FIL PLACÉ SUR UNE COURBE FIXE
1 . Un Jil flexible et pesant est maintenu en équilAve sur une courbe située dans un plan vertical. Déterminer y en un point donné y la tension du Jil et In pression exercée sur la courbe.
Prenons Taxe des x horizontal , et soient
P le point donné dont les coordonnées sont X^y\
V un point infiniment voisin 5
p le rayon de courbure qui correspond à l'élément PP';
(f FaDgle des deux rayons de courbure qui abou^ tissent aux points P et P' 5
ds la longueur de l'élément PP' ;
m la masse du fil rapportée à l'unité de longueur : t la tension au point P \
R la pression que supporte la courbe au même point P.
Projetons les forces qui sollicitent l'élément PP' sur la tangente au point P. Il vient
dy (t -i- dt)coS(f'-' t=: mgds — 9
ou simplement
dt=^mgdjr.
Si l'on suppose que l'axe des x passe par le point où la tension est nulle, l'intégrale est
/ z=z mgy.
Projetons les mêmes forces sur la normale au point P. Il vient
mgds -j- + (^+ ^0 s*"? = R ûf^ ,
ou
dx 9 «
ds et puisque p = — •> on a
dx t l dx y\
2. Un fil Jlexihle passe sur une courbe située dans un plan vertical f et porte à ses extrémités deux poids égaux ^ I. 9
l3o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
le poids du fil peut être considéré comme nul vis-A^vis des poids quil supporte. Déterminer la pression exercée sur la courbe en un point donné.
Con&ervons la notation du problème précédent, et nommons Q l'un quelconque des poids suspendus aux extrémités.
Si l'on projette sur la normale au point P les forces qui sollicitent l'élément PP', il vient
(/ -i-^^)sincp = Rrf5=: Rp(p,
ou simplement
^ = Rp.
Si l'on projette les mêmes forces sur la tangente au point P, on trouve
[t -f- dt) cos(p — ^ = o , ou simplement
(ii = Oy t = consl.
Or, en le point où la tangente est verticale,
?=rQ; donc Q = Rp, R =r ^.
Corollaire. — La pression totale que supporte la courbe est
Soit 4> Fangle des deux normales menées aux points où le fil abandonne la courbe. La pression totale aura pour valeur la quantité Q4> augmentée des pressions qui s'exercent aux points extrêmes. Ces pressions additionnelles seront nulles, si la tangente en ces points extrêmes est verticale 5 dans ce cas , la pression totale est tt Q.
ËULER, Nopa comment. Petrop,; 1775; p. 807.
