CHOC DE SPHÈRES HOMOGÈNES SANS FROTTEMENT
Imaginons que deux sphères homogènes et de même matière, qui se meuvent suivant la droite qui joint leurs centres , viennent à se choquer Tune contre l'autre.
Soient
m^m les masses respectives de ces deux corps ;
u , m' leurs vitesses avant le choc ;
v', Kf' leurs vitesses après le choc; ces vitesses étant comptées positivement dans une direction et négativement dans la direction contraire.
On a toujours l'équation
(A) m[ii. — o)~ w'(p'--«').
Si les deux corps sont complètement dépourvus d^élasticité, cette équation suffit pour déterminer leur mouvement après le choc; car ces deux corps, après s'être rencontrés, marcheront ensemble et ne formeront, pour ainsi dire , qu'un seul corps. Quand les corps ont quelque élasticité, il convient de distinguer deux périodes dans la durée du choc : pendant la première les centres de gravité se rapprochent, et pendant la seconde les centres de gravité s'éloignent. Si la pression mutuelle qui s'exerce entre les deux corps a des valeurs égales pendant les deux périodes pour une même distance des centres de gravité, les corps sont dits parfaitement élastiques, et dans ce cas la
seconde équation du mouvement est
Lorsque les corps n'ont qu'une éltisticité imparfaite ^ comme cela a Heu généralement dans tous les corps de la nature, la question devient beaucoup plus difficile, et Tétat actuel de nos connaissances sur les réactions moléculaires ne nous permet pas de la résoudre complètement. Cependant on admet que la quantité de mouvement rendue à Tun quelconque des corps, dans la seconde période du choc, est égale au produit d'une quantité e, comprise entre zéro et l'unité et constante pour un même corps, par la quantité de mouvement qui serait restituée, si le corps était parfaitement élastique. Alors on a l'équation
Cette formule donnée d'abord par Newton (^) concorde assez bien avec les résultats de l'observation. En effet, d'après une série d'expériences faites par Hodgkinson (*), la quantité e ne diminue que lentement à mesure que la vitesse relative des deux corps avant le choc augmente, et même cette quantité est sensiblement constante lorsque la vitesse relative est considérable.
Nous adopterons donc cette formule (B), et nous remarquerons qu'il suffit d'y poser e = i pour avoir l'équation rigoureuse qui convient aux corps parfaitement élastiques; tandis que, si l'on y fait e = o, on a Tégalité i/'=: j^ qui convient aux corps privés d'élasticité. Le nombre e sera pour nous la mesure de l'élasticité. Il est d'ail-
(') Principia, Axiomata, lex III, schol.
(') Reports of ihe British Association for the Advancemenl of Science, vol. TU, p. 534.
leurs aisé de le délerminer expérimentalement pour un corps donné, car, si nous supposons que m' soit nul et que la masse m puisse être négligée vis-à-vis de la masse m', les équations (A) et (B) nous donnent
V' — p = en ,
d'où
(C) rc= — (?«.
C'est-à-dire que le plus petit des deux corps acquerra, par l'effet du choc , une vitesse rétrograde dont le rapport avec la vitesse primitive est égal au nombre e. C'est le cas facile à réaliser d'un corps qui vient choquer un autre corps invariablement fixé sur la terre.
Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur le choc des corps est dû à J. Marc Marci de Crownland (*) , médecin hongrois, qui publia à Prague, Tan lôSg, un Traité De proportione motûs seu régula sphymica^ dans lequel il étudie le choc des corps dépourvus d'élasticité ou parfaitement élastiques. Les lois qu'il a données pour ces derniers corps sont précisément celles que l'on adopte aujourd'hui. Cet ouvrage remarquable est cependant tombé dans un oubli général -, il parait même qu'il ne parvint pas à la connaissance de Wallis, de Wren et de Huyghens qui, trente années plus lard, donnèrent à peu près les mêmes lois que Marci. Wallis (*) s'occupa des corps dépourvus d'élasticité, Wren (^) et Huyghens (*) étudièrent les corps parfaitement élastiques.
On peut consulter, sur le sujet qui nous occupe, les
(') MONTUCLA , Histoire des Mathématiques, t. II, p. 4o6.
(-) Philos. Trans., 1668, p. 864.
(») Vhilos. Trans., 1668, p. 867.
{*) Philos. Traus., 1669, p. 925. — Journal d'js Savants, mars, 1669.
ai 2 MÉCANIQUE IxATIONWELLE.
écrits de Wallis (*), de Keill (*), de Mariotte (*) et de Smeaton (*).
