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EuLEK , Nova comment. Petrop. ; 1^75; p, 3iG.
SECTION V
ÉQUILIBRE d'un FIL ÉLASTIQUE.
Lorsqu'on suspend différents poids à l'extrémité d'un fil élastique et de longueur donnée , on observe que l'ai-
STATIQ15E. l33
longement est proportionnel au poids. Si l'on fait varier la longueur naturelle du fil , on trouve que l'allongement est proportionnel à celte longueur, tant que le poids du fil peut être considéré comme nul relativement au poids qu'il supporte.
Il résulte de là , que si Ton nomme a la longueur naturelle du fil , a' la longueur du fil lorsqu'il porte un poids P, et X une constante qui dépend de la nature du fil , on a
Cette loi fut d'abord énoncée par Hooke, dans le catalogue de ses découvertes placé à la fin de sa Descriptions of Helloscopes. Elle y était cachée sous l'anagramme ceiiinosssttuu [ut iensio sic "vis) 5 mais , plus lard , l'auteur ne craignit point de la développer et de la justifier , dans son Traité De potentia restitutlua, La théorie de Hooke servît de base au Mémoire de Leibnitz , Démons tratio nés no\^œ de resistentia solidorum , qui fiit inséré dans les Acta eruditorum pour l'année 1784. On peut consulter avec fruit sur ce sujet les Elementa physices àe S'Gravesande , lib. I, cap. 26.
1 . On suspend un fil élastique et pesant ABC par son extrémité A, au point B on attache un poids P, et on laisse pendre librement la portion BC. Quelle est la longueur du fil placé dans ces circonstances?
On connaît le coefficient d'allongement X , les longueurs a et & des parties AB et BC dans l'état naturel du fil , ainsi que la masse rapportée à l'unité de longueur m dans l'état naturel.
Soient
PP' un élément infiniment petit de la partie AB5
t la tension au point P-,
X la distance de ce point à l'extrémité supérieure A ,
j34 mécakiqde h ATI on jn elle.
c la longueur naturelle d'une portion de fil dont le poids serait égal à P ;
a', i' les longueurs des parties AB, BC dans les circonstances du problème.
Considérons d'abord la partie AB.
La masse rapportée à l'unité de longueur, dans le fil allongé, est égale à r- ; d'où résulte , pour l'élément PP',
la condition d'équilibre
ou
(i -h \t) di -f- mgdx =■ o,
t ( 1 4- - > / ) -f- mgx = const. = C.
Or, lorsque jc = o ,
t = mg{a + b-^c), lorsque x = a' ,
t = mg{b -^c).
Substituant ces valeurs dans la formule qui précède et retranchant les résultats , il vient
(« -h ô -h c) I -h i Img (fl -h i + f )
d'où
a' = a\ I H "kmg [a -h 2 b -h 2c)U
Considérons maintenant la partie BC.
Soit T la tension à la distance j^ du point B. On a
mgy = coDSt. = C
STATIQtJE. t35
Or, lorsque j^ = o , lorsque j- = i',
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente et retranchant les résultats , on trouve
Ainsi 9
û'+ b' = a-\- b Jr-'kmg[a{a-\- 2^ H-2c) 4-^'].
Telle est la longueur du fil dans les circonstances indiquées.
2. Un fil élastique et pesant ABC est fixé par son extrémité A au sommet d'un plan incliné AB , dont la longueur est égale à celle du fil dans son état naturel. Déterminer la longueur de la partie de fil BC qui pend au-dessous du plan.
Soient a la longueur du plan , a son inclinaison , x la distance au point A d'un point du fil AB, et t la tension en ce point.
Considérons d'abord la partie de fil qui repose sur le plan.
On a
dt-\- -2 — ^ ^^=0;
d'où
-f- mgx sin a = const. = C.
Si l'on désigne par t la tension au point B, par T la tension au point A , et que l'on applique la dernière for-
l36 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
mule à ces deux points , on obtient
t( i-f i>T| -^mga ^na = T: /n-i^TV
D'ailleurs ^ s et a — s désignant les longueurs naturelles des parties de fil BC et AB, on a
t=zmgSy T= »tg'[5-h(a — .v)si»a].
Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donnent
-\mg[a — j)[2* -h(a-.— j)sina] = J.
De cette équation du second degré on tirera la valeur de s y et la reportant dans l'expression
( i-h - \ms \y
on aura la longueur effective de la partie de fil qui pend au-dessous du plan.
3. Un fil élastique et rectiligne i-éunît deux poids qui reposent sur deux plans inclinés et parfaitement polis, Troui^er la position d'équilibre du système y en négligeant le poids du fil.
