PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

Cousidérons un système de points matériels assujettis â des liaisons quelconques et sollicités par des forces choisies à volonté. Concevons que l'on donne aux points du système des mouvements infiniment petits et compatibles avec les liaisons , puis que l'on fasse le produit de chaque force par le petit chemin qu'a parcouru son point d'application suivant la direction de cette force, et qu'on ajoute tous ces produits. La somme obtenue sera nulle, quels que soient les mouvements imprimés, si l'équilibre subsistait avant que l'on eût dérangé le système; et réciproquement, si la somme est nulle pour tous les mouvements compatibles avec les liaisons, l'équilibre subsistait.

Cette proposition est connue sous le nom de principe des vitesses virtuelles^ les projections sur les directions des forces , des petits chemins que l'on conçoit parcourus par les points d'application correspondants, se nomment vitesses virtuelles ^ et les produits des forces par les vitesses virtuelles correspondantes se nomment moments virtuels.

L'énoncé du principe tel que nous venons de le donner, suppose que les liaisons peuvent s'exprimer par des équations, ou, ce qui revient au même, que les points sont assujettis à rester sur des surfaces données. S'il arrive que les points soient simplement assujettis à ne pas pénétrer dans l'intérieur des surfaces, alors, pour qu'il y ait équilibre, il suffit que la somme des moments virtuels soit toujours nulle ou négative, et jamais positive.

Les géomètres remarquèrent d'abord cette propriété de

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Féquîlîbrc dans quelques machines particulières, puis ils furent conduits pas à pas à reconnaître que cette loi est entièrement générale. Guîdo Ubaldi (*) l'observa d'abord dans l'équilibre du levier^ Galilée (') la découvrit plus tard dans le plan incliné et dans les machines qui s'y ramènent; le premier il introduisît dans la science l'expression moment d^une force, pour signifier le produit d'une force par la vitesse virtuelle de son point d'application. Pour qu'une machine sollicitée par deux forces soit en équilibre, dît-il, il faut que les forces aient des moments égaux et de directions contraires.

Le principe des vitesses virtuelles fut exposé pour la première fois dans toute sa généralité par Jean BernouUî, dans une Lettre à Varignon (') datée de Baie, le 26 janvier 1717. Lagrange a depuis magnifiquement développé rétonnante fécondité de ce principe, dans la Alécaniqne analytique.

Le même principe des vitesses virtuelles a donné naissance à d'autres lois générales qui s'en déduisent presque immédiatement. C'est dans cette classe qu'il faut ranger la loi de Torricelli (*) , savoir, que deux poids invariablement liés entre eux sont en équilibre , lorsque le centre de gravité du système a la plus basse position, qui soit compatible avec les liaisons.

Tels sont encore les principes de Maupertuis et de Courtivron. Considérons un système de points matériels liés entre eux et sollicités par des forces P, Q, R, etc., dirigées vers des centres fixes, et fonctions des distances p, ^, r, etc. de ces centres aux points d'application correspondants. Déplaçons un peu le système, et soient dp^

(') Mechanicorum hher ; deLibrâ, de Cochleâ.

(') Délia Scienza Mccanica; Opéra \ t. I, p. 265; Bologna , i655.

(') Nouvelle mécanique , t. II, sect. 9.

(*) De moiu gravium naturaliter desccndentium } \Q!\f\.

dq^ dr^ etc., les accroissements des distances p, ^, r, etc. D'après le principe des vitesses virtuelles, si le système est en équilibre, nous aurons

Vdp-^-qdq -+-Rflfr-f- ... =0;

d'ailleurs, il est aisé de voir que le premier membre de cette équation est la différentielle d'une certaine fonction n des distances p, 9, r, etc., en sorte que l'équation pourra s'écrire

dn = o.

De là il résulte que, si II est un maximum ou un minimum, le système est en équilibre. Tel est le principe de Maupertuis qui fut publié sous le nom de loi du repos dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année 1 740 5 Euler le développa plus tard dans les Mémoires de V Académie de Berlin *

La réciproque du principe de Maupertuis ne serait pas exacte, car on peut avoir ^/n=:o, et le système peut être en équilibre, sans que H soit un maximum ou un minimum. Lagrange (*) a observé-que, lorsque II est un minimum , l'équilibre est stable , et que , lorsque H est un maximum, l'équilibre est instable. En particulier, un système de points matériels soumis à la seule force de la pesanteur sera dans un équilibre stable ou instable, suivant que son centre de gravité aura la plus basse ou la plus haute position qui soit compatible avec les relations géométriques qui lient entre eux les différents points du système.

Le principe de Courlivron (') peut s'énoncer ainsi: dans un système de corps en mouvement sous l'action de forces qui varient suivant une loi donnée, toutes les positions du système auxquelles la force vive est un maximum

(*) Mécanique analytique ; i*"® partie, sect. 5.

(*) Mémoire de V Académie des Sciences de Berlin; 1748, 17/19.

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sont des positions d'équilibre stable, et celles où la force vive est un minimum sont des positions d'équilibre instable.

SECTION I