ÉQUILIBRE AVEC FROTTEMENT
4. On place une sphère pesante et homogène dans r intérieur dun angle dièdre, dofit P arête est horizontale, et qui est formé par deux lames égales et rectangulaires, libres de tourner autour de T arête commune. Les bords extrêmes des deux lames sont réunis par un fil dont on augmente graduellement la tension. Déterminer la valeur qua cette tension y lorsque la sphère commence à prendre un mou\^ement ascendant.
Admettons, pour plus de simplicité, que les deux lames soient homogènes \ nommons Q le poids de chacune d'elles , 2 a leur inclinaison mutuelle , 2a la longueur de leurs côtés inclinés , R, R' et F, F' les pressions normales et les frottements qu'elles exercent sur la sphère , /x , f^' les coefficients de frottement , P le poids de la sphère , r son rayon, et T la tension du fil.
Lorsque le système est en équilibre , son centre de gravité est situé dans le plan vertical qui contient l'arête fixe 5 d'où il suit que les deux lames font des angles égaux avec l'horizon. De plus, la symétrie du système montre que l'on a
R' = R et F' = F,
Ceci posé, projetons sur la verticale les forces qui sollicitent la sphère, et prenons autour de l'arête fixe les ma«-
ments des forces qui sollicitent la première lame. Il vient
2F-C0Sa -h P == 2R sina,
Rr cota -J- Qa sina = nia cosa.
La sphère ne peut prendre un mouvement ascendant sans glisser sur Tune des lames; par conséquent, elle commencera à monter lorsque le frottement F sera devenu égal à la plus petite des quantités /xR, fx'R'. Supposons que [Â soit inférieur à u' 5 alors la sphère commencera par glisser sur la première lame , à laquelle se rapporte le coefficient jx, et elle roulera sur l'autre face du dièdre. A cet instant on aura , d'après les équations précédentes ,
2 (sina — fx cosa)
T = -7 — z J-. ^ +• - Q ïanga,
4âsma(sina — ptcosa) 2^
OU , si Ton pose (i = tang e ,
^ Pcoss „ Prcoss I ^
R = — —, : J T = y — ^-^ — r "h - Q langa.
2sm(a — S) ^a sina. sin[a — e) 2 ^
2. Deux roues égales O, O', situées dans un même plan veitical, sont posées sur un plan incliné; leurs axes sont réunis par une barre homogène , qui porte en son milieu un poids Q5 Vune des- roues O est enrayée^ Vautre est libre. Quelle est la plus grande inclinaison du plan qui soit compatible ai^ec V équilibre du chariot?
. Soient 7' le rayon des roues , P leur poids , 2 a la longueur de la barre qui unit les axes , q le poids de cette barre, X et Y les composantes de la réaction de la roue libre sur la barre estimées suivant une parallèle et suivant une perpendiculaire au plan incliné , R et R' les réactions normales du plan sur les deux roues O et O', y l'incli-
90 MÉCAIVIQLE RATIOUAELLE.
naUon du plau, ^ le coeflicient de frottemeul entre le plan ei la roue O.
Considérons Tensemble de la barre et de la roue enrayée, comme ne formant qu'un seul corps, et supposons que ce corps soit sur le point de glisser. Si nous projetons les forces qui le sollicitent, d*abord sur une perpendiculaire au plan incliné, puis sur une parallèle, et que nous prenions leurs moments par rapport à l'axe de la roue, il vient
R-h Y = (P -+-Q-h7)cos<p, pR — X = (P H- Q -H y) siny, ^Rr-h 2flY= (Q-h ^)aco$o.
Prenons maintenant les moments des forces qui sollicitent la roue libre, par rapport à son point de contact avec le plan. Nous trouvons
Xr = Prsiny.
L'élimination des quantités X, Y, R , entre les quatre équations qui précèdent , nous donne la tangente de Tinclinaison cherchée
tangy =
iir
3. Deux barres égales AC, BC sont réunies en C par une charnière sans frottement, et leurs extrémités inférieures reposent sur un plan horizontal. On connaît, par obser\^ation , la plus grande valeur^ de F angle ACB qui soit compatible avec V équilibre, et Von veut auoir le coefficient de frottement entre les extrémités inférieures et le plan,
Ce coefficient de frottement est égal à - tang -•
SECTION III
ÉQUILIBRE d'un SYSTÈME DE BARRES.
1 . Plusieurs tiges rigides et sans poids sont réunies bout à bout par des charnières j de manière à former un polygone plan à angles variables. Chaque tige est sollicitée par une force proportionnelle à sa longueur y appliquée en son point milieu, et qui est dirigée suiv^ant la perpendiculaire menée dans le plan de la figure. Cruelle est la forme du polygone lorsque le système est en équilibre?
Soient A, B, C, D, etc., les sommets du polygone-, q^ /•, etc., les réactions mutuelles qui ont lieu entre les côtés qui aboutissent aux sommets B , C , etc. ; i B^ , c C y , les droites suivant lesquelles sont dirigées ces réactions 5 P, Q9R5 etc., les forces appliquées aux côtés AB , BC , CD , etc.
