GOS
Par conséquent ,
Ce problème s'applique à une pièce d'étoffe homogène, d'une largeur constante, que Ton voudrait soutenir sur deux bâtons fixés horizontalement à la même hauteur, dans des directions parallèles.
Annales deGergonne, t. XIX, p, 33g.
6. Un fil pesant et homogène est attaché par Vune de ses extrémités à un point fixe situé au-dessus d'un plan incliné y tandis que Vautre extrémité et une portion du fil reposent sur ce plan. On connaît la longueur totale du fil y V inclinaison du plan, celle de la tangente à la courbe au point d'attache , et Von demande la longueur de la portion du fil qui repose sur le plan.
Soient ABC le fil dont il s'agit, A le point d'attache, BC la partie qui repose sur le plan incliné , / la longueur totale du fil 5 V celle de la partie qui repose sur le plan , a l'inclinaison de ce plan sur l'horizon , et y celle de la tangente à la courbe à l'extrémité A.
L'arc AB appartient à une certaine chaînette 5 supposons que cette chaînette soit prolongée jusqu'en un point A' situé à la même hauteur que le point A , et qu'elle soit décrite par un fil semblable à celui que nous considérons.
Nous disposons les axes relativement à cette chaînette
STATIQUE. Il5
auxiliaire , comme dans le problème i, et nous conservons la même notation ^ de plus , nous nommons L le sommet de cette cliainette, et nous comptons les arcs s à partir de ce point.
D'après les formules
ds
:i.(J rî)=4,
la tension au point B est — —^ et les arcs LB, LA sont
^ ces a
respectivement égaux à c tanga, c tang(p.
Ceci posé , la tension au point B est nécessairement égale au poids de la portion de fil BC qui repose sur le plan , estimé suivant la longueur de ce plan.
On a donc
,, . mes
mgl sin a = —y
cosa
c:=z l' sin a ces a,
d'où
/ — l' =z arc LA — arcLB = c(tang7 — - tanga)
= /' sin a cosa(tangep — tanga),
cosa ces (<p — a) /cosf
cos y cos a cos (y — a )
7. Une chaîne flexible y homogène y mais d'inégale c^paisseur, est suspendue par ses extrémités. Déterminer la loi sm\fant laquelle doit ^varier V épaisseur en chaque point y et la courbe que doit affecter la chaîne y pour que la tension varie d'un point à un autre proportionnellement à l'épaisseur y ou que la chaîne présente partout égale chance à la rupture.
Conservons les notations du problème I, et nommons w
ll6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
le rapport constant qui existe entre la masse rapportée à Tunite de longueur m et la tension t.
Les formules (3) et (4) du problème I nous donnent
£Lr
ds T dlr»
/W = fûl = ft)T-r- = r— >
dx g as di
ou
/ rf/'\ d^y dp
- =r îùg dxy
si l'on pose, pour abréger, — = p.
L'intégrale est
w g'x =r arc tangy?,
dy /? = — = taDg.a)^.r
nous n'ajoutons pas de constante , parce que nous sup* posons l'origine située au point le plus bas où ~- =o. Si l'on intègre la dernière équation , il vient
r= — ^log(cos.wg'ar),
e ° cos.(dgx = i;
nous n'ajoutons pas de constante par la même raison que plus haut.
Cette dernière équation est celle de la courbe décrite par la chaîne. On voit qu'elle est composée d'une infinité de branches comprises entre deux asymptotes verticales. Nous n'avons à considérer que la branche comprise entre
STATl^^UE. 117
les asymptotes
Portons la valeur de p dans l'équation
ds
/W = ^0) =2 WT -j-^
dx il vient
i7i := /ft) = cjT sec.w^x,
ce qui fait connaître la tension et Tépaisseur de la chaîne
en un point quelconque.
Nous avons encore
fix
ds = ^ ;
cos*wg:x
par conséquent, la longueur d'un arc de la chaîne compté à partir du point le plus bas jusqu'au point [x^y) est
I , i-f- sin.wfl'j:
s = lOg ; ^- ,
2 0) g' ^ 1 — SiW^tùgX
et le poids de cet arc a pour valeur
/rd.(0gx mgds:= r I r-^ — = T idJïg.tagx.
^ J COS\(ùgX
Le rayon de courbure p est donné par la formula
dp
dx
Puisqueg = ..^(^y,
i ds I t mg
(dgdx (Ùg ' ° Tdig Tw'g'*'
d'où Ton voit , qu'en chaque point de la chaînette , le rayon
Il8 MÉCANIQUE RÀTIONIfELLE.
de courbure est proportionnel soit à la tension , soit au poids de Félément. On voit aussi qu'au point le plus bas
ce rayon est égal à —
FiNCK. et BoBiLLiEB , Atinalcs de Gergonne, t. XVII, p. 61.
8. Un fil pesant est attaché par ses deux extrémités en deux points fixes. La masse dujil rapportée à V unité de longueur est proportionnelle y en chaque point, au cosinus de l'angle que la tangente à la courbe fait auec r horizon. Trousser l'équation de la courbe.
Soient m = |3 -- la masse correspondante au point
(Xjj) et r la tension au sommet de la courbe. La courbe est la parabole
Jacques Bernoulli^ Acta erudit.; Lips., JuD., Opéra, 1. 1, p. 449» — J^^^ Beenoulli, Opéra y t. lU, p. Soi.
9. Déterminer la courbe décrite par un fil pesant y lorsque la masse rapportée à l'unité de longueur est proportionnelle à y" sin (p, n étant positif y et (f désignant r inclinaison de la tangente sur V horizon.
Si Ton pose
et si l'on choisît une origine telle , que Taxe des x passe au sommet inférieur de la courbe et que ^ = 00 pour a: = o , on trouve l'équalion
orr" = — jT— •
Lorsque n est égal à l'unité , la courbe est une hyperbole.
Jacques Bernoulli, Acta crudit.; Lips., Jun., Opéra, 1. 1, p. 449- — J'^^N Beenoulli, Opéra, t. III, p. 5oi.
10. Un fil pesant décrit une parabole du second degré. Déterminer la loi suivant laquelle varie la niasse rapportée à V unité de longueur.
Soît
Téquation de la parabole.
On trouve
Jean Bernoulli, Opéra, t. III, p. 5o^,
\ \ . Un fil pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes situés sur une même ligne horizontale y et la courbe décrite est une cycloïde. Déterminer ^ en un point donné y la masse du fil rapportée à V unité de longueur y et trousser le poids de Parc compris entre le sommet de la cycloïde et le point donné.
07 = a(a> 4- sinw),
j = a (i — cosw)
les équations de la cycloïde , et P le poids cherché. On trouve
sec' -6)
/w=;t — z 5 P==Ttane-&).
12. Un fil pesant y de longueur donnée y est attaché par son extrémité en un point fixe A , situé sur un plan horizontal et dépoli y tandis que Vautre extrémité est attachée à un poids posé sur le plan. Entre le poids et le point h. est une fente étroite qui permet au fil de pendre librement, Troui^er la plus grande distance du poids au point A qui soit compatible ai^ec l'équilibre du système.
I20 MéCÀMQUE RÀTIONlfELLE.
Soient fji le coefficient de frottement du poids sur le plan , n le double du rapport entre le poids donné et celui du fil, / la longueur du fil et 2 a la distance cherchée.
On trouve
