Une lame circulaire et homogène repose par son
centre sur une tige verticale* Placer sur la circonférence trois poids pi, ^j, ^3, de manière que la lame reste horizontale.
Soient (pi, p^), (pj, pg), [p%^P\) les angles au centre sous-tendus par les arcs qui séparent les poids px et ps, Pi et Pli y p^ etpi.
cos(p3,p.)= — —
SECTION IL
ÉQXJILIBUE AVEC FROTTEMENT.
1 . Une barre pesante et homogène AB repose par Vune de ses extrémités A sur un plan ho-rizontal et dépoli KL; Vautre Ç extrémité B est soutenue par un "L fih guipasse sans frottement sur
une poulie E et supporte un poids Q. Déterminer la siute des positions d'équilibre.
Soient 2 a la longueur de la barre, P son poids, 9 son inclinaison à l'horizon, R la pression normale que le plan exerce sur rexlrémité A, F le frottement exercé sur la même extrémité dans la direction LK , u. le coefficient de frottement relatif au plan et à la barre, et 9 Tinclinaison du fil BE sur l'horizon.
Projetons les forces qui sollicitent la barre d'abord sur une horizontale, puis sur une verticale, et prenons leurs
moments par rapport à l'extrémité A . Il vient
F = Q CCS <p , R 4- Q sin y = P,
(A) Pcos0= 2Q sin(^-- 0).
Posons
F=: R tange,
tang e sera une quantité comprise entre o et /jtj alors la première équation pourra s'écrire
R tang s = Q ces f ,
et, si l'on élimine R à Taide de la seconde équation, on trouve
(B) P sin e = Q cos (f — e).
Cette relation , jointe à la formule ( A) , nous détermine les angles (f et 9 qui correspondent à une valeur donnée de 6. On aura toutes les positions d'équilibre en donnant à e toutes les valeurs comprises entre o et arc tang [i. Pour la valeur particulière e=:o, l'équation (B) donne
© = -; et, d'après l'équation (A) , on a 9 = -j quel que soit le poids Q , pourvu qu'il soit inférieur à celui de la barre. Dans le cas où l'on aurait Q = - P, l'angle Q pourrait être quelconque.
2. Une barre pesante ACB, appuyée sur un étai DC, est soutenue par une ^-^^ force Q qui agit à V extrémité A dans une direction donnée. Déterminer la position de la barre, lorsqu'elle est sur le point de glisser dans le sens BA.
Soient P le poids de la barre , G son centre de gravité ,
a la dislance AG, x la distance GC, rinclinaison de la barre sur Thorizon , (j) Tinclinaison de la force , R la pression normale de Tétai sur la barre et fx le coefficient de frottement.
Projetons les forces qui sollicitent la barre sur Thorizontale, sur la verticale, puis prenons leurs moments relatifs au point G , en supposant que la barre soit sur le point de glisser. Il vient
Q ces (p =: R sin ô 4- fxR cos ô , Q sin y -f- R cos = P -h fxR sin ,
(A) Vx ces = Q (a 4- x) sin («p — Ô).
Éliminons R entre les deux premières équations , et pour résoudre plus commodément l'équation finale par rapport à Q , posons yL = tang e \ nous trouvons
Qcos(« — cp) — P sin e
tanc = -= \ —
° Q sm (s — (j>) 4- Pcoss
L'équation (A) nous fera connaître la distance x. W. W. 3. Une planche rectangulaire et homogène CDEF, située dans un plan verticalj repose, par l'un de ses côtés CF, sur un plan dépoli AB dont rinclinaison à r horizon croît graduellement. Dans quelle position du plan la planche cornmencera-t-elle à glisser, ou à tomber en tournant autour de son sommet C ?
Soient P le poids de la planche , a le côté CF , h le côté CD, R la pression normale que la planche éprouve de la part du plan, a l'inclinaison du plan et [l le coefficient de frottement.
Lorsque le corps est sur le point de glisser, on a
pR = P sin a, R =r P CCS a ;
8o MÉCAMQIJE HATIOMIVELLE.
et, par conséquent,
jA = tang a , a = arc tang pt.
Telle est rinclinaisou du plan lorsque le corps commence à glisser.
Observons cependant que le corps pourra perdre son équilibre sans glisser. En effet, soient G le centre de gravité du corps et GH une perpendiculaire abaissée sur le côté CF; si le coefficient fi est assez considérable pour que la droite CG devienne verticale avant que l'angle a ait atteint la valeur arc tang [i , à cet instant le corps tournera autour du sommet C, et perdra son équilibre avant de glisser. Lorsque la ligne CG est verticale , a est égal à l'angle CGH, d'ailleurs tangCGH= j-; par conséquent, le
corps commencera par tourner si i on a fi^j^ ei il commencera par glisser si l'on a (x <^ y*
4. Une tige pesante AB peut se moui^oir en tous sens et sans frottement autour deson extrémité A comme pwot; son autre extrémité B s'appuie sur un plan vertical et dépoli. Déterminer la position de la tige lorsqu'elle est sur le point de perdre son équilibre.
