FIL SOLLICITÉ PAR UNE FORCE CENTRALE
1 . Trouver V équation de la courbe décrite par un fil flexible , doîit toutes les molécules sont attirées vers un centre fixe.
Soient APP' B une portion du fil , S le centre d'attraction , PP' un élément infiniment petit du fil, PT et P'T' les tangentes en P et P', O le centre de courbure correspondant à l'élément PP' ^
p le rayon de courbure pour le même élément 5 r la distance du point P au centre d'attraction -, p la distance ST du centre d'attraction à la tangente au point P \
T la distance PT «5
^ l'angle des deux tangentes PT, P'T' 5
? l'angle SPT 5
Fangle que forme le rayon SP avec une direction fixe 5
s l'arc de la courbe compté dans le sens APP'B 5
t la tension du fil au point P5
F la force attractive au même point, rapportée à runité de masse ^
m la masse du fil rapportée à T uni té de longueur.
Projetons les forces qui^soUîcitent Vêlement PP', d'abord sur le rayon de courbure PO, puis sur la tangente PT.
H vient
Ymds siof = (f -H dt) sin^p ,
F/w ds cosç = (r H- rff ) costp — t.
Comme on doit négliger les quantités infiniment petites d'un ordre supérieur au premier, ces équations se réduisent à
Ymds sinip = t'^ ,
Y mds cosf = dt y ou , d'après les relations (p = — et cos(p = -j 9
(a) F m sm^ = -•
P {b) Ymdr—dt.
Si Ton considère le triangle OPP' et le triangle semblable formé par TT' et les deux tangentes PT, P'T', on voit que
d'ailleurs
T dr
Divisant ces deux équations l'une par l'autre, on trouve
r dp
p dr
On a encore
smcp = -•
STATIQUE. l'iS
Entre ces deux dernières relations et l'équation (a), éliminons p et sincp-, nous obtenons
Fmdr-h —t = o , P
et si nous retranchons l'équation (i) ,
dp de
dp de
L'intégrale est
Iog(/j9)=:const. , tp = const. = C ;
elle nous montre, que le moment de la tension par rapport au centre fixe est le même en chaque point.
On tire de cette formule , en la rapprochant de l'équation (i),
- r=; 1 Fmdn P J
Cette dernière formule peut êlre considérée comme l'équation de la courbe rapportée aux coordonnées p eir-^ mais il sera plus commode de prendre les coordonnées polaires ret 0, qui sont liées aux précédentes par la relation
r'dB
Il vient
ou
s/dr' + r» dB'
er'dB:
dB:
Cdr
rsJe^r' — O
C'est l'équation de la courbe en coordonnées polaires, telle qu'elle a été donnée par Jean BernouUi (^). .
(») Opéra f t. IV, p. 338.
124 MÉCANIQUE RÀTIONMELLE.
La formule (&) fera connaître la tension par une simple quadrature , si l'on a soin d'exprimer F et m en fonction de r.
On remarquera de nombreuses analogies entre ces formules, et celles qui conviennent au mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe , la tension joue le rôle de la vitesse.
Le cas d'une force centrale répulsive n'a pas besoin d'être traité d'une manière spéciale, il suflSt de changer le signe de F dans les formules qui précèdent.
2. Un fil homogène et sans poids ^ retenu par ses extrémités, est attiré vers un point fixe ^ par une force qui est in^^ersement proportionnelle au carré de la distance^ Déterminer la courbe décrite par lefil^
Considérons le point de la courbe où la tangente esl perpendiculaire à la force d'attraction. Soient r la tension du fil en ce point, c la distance du point au centre d'attraction , et A la force attractive exercée au même point et rapportée à l'unité de masse.
Conservons pour le reste la notation du problème précédent.
D'après l'équation (ft) , nous avons
//* c' mk c* Fmdr= \ k -mdr^=z
Puisque t doit se réduire à t , lorsque r = c , la constante est égale à r -f- m/rc, et, par conséquent,
mkc^ ^ = T -h mk c •
Substituons cette valeur dans l'équation (c) \ il vient
Qdr
const.