Soient P et Q les deux poids, AC et BC les plans sur lesquels ils reposent , a , |3 les inclinaisons de ces plans sur Tborizon , Q l'inclinaison de la direction PQ sur la direction horizontale AB, a la longueur naturelle du fil, a' sa longueur effective dans l'état d'équilibre et T sa tension. Considérons isolément l'équilibre du poids P, puis, celui du poids Q. Il vient
P sina = Tcos(a -— G), Qsiop=: Tcos(p -h ô)i
SIATIQUE. i3y
d'où
Psina Qsinp
cos(a— 0) ~" cos(p-f- e)'
PcotS — Qcota .ange = L^
Celle équalion déiermine Tangle 0.
La longueur du fil esi donnée par les équalions
r f •. rw.\ r ^ Psina 1
^ ' L cos(a— Ô)J
4. Déterminer la courbe qu'affecte une corde élastique et pesante, lorsqu^on la suspend par ses deux extrémités. On suppose que la corde est homogène et que, dans son état naturel, elle est partout d'* égale épaisseur.
Soienl m la masse de la corde rapportée à l'uuilé de longueur dans l'étal naturel, t la tension el s l'arc complé à partir du point le plus bas.
Prenons l'axe des y vertical et dirigé de bas en haut.
On a , comme au prob. 1 de la sect. II,
ds\ ds) ' ds\ ds J i-f- X/' •
La première équation nous donne
dx 'd7 = ^^
en désignant par t la tension au point le plus bas.
Si Ton reporle la valeur de t dans la seconde équation ^
, dr et que l'on pose, pour abréger, — =p, il vient
4= — ^îf=.
l38 MÉCANIQLE RATIONWELLE.
Nous allons ici substituer successivement à la variable 5 les variables x et y. Nous pourrons intégrer une première fois •, alors nous aurons deux relations 6nie8 entre /?, a: et f , et Tëlimination de p nous donnera Téquation de la I
courbe.
Remplaçons ds par sa valeur sj i ■+- p* dx \ \\ vient
ce qui donne , en intégrant ,
mgx = T [log {p -h \fiT~p) -+• \tp].
■p-^ v/^TT*.
Multiplions l'équation (2) parj[?, et remplaçons pdx par sa valeur dy ; nous trouvons
L'intégrale est
(4) ^ ,ngxz=:rs/i-hp'^^U'p';
nous n'ajoutons pas de constante , parce que nous admettons que l'ordonnée du point le plus bas est égale à
On peut tirer facilement de cette équation la valeur de p en fonction dey, si Ton porte cette valeur dans Téquation (3) , on aura Téquation de la courbe, laquelle e3t assez compliquée.
Il est cependant facile d'assigner la position d'un point donné à volonté sur la corde dans son état naturel. En effet , prenons l'équation ( i ) , dans laquelle les variables
sont s et p^
Le premier membre représente le poids de Télément ds\ si donc nous appelons P le poids de Tare s compté à partir du point le plus bas, nous aurons
Soit A un point donné sur la corde. On connaît le poids P de la partie de la corde qui est comprise entre le point milieu et le point A^ par conséquent, si t est connu , on connaît aussi la valeur de p correspondante au point A , dans la courbe que la corde décrit lorsqu'on la suspend par ses extrémités. Substituant cette valeur de p dans les équations (3) et (4) , on aura les coordonnées du point considéré. Si maintenant nous supposons que A soit l'une des extrémités de la corde, les valeurs de a; et de P relatives à cette extrémité étant fournies par les données, les équations (3) et (6) nous feront connaître T.
L'équation (5) nous fait connaître la longueur de l'arc qui se termine au point A \ car, si l'on intègre cette équation, on trouve
^=^[^-*-^^/^s/i-H/.' + ^Tlog(;>-f V^i-h/^Oj-
L'équation ( i ) nous donne le rayon de courbure p correspondant au même point A ,
^ dp mg ^ ^ M- I
dx
On voit qu'au point le plus bas, le rayon de courbure est
l40 MÉCANIQUE RiTlOMNELLE.
égal à
mg
FiNCK. et BoBiLLiEii, Jnnalcs de Gergonne, t. XVII, p. 65.
5. Deux poids égaux sont réunis par un fil élastique et sans pesanteur dont la longueur naturelle est connue. Déterminer, dans un plan vertical , deux courbes telles, que si Von dépose les deux poids sur ces courbes à la même hauteur et partout où Von voudra, ils restent en équilibre.
Soient P l'un des poids et a la longueur naturelle du fil. Prenons Taxe des y vertical, dirigé de haut en bas et à égale distance des deux poids; plaçons l'origine de telle sorte que la tension du fil soit nulle en même temps que l'ordonnée des poids.
Les courbes cherchées sont deux demi-paraboles représentées par la double équation
(xip^y=x«
6. Autour d'un cône vertical et parfaitement poli, on place un anneau élastique, dont on connaît le rayon naturel a et le poids P. DétemUner la position d'' équilibre pour cet anneau.
Soil a Finclinaison des génératrices du cône sur l'axe. Le rayon de Tanneau dans sa position d'équilibre est
a\\ -^-X — cota |:
cette valeur détermine la position d'équilibre, car l'anneau doit rester horizontal.
STATIQUE. ï4l
