Un fil flexible passe ai^ec frottement sur une courbe

STATIQUE. l3l

située dans un plan vertical, et porte à ses extrémités deux poids Q , Q', dont le premier est trop considérable pour que Véquilibre puisse subsister s'il n'y aidait pas de frottement^ le poids du fil peut être négligé vis-à^vis des poids quil supporte. Quelle relation doit exister entre les poids Q , Ç^' et le coefficient de frottement [i , pour que le système reste en équilibre?

Conservons la notation du problème précédent, et considérons le système lorsqu'il est sur le point de glisser.

Si nous projetons les forces qui sollicitent l'élément PP', d'abord sur la normale au point P, puis sur la tangente, il vient

(t-hdt)sin<f = Kds = B.pf, (^ + dt) cosep — t -h iiKds = o,

ou simplement

t = Rp, dt -\- iiKdszzzo,

On tire de ces formules

dt =: — u. " dSy

Pour que les calculs soient plus nets, remplaçons la lettre 9, qui nous représente un angle infiniment petit, par la diflerentielle dQ d'un angle 9 compté à partir d'une direction fixe. Nommons 9i , 0^ les valeurs de 6 qui correspondent aux points extrêmes, où le fil abandonne la courbe, en sorte que <î> soit égal à la diiférence 0, — 0,.

Nous aurons

log^ = — f* i d9 = — pô + const. = — ^0 -^ C,

l3^ MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Si nous appliquons cette formule aux points extrêmes, il vient

logQ = C — p0, , logQ' = C — f»ô„

d'où il résulte que la condition d'équilibre est

Lorsque le fil est sur le point de glisser, on a logf— logQ' = ft(e,— 9), £ — «/«(».-»).

alors la pression totale exercée sur la courbe est égale à la somme des pressions exercées aux points extrêmes , plus la quantité

Corollaire. — Si les tangentes à la courbe aux points extrêmes sont verticales , on a

et la condition d'équilibre devient