APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE, AUX SYSTEMES ARTICULÉS ET AUX ENGRENAGES

1. Lorsqu'une courbe plane se meut dans un plan, et que l'on connaît, pour l'une de ses positions, les tangentes aux trajectoires de deux de ses points a et é, il est aisé, pour celte position , de résoudre les problèmes suivants :

Mener la normale et la tangente à la courbe décrite par un point m lié à la courbe mobile.

Déterminer le rapport des vitesses de deux points liés à la courbe mobile.

Trousser le point de contact de la courbe mobile ai^ec son eni^eloppe,

La solution de ces problèmes découle immédiatement des propositions placées sous les n°* 1 et 2 dans le chapitre précédent. En effet , connaissant les tangentes aux trajectoires des points a et &, on peut tracer les normales à ces trajectoires, et leur intersection sera le centre instantané de ifotation pour la courbe mobile. Ce centre étant connu , il suffira de le joindre au point décrivant m pour avoir la normale et, par suite, la tangente à la courbe décrite par ce point. Les vitesses des différents points de la figure mobile seront entre elles comme les distances de ces points au centre instantané. La normale abaissée du même centre sur la courbe mobile la rencontrera au point de contact avec l'enveloppe.

CINÉMATIQUE. 18 1

Si Ton connaît les trajectoires de deux points a et & de la figure mobile , on pourra construire la courbe S' décrite par le centre instantané sur le plan fixe du mouvement, et aussi la courbe S'' décrite par le même centre sur le plan mobile de la première figure; dès lors, si Ton fait rouler la courbe S'^ sur la courbe S' en entraînant le point m , celui-ci décrira la même courbe que dans le premier mouvement. Ainsi Ton aura un nouveau mode de génération pour la courbe décrite par le point m.

Enfin , quand ce nouveau mode de génération est seul donné, on peut encore résoudre les mêmes problèmes; car le point de contact entre les courbes S' et S-' est à chaque instant le centre instantané de rotation par rapport à toute figure liée à la courbe S" .

Appliquons ceci à quelques exemples.

2. On donne deux courbes fixes S', S'', une courbe mobile S assujettie à rester tangente aux deux premières , et un point m lié avec la courbe S.

Pour mener la tangente à la courbe décrite par le point m , il suffit d* élever deux normales sur la courbe mobile à ses deux points de contact, et de joindre l'intersection de ces normales au point m ; cette droite de jonction sera la normale, la perpendiculaire sera la tangente*

La courbe S peut se réduire à deux droites qui se coupent sous un angle donné; chacune des courbes S', S'' peut se réduire à un point fixe par lequel devra passer la courbe S ; alors on a autant de cas particuliers qui embrassent un grand nombre de courbes auxquelles nous savons mener les tangentes. Supposons, par exemple, que S' soit une hyperbole équilatère , S'' le centre de cette hyperbole, S l'ensemble de deux droites rectangulaires; l'intersection de ces droites décrira une lemniscate de Jacques Bernoulli. On sait donc mener la tangente à la lemniscate.

l82 MÉCANIQUE RATIOIMNELLE.

3. On donne deux courbes fixes S', S", une courbe mobile S, et deux points a, m liés avec cette courbe; le point a est assujetti à rester sur la courbe S', el la courbe S doit constamment toucher la courbe S'^ Pour trouver la tangente à la courbe décrite par le point m, il suffit d'élever une normale à la courbe S' au point a , et de tracer la normale commune aux deux courbes 8,8''; la ligne qui joint l'intersection de ces deux normales au point m est normale à la courbe décrite par ce point, la perpendiculaire est la tangente. 8upposons, par exemple, que 8' soit une droite, S'' un point et 8 la droite arri] alors le point m décrit une conchoïde. Ainsi l'on sait construire la tangente à la conchoïde.

4. On donne deux axes rectangulaires OX, OY, une droite mobile amb de Ion- "^^'7^' gueur constante el un point /;i pris sur

/ j cette droite. Si l'on promène en même

X 1 temps les deux extrémités a et i de la

Yi droite sur les deux axes OX, OY, le

a X point m décrit une ellipse. Dès lors, il

nous est facile de construire la tangente à V ellipse. En eiîbt, surOa et O J construisons le rectangle aO 60'; 0' sera le centre instantané de rotation, et, par conséquent, O' m sera la normale à l'ellipse, une perpendiculaire sera la tangente.

Dans le rectangle construit, la diagonale 00' est égale à l'autre diagonale ab^ laquelle est constante; de là, il résulte que le lieu du centre instantané est un cercle C décrit de O comme centre avec un rayon égal à ab. D'un autre côté, le triangle rectangle aO'i a son hypoténuse constante; donc la courbe décrite par le centre instantané O', dans son mouvement relatif autour de la droite ab^ est un cercle C décrit sur cette droite comme dia-

CIJVÉMATIQUE. 1 83

mètre. Par là nous voyons que, lorsqu'un cercle mobile C roule intérieurement sur un cercle fixe C de rayon double, tout point w, pris dans le plan du cercle mobile , décrit^ autour du centre du cercle fixe , une ellipse qui se réduit à un diamètre^ lorsque le point décrispant est situé sur la circonférence du cetvle mobile.

Observons encore que la perpendiculaire CV/?, abaissée du point O' sur la droite aè, est normale h la courbe enveloppe de cette droite, laquelle courbe a pour équation

5. Les principes qui nous ont servi à résoudre les problèmes précédenls nous permettent encore de calculer le rayon de courbure de la courbe que décrit un point w, lié à une courbe mor bile S", lorsque celle-ci roule sans Q. glisser sur une courbe fixe S', située

dans le même plan.

