^vertical, tandis que Vautre extrémité est soutenue par un fil attaché en un point
fixe du même plan vertical. Déterminer la position d'équilibre^ la pression contre le plan et la tension du
fil
Conservons la notation du problème précédent , en supposant que l'angle a soit égal à 90 degrés.
Il vient
s,„y=^^___j , sm0=^— -^j,
16. Dans l'intérieur d'une sphère creuse on place une lame pesante et homogène, dont lajorme est celle d'un triangle isocèle^ les trois sommets s'appuient contre la surface de la sphère. Déterminer la position d'équilibre.
Soient r le rayon de la sphère , a la longueur des côtés égaux dans le triangle, h la hauteur du triangle et 6 l'angle que son plan forme avec l'horizon.
On trouve
taog = ,
il. Une tige pesante et homogène s^ appuie sur le bord d'un hémisphère concai^e, et son extrémité inférieure repose sur la surface interne. On suppose que le bord de l'hémisphère est horizontal y et que la Iongueur de la tige est supérieure au diamètre. Déterminer la position d'équilibre.
Soient r le rayon de rhémisphère , 2 a la longueur de la lige et 6 Tangle qu'elle forme avec l'horizon.
L'angle 9 est déterminé par l'équation du second degré
4 r ces' Ô — a ces B — 2 r = o.
18. Un poids Q est suspendu sur le bord d'une demi-sphère homogène, qui repose par sa surface conuexe sur un plan horizontal. Déterminer la position d'équilibre.
Soient P le poids de la demi-sphère, c la distance de son centre de gravité au centre de la sphère, et 9 l'angle de son axe avec la verticale.
On trouve
tangô = ^.
19. Une lame homx)gène, qui a la forme d'un triangle rectangle isocèle y est située dans un plan vertical y et s'appuie par ses côtés égaux sur deux chevilles fixes. Déterminer la position d"" équilibre.
Soient h la hauteur du triangle, 9 l'inclinaison de sa base sur l'horizon et a la distance des deux chevilles. On obtient les deux solutions
0=0, = arccos^;— •
