ÉQUILIBRE SANS FROTTEMENT
4 . Entre deux plans inclinés on place deux sphères homogènes, de telle manière qu'elles s'appuient l'une contre l'autre, et que chacune d'elles touche l'un des plans. Déterminer la position d^équilihre.
On voit d'abord que l'intersection des deux plans doit être horizontale , et que la ligne des centres doit être perpendiculaire à cette intersection. Le problème sera donc résolu , si nous déterminons l'angle Q que la ligne des centres fait avec F horizon.
Soient R la réaction mutuelle des deux sphères , P et P' les poids de ces sphères, a et cl' les angles aigus que les deux plans forment avec Thorizonj admettons que l'angle a se rapporte au plan qui touché la sphère P, dont le centre est le moins élevé. Par les points de contact entre les plans et les sphères, abaissons des perpendiculaires sur l'intersection des deux plans, et projetons sur ces deux droites les forces qui sollicitent chacun des deux
corps. 11 vient
R cos(a -f- 0) = Psina, Rcos(a'— 0)=P'sina';
d'où Ton lire, par 1 élimination de R,
rangea. P-tanga---.Ptanga ^ ^ (P'H-P)tanga' tanga
2. Trois sphères homogènes sont placées dans V intérieur (Tune sphère creuse , ile telle sorte que les quatre centres soient dans un même plan vertical. Déterminer la position des trois premières sphères , lorsqu'elles sont en équilibre.
Soient C le centre de la sphère creuse, c, c', c" ceux des trois autres sphères, P, P', P" les poids de ces sphères, //, d\ d" les distances de leurs centres à celui de la -sphère creuse, Q l'angle que Ce' forme avec l'horizon, a l'angle cCc', a." l'angle c" Ce , Admettons que les lettres c', d' se rapportent à la sphère qui est touchée par les deux autres, et que la verticale du point C passe entre les points c^ c' .
Nous pouvons considérer Fensemble des trois sphères intérieures, comme ne formant qu'un seul corps solide; car ce corps sera en équilibre, si chacune des trois sphères est séparément en équilibre. Prenons par rapport au point C les moments des forces qui sollicitent ce corps composé . Il vient
Prfcos(9 + a) 4- P'rf'cosô -h P"t/''cos(0 — a") = 0;
d'où
P ^/ cosa + F d' + V" d" cosoi'' tange - pT^sina - PV sina'' '
Cette relation suffit pour déterminer la position d'équilibre, car toutes les quantités qui entrent dans le second
membre s'expriment aisément en fonction des rayons des sphères, lesquels sont connus. W. W.
3. Deux barres pesantes et homogènes reposent leurs extrémités inférieures sur un même plan horizontal , et appuient leurs extrémités supérieures fune contre P autre. On admet que la petite surface de contact entre les deux extrémités est dans un plan vertical, et que les extrémités inférieures ne peuv^ent glisser sur le plan qui les supporte. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient P, P' les poids des deux barres, 6, 6' leurs inclinaisons à rkorizon, et R leur réaction mutuelle, qui est horizontale.
Si l'on prend les moments des forces qui sollicitent chaque barre , autour de l'extrémité inférieure , il vient
p cosô = 2R sinô, P'cos0'= 2RsinO'; d'où
P tangG
V '" tango'*
F&ANCHiNi , Memorie délia Societa italiana , e. XVI, part. I, p. 237.J i8i3.
4. Deux cylindres sont liés l'un contre l'autre par un fil inextensible. Déterminer le rapport de la tension du. fil à la réaction mutuelle des deux cylindres.
Considérons la section faite par le plan qui contient le fil et qui est perpendiculaire aux cylindres.
Soient icl l'angle au centre sous-tendu par Tare que le fil recouvre sur le plus petifdes cercles de section, r et r les rayons de ces deux cercles, T la tension du fil, et R la réaction mutuelle des deux cylindres.
Si nous projetons sur la ligne des centres les forces qui
sollicitent Tuii des cylindres, il vient
R=T 1 cosae/a = 2Tsina; d'ailleurs, si l'on suppose /\> r\ la géométrie nous donne
r — r ces a = , ) sm a :
\/{r-^ry-^(r--r'Y ^ s/r
r-hr' r-^r
par conséquent,
R 4 v/rr'*
5. Deux fils inextensibles sont attachés en un même point fixe ^ l'un supporte une sphère ^ Vautre soutient un poids qui pend au-dessous de la sphère sans la toucher. Déterminer V angle que le premier fil fait a\^ec la verticale.
Soient P le poids que soutient le second fil , Q — P le poids de la sphère, a le rayon de la sphère, et h la dislance du centre au point de suspension.
L'angle cherché est arc sin ( 75-7 ) • W. W.
6. Une tige rigide et sans poids AGB est liée à deux points fixes A , C , et porte un poids P à son extrémité B. Déterminer les pressions exercées sur les deux points fixes.
Soient a la longueur de la barre , a son inclinaison sur la verticale, b la distance AC des deux points d'attache, F et G les pressions parallèles à la barre qui sont exercées sur les points A et C, R et S les pressions perpendiculaires à la barre qui sont exercées sur les mêmes points.
F + G =PcDSa,
S= T Psina, R= — ; — Psina.
L'une des pressions F, G^st arbitraire.
SECTION II