Nous n'aurons nullement besoin de l'équation de la courbe décrite; il nous suffira de connaître les rayons de courbure r et r' des courbes S' et S''.

Pendant la rotation infiniment petite que la courbe S" effectue autour de son point de contact comme centre instantané de rotation, nous pouvons substituer aux deux courbes S", S' leurs cercles osculateurs au point de contact , et supposer que le premier de ces cercles roule sur Tautre en entraînant le point m ; Félément de la courbe décrite ne sera pas altéré.

Soient donc n le point de contact entre les courbes S', S'' 5 O, O' les centres des ceicles osculateurs à ces courbes au point fz, et a l'angle O' nm.

■ aisons louler le cercle O' d'une quantité infiniment it n^ le nouveau point de contact, et m' la

l84 MÉCANIQUE RATIOWNELLE.

nouvelle position du point m. Les droites mn , ///ai' sont deux normales infiniment voisines à la courbe décrite par le point m , leur intersection c est le centre de courbure. Supposons que Tare infiniment petit nnl soit égal à re ; alors la droite nni a décrit autour du point n un

angle égal à la somme h — ; des rotations simultanées

autour des centres O, O'; en sorte que Télément mm'

perpendiculaire à mn est égal à nm e — -j— - D'ailleurs

la projection nn'' de nn' sur une parallèle à mm^ a pour valeur recosa. On a donc

me mm' ( '' -H /*') »/w

ni'^ nn^ '^ rr' cosa

ou 9 si Ton nomme (3 Tangle Omn,

(A) me __ r -^ r' sin (a -h p)

^ r cosasin^

De cette équation on tire, en observant que mn = me — /ïc,

— (r-l-r')sin(a-hp) —

me = , / ■ -fr ^ — r—^ s mn.

r' sm (a -f- p) -f- r sm a ces p

Telle est la valeur du rayon de courbure.

Si le point m se trouve sur le contour du cercle mobile, alors p = a , et , par conséquent ,

me = mn,

C'est la valeur du rayon de courbure dans une épicycloïde. Lorsque les deux cercles O, O' ont leurs centres d'un même côté de la tangente commune , le &igne de /' seul est changé.

CIjyÉMATIQUE. l85

6. A Taidc des mêmes principes on peut encore résoudre aisément plusieurs questions particulières.

i Nous n'en traiterons |îci qu'une seule, que nous aurons l'occasion de rappeler plus tard. Trouver la développée d'une épicycloïde.

Considérons une épicycloïde extérieure nim^ \ tous nos raisonnements s'appliqueront sans difficulté à une épicycloïde intérieure. Soient O le centre du cercle fixe , r son rayon , r' celui du cercle mobile , m le point décrivant , n le point de contact, et np le diamètre qui passe à ce point.

Puisque mn est normale à l'épicycloïde , mp est tangente; c'est-à-dire que la tangente à une épicycloïde extérieure est la droite qui passe au point de contact du cercle mobile avec le cercle, enveloppe extérieure du cercle mobile dans ses positions successives. De là il suit que la droite mn est tangente à toute épicycloïde extérieure (ZfXi, où le cercle r joue le rôle de cercle enveloppe, pourvu que le point décrivant fx se trouve sur la droite m/i, lorsque le cercle mobile de cette épicycloïde louche son enveloppe au point n.

Ceci posé , faisons rouler les cercles mobiles des deux épicycloïdes mnix , fxfXi , de manière que ces deux cercles restent toujours en contact. Soient n' le nouveau point de contact, mx la nouvelle position du point m, fjti- la nouvelle position du point /x, a l'angle nOn'^ et p, p' les rayons du cercle fixe et du cercle mobile dans la nouvelle épicycloïde. On a

arc/w,/i' = avcmn — ra, arc fx, « ' = arc fA« — j» x ,

iSG MÉCANIQUE HATIO^AELLE.

OU Lieu j coiisidéranl les angles au centre sous-tendus par ces arcs dans les cercles auxquels ils appartiennent,

angle nti n ' == angle mn ^ a ,

angle p, n' = angle ^/z — — a.

Or, puiscjne le point |ul est, par hypothèse, sur la droite uin , angle mn = angle f* n ;

d'où Ton voit, eu égard aux équations précédentes, que le point ^li sera sur la droite min', si Ton a

Cette condition étant satisfaite, la seconde épicycloïdc est la développée de la première. On en conclut que la dèi^eloppée d'une êjncjcloïde est une èpicycloïde semblable,

7. Nous compléterons ces applications par l'élude et le tracé de quelques machines usuelles.

rmm'W^^^^^^^K^^^i' '''^^ Bielles, — Soit uuebielle

t^^^^^^^^^^^f ,-'' AB qui transmet le mou- I / vement d'un balancier OA

\/ à une manivelle O'B, O

5 ' et Cy étant les deux centres

de rotation. Prolongeons OA et CKB jusqu'à leur rencontre en C. Le point C est le centre instantané de rotation relatif à la bielle \ par conséquent, les différents points de ce corps tournent autour du centre C avec des vitesses proportionnelles à leurs distances à ce point. Si la vitesse de l'extrémité A du balancier est donnée, on connaîtra celle de tout autre point , et en particulier celle de Textrémité de la manivelle.

CINÉMATIQUE. 187

Soient w' la vitesse angulaire de la manivelle, w celle du balancier. On a