Première solution, — Déterminons les conditions de l'équilibre d'une tîge BC. Pour cela projetons les forces qui la sollicitent, d'abord sur sa propre direction, puis sur une direction perpendiculaire, et prenons leurs moments par rapport au point milieu de la tige. 11 vient
y cos(CB p) = rcos(BCc),
Q = 7 sin(CB p) -h r sm{BC(:) ,
r/sin(CBp)=/'sin(BCc).
La première équation, combinée avec la troisième, nous donne
fj — r.
(CBpj = (BCr)5
ga MÉCAMQUE RATIONNELLE.
et la seconde équation peut s'écrire
Q=2r sin(BCf).
On trouvera de même
R = a/sin(DC7); par conséquent ,
Q sin(BCc) ^ sin{DcV) D'ailleurs, par hypothèse,
QBC 8in(BDC)
R "" DC "" ~ ^^^ ' siii(DBC)
donc
sm(BCc)sin (BDC) sin(DC7) sin(DBC) On a évidemment
(BC^) + (DC7) = (BDC) 4- (DBC;; et de cette relation , jointe à la précédente, on tire
(2) (BCc) = (BDC).
On prouvera de même que
(3) (BAC) = (CBpj.
Ajoutons maintenant les équations (i), (2), (3). Il vient
(BAC) = (BDC),
égalité qui nous montre que les quatre sommets consé-
cutifs A, B, C, D sont sur une même circonférence de cercle 5 il s'ensuit que , dans le cas d'équilibre , le polygone esl^înscriptible. L'égalité (2) nous fait voir que les réactions des tiges l'une contre l'autre sont tangentes à la circonférence circonscrite au polygone ] et , puisque nous avons trouvé <7 = r, toutes ces réactions sont égales. Leur rapport avec le rayon p de la circonférence se déduit de l'équation
Q = 2/'sin{BCc).
En eflet, la géométrie nous donne
BC = 9.p sin(BCc), d'où
p BC r- q'
c'est-à-dire que le rapport du rayon de la circonférence à la pression mutuelle de deux tiges , est égal au rapport constant de la longueur d'une tige à la force qui lui est appliquée.
Fuss, Mémoires de Saint-Pétersbourg; 1817, i8i8, p. 46.
Deuxième solutioîi. — Représentons en grandeur les forces P , Q , etc. , par des lignes égales à 2 A6 , 2 BC , etc. Remplaçons la force 2 AB , qui est appliquée au milieu de la tige AB , par deux forces parallèles égales à AB et appliquées aux deux extrémités de cette tige. Remplaçons aussi la force 2 BC par deux forces parallèles égales à BC et appliquées, l'une à l'extrémité C de la tige BC , l'autre à l'extrémité B de la lige AB^ cela est permis en vertu de la liaison des deux extrémités qui se joignent en B.
Si l'on prend les moments relatifs au sommet C des forces qui sollicitent la tige BC , on voit que la pression F,
q4 XÉCAKIQUE EÂTIOSJiELLE.
qu'elle éprouve de la part de la tige AB, doit être dirigée suivant BC. D'après la loi du parallélogramme des forces , les forces ÂB et BC, qui agissent à rextrémité B de I» lîge AB, peuvent être remplacées par une force ^ale et perpendiculaire à AC. Tenant compte de ces remarques, prenons les moments des forces qui sollicitent la tige AB par rapport à l'extrémité A.
Il vient
F.ABsin(ABC) = ÂC.AB cos.BAC), ou
F sin(ABC) =ÂC cos(BAC).
On trouvera de même , pour le côté CD ,
F sin (BCD) = BD cos (BDC) ;
par conséquent, ,^ sin (ABC) AC cos (BAC)
sin (BCD) cos(BDC)
D'un autre côté , la géométrie nous donne
sin (BAC) ÂC ^^"(^^^^ ^ BD sin(ABC)
sin ( BDC ) 5^ sin (BCD ) AC sin (BCD ^
BD
On en tire, d'api es l'équation (4) ,
sin (BAC) cos(BAC)
sin (BDC) cos(BDC)
(BAC) = (BDC).
STATIQUE. p5
On conclut, de cette égalité, que le polygone est inscrîptible dans une circonférence de cercle. W. W.
2. Un quadrilatère ABCD est formé par quatre tiges rigides et sans poids y qui peui^ent tourner librement autour des sommets comme char- ^B nières; deux fils, AC, BD, dont on connaît les tensions T, S, joignent les sommets opposés. On demande la condition géométrique que le quadrilatère doit "vérifier^ pour que l'équilibre ait lieu.
EuLER, Acta Acad. Petrop, ; 1779; part. 11, p. 106.
Soient O l'intersection des deux diagonales, et N la réaction mutuelle qui a lieu entre les points A, D par l'intermédiaire de la tige.
Prenons autour du sommet B les moments des forces qui sollicitent la tige AB. Il vient
N.BDsin(ADB)=:T.BOsin(BOC).
On aura de même, pour le sommet C et la tige CD,
N.ACsin(CAD) = S.COsin(BOC), d'où
T.BO BD.sin(AD B) BD. sin(ADb) BD.AO AC.sin(CAD) AC.sin(DAO) ^^-^^