Soient P le poids de la barre, a son inclinaison sur la perpendiculaire au plan, R la pression normale que la barre éprouve de la part du plan, et fx le coefficient de frottement.
Le lieu du point B sur le plan vertical est un cercle qui a pour centre la projection O de l'extrémité fixe A. Nommons B l'inclinaison du rayon OB sur l'horizon , et ob-
servons ([ue le frottement s'exerce suivant la tangente au cercle.
Si nous considérons les moments des forces par rapport à un axe vertical passant à l'extrémité fixe A , nous obtenons la relation
R.OBcosô = fitRsinÔ.OA.
Or
OB = OAtanga; donc
tanga cosO = fA sin9, tango = - tanga.
5. Une tige pesante appuie ses extrémités l'une sur un plan horizontal, l'autre sur un plan vertical, et est perpendiculaire à r intersection des deux plans. Déterminer la position de la tige, lorsquelle est sur le point de perdre son équilibre.
Soient fjt et fx' les coefficients de frottement relatifs au plan horizontal et au plan vertical, aetb les distances du centre de gravité de la tige à l'extrémité inférieure et à Textrémité supérieure, 6 l'inclinaison de la tige sur l'horizon .
On trouve
a — au/ b
6. Une barre pesante et homogène appuie ses extrémités sur les deux faces d'un angle dièdre dont l'arête est horizontale. Déterminer la plus grande inclinaison à r horizon que la barre puisse admettre sans glisser, et trouv^er les relations qui existent entre le poids de la barre et les pressions normales qu'elle éproui^e, lorsquelle est sur le point de glisser.
Soient a et a' les angles que les faces du dièdre font L 6
avec l'horizon de part et d'autre de Tart^le commune, tangX et tangX' les coefficients de frottement relatifs à ces deux faces estimés en s' éloignant de l'arête , R et R' les pressions normales que la barre éprouve de la part des mêmes plans , P le poids de la barre et 6 sa plus grande inclinaison.
La barre doit être perpendiculaire à Tarête du dièdre, et Ton trouve
cos>sin(a' — V) cosVsin(a — X) sin(a + a'— X — V) 2 tango = cot(a — X) — cot(a' — V).
7. Une planche rectangulaire et homogène repose par son milieu sur un cylindre horizontal^ Vaxe du cylindre est perpendiculaire à celui de la planche: Quel est le plus grand poids que Von puisse suspendre à V extrémité d^ la planche sans la faire glisser sur le cylindre?
Soient P le poids de la planche, 2a sa longueur, r le rayon du cylindre, tangX le coefficient de frottement, et Q le poids cherché.
On trouve
8. Une barre pesante et homogène appuie F une de ses extrémités contre un plan ^vertical, tandis que Vautre extrémité est soutenue par un fil attaché en un point du plan. Déterminer la position de la barre lorsqu'elle est sur le point de glisser.
Soient a la longueur de la barre, P son poids, R la pression normale quelle éprouve de la part du plan, 9 l'angle qu'elle forme avec la verticale, / la longueur du fil, cf son inclinaison sur la verticale, et u le coefficient de frottement.
Les angles y et sont déterminés par les équations
sin ô = - sin «p.
Le signe supérieur correspond au glissement de bas en haut 5 le signe inférieur, au glissement de haut en bas.
9. Un cylindre elliptique^ dont l'axe est horizontal j appuie sa surface com^exe sur deux plans, l'un vertical et poh\ Vautre horizontal et dépoli. Le coi*ps est sur le point de glisser, lorsque le grand axe de V ellipse de base fait un angle de 45 degrés ai^ec riiO" rizon. Quel est le coefficient de frottement sur le plan horizontal P
Soit e rexcentricité de l'ellipse de base.
Le coefficient de frottement est égal à- e*. W. W.
10. Une demi-sphère homogène peut rouler sur un plan horizontal^ mais le frottement t empêche de glisser. Quel est le moment du couple nécessaire pour tenir le corps en équilibre, lorsque la base est inclinée de 3o degrés à V horizon.
Soient P le poids de la demi^sphèie, et r le rayon.
Le moment cherché est égal à —r P/'.
84 MÉCANIQUE RATIONKELLE.