^Ôz=-
.[(,,„,.fi£)%.c.]'
Or, lorsque — = o , nous devons avoir r=c^ il en résulte C = CT, en sorte que, si nous posons
mkc '
l'équation de la courbe se réduit à celle-ci ,
ncdr
dB =
/•[(/i -M)»r*— 2 (w + i) cr + c*— n^c^]*
Il convient, pour l'intégration, de distinguer trois cas, suivant que l'on a
/î > I , « = I , ou /î <^ I .
Premier cas. w >► i .
L'intégrale est
= , arc sm ^ h C
Si l'on compte les angles 9 à partir du rayon vecteur qui est égal à c , on a
ti = ~ ?
d'où
(/i — i) c -h r . fit \n
'- = sm ô ) 5
nr \^ n )
/ICOS'^ Ô— I
Deuxième cas. « = i .
L'intégrale est
126 UÉCÂNIQUE RATIONNELLE.
si Ton admet que B est nul lorsque r = Cy on a
Troisième cas. n <^ i.
L'intégrale est
iog|^-i ^ — Vr=;iJ+^'
si est nul lorsque r = c , on a
d'où
Les trois courbes que nous venons d'obtenir ont des asymptotes faciles à détel^miner. En effet , d'après le problème 1 , on a
cr CT ne
t mffc^ c
T -\' mkc n -{- \
Si l'on fait r = oo , il vient
ne pz=z
c'est la distance du centre d'attraction aux asymptotes des trois courbes. Si l'on fait de même /• = oo dans les équations des trois courbes , on trouve , pour la première courbe,
: arc ces - ?
pour la seconde courbe ,
pour la troisième courbe ,
Q = :jz--=, log
Ces angles sont les inclinaisons respectives des deux asymptotes sur le rayon qui sert d'origine aux angles 0w Jean Bernoulli , Opéra, t. IV , p. 2^0.
3. Un fil homogène et sans poids ^ retenu par ses extrémîtésj est soumis à Faction cT une force répulsii^e, émanée (Tun centre fixe, et im^ersement proportionnelle à la fx**"**' puissance de la distance à ce centre. Déterminer la courbe décrite par le fil.
Conservons la notation du problème précédent, et admettons , qu'au point où la force répulsive est perpendiculaire à l'arc, la tension est égale à
Nous obtenons l'équation
=:COs(fx — 2)0.
4». Étant donnée une corde parfaitement Jlexible et homogène , mais d'inégale épaisseur, dont tous les éléments sont soumis à l'action d'une force centrale inversement proportionnelle à la distance, trouver la loi suivant laquelle doit varier l'épaisseur en chaque point et la courbe que doit affecter la corde dans le cas d'équili-bre, pour que y dans cet état , la tension varie d'un point à un autre proportionnellement à l'épaisseur, ou que la corde présente partout égale chance à la rupture.
Conservons la notation et les axes du problème 2 ; de
plus, prenons pour unité de force celle qui agit à l'unité de dislance, et pour unité de densité celle de la corde, en sorte que l'épaisseur soit représentée par le même nombre que la masse rapportée à Funité de longueur. Nommons a le rapport constant qui existe entre l'épaisseur m et la tension t en chaque point de la corde , dans l'état d'équilibre.
Les formules [b) et (c) du problème 1 nous donnent les équations
cos{i±fl) = <:•=*=«,
dans lesquelles le signe supérieur répond à une force attractive , et le signe inférieur à une force répulsive.
On voit que la trajectoire peut être , suivant les cas , un cercle, une hyperbole équilatère, une lemniscate, ou quelque autre courbe.
Les deux équations qui précèdent permettent d'évaluer le volume d'un arc, compté à partir de l'axe polaire, en fonction de l'épaisseur au point ou l'on s'arrête.
Soit V ce volume. On trouve
OssiAN Bovjii.T y Journal de M. Liouville , t. IX, p. 97 ; i844*
SECTION IV