1. Trois sphères m^ nî^ m" parfaitement élastiques sont en ligne droite; le corps m est lancé sur le corps ni a^ec une vitesse donnée. Trouver la masse que doit a^^oir ce second corps ^ pour que la vitesse quil communiquera au corps m" soit la plus grande possible.
m, m'^ m" les masses des trois corps ^ a la vitesse imprimée au corps m ; Vf la vitesse de ce corps après le choc dans le sens de la vitesse a\
a' la vitesse qu'il communique au corps m'\
a" la vitesse que ce corps m' communique au corps m".
Les formules (A) et (B) nous donnent
et si Ton élimine
, 2/Wfl
De même,
Par conséquent ,
4 mm' a
(m-hw')(w' + m'^)
(') Mechanica, pars tertia, 1671.
(') Introductio adveram phy5icam,\9Ci, 12, i3, 14.
(") Traité de percussion.
{*) Philos. Trans., avril, 1782.
DYWAMIQtîE. 2l3
La question est ramenée à déterminer le minimum de la quantité
DiiTérentions cette expression par rapport à m'\ il vient
///' — mm'^ = o, /// = slmm" ,
HuYGHENS, Phil. Trans.y 1669, p. 928.
2. Une sphère parfaitetnent élastique est lancée contre un plan fixe et bien uni, a^^ec une vitesse donnée en grandeur et en direction. Déterminer la grandeur et la direction de la vitesse après le choc.
Soient u et ^ les vitesses d'incidence et de réflexion; a et |3 les angles que les directions de ces vitesses font avec la normale. Ces vitesses ont pour composantes parallèles au plan lisina , f^sin|3 , et pour composantes normales ucosa, ^cos(3.
Puisque le plan est parfaitement uni , le choc n'altère pas la composante de la vitesse d'incidence qui est parallèle au plan ; on a donc
fsînp = Msina.
La composante normale se comportera comme si le choc était normal; en sorte qu'on aura, d'après l'équation (C),
(^COS^ =: «ces a.
On tire de ces deux équations ,
c'est-à-dire que la vitesse n'esl point altérée par le cho<',
2l4 MÉCAWK^UK RAïiOJSNELLE.
et que Tangle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
Wallis, Mechan.y part III, de Elatcre ^ etc,^ prop. 2.
3. Deux sphères parfaitement élastiques, animées de "vitesses connues en grandeur et en direction , viennent à se heurter. Déterminer les vitesses de ces sphères après le choc et leurs directions.
Soient m , m' les masses des deux sphères, O, O' leurs centres à l'instant du choc, a, a' leurs vitesses avant le choc , AO , A'O' les directions de ces vitesses, a , a' les angles que ces directions font avec la direction 00'.
Décomposons chacune des vitesses a , a' d'abord suivant la ligne des centres 00', puis suivant une perpendiculaire à cette ligne située dans le plan AOO' pour la vitesse a, et dans le plan A'0'0 pour la vitesse a. Les composantes de la première vitesse seront acosa, âtsina, et celles de la seconde vitesse seront a'cosa', a'sina'.
Les composantes perpendiculaires à la ligne des centres ne seront point altérées par l'effet du choc; d'où il suit que le corps m continuera à se mouvoir dans le plan AOO', et le corps m' dans le plan A'O'O.
Les composantes parallèles à la ligne des centres seront modifiées de la même manière que si les deux sphères se mouvaient avant le choc suivant la ligne OO', avec des vitesses égales à ces mêmes composantes «cos a, a'cosa'. Dès lors , si nous représentons par i^ et p»' les composantes suivant 00' des vitesses des deux sphères après le choc, nous aurons, d'après les équations (A) et (B),
/w(«cosa — {>) = m* {v' — a' cosol) , V — V = acosa — fl'cosa';
d'où
DY^AMIQL^:.
m — /// lin
. — , a cosa H ; a cosa ,
m' — tn , , 2 /w
V = , â cosa H T a cosa.
Nommons V et V les vitesses des deux sphères après leur choc et 4> , $' les angles que les directions de ces vitesses font avec la direction OO'. Nous aurons,
V» = P' -f- fl^sin'a, V = p'* + fl"sin'a',
asina , â'sina' lang* = 9 tang*' — -, —
Keill, Introductio adveram physicam , lect. i4-
4. Deux sphères imparfaitement élastiques se meui^ent a\^ec des vitesses données sur une même ligne droite et dans la même direction , lorsque l'une d'elles "vient à heurter contre Vautre. Déterminer les vitesses de ces deux corps après le choc.
Soient w 5 m' les masses des deux corps, a, a' leurs vitesses avant le choc, p», i^' leurs vitesses après le choc et e leur élasticité commune.
D'après les formules (A) et (B), on a
ma -4- m'a' m'e{a — a')
ma-\-m'a' weia — a')
Maclauein , Choc des corps, p. 3o. Prix de TAcad., 1. 1. 5, Trouver la somme des forces vives qui animent
fÀl6 MÉCANIQUE RATïOM<ELL£.
après le choc les deux sphères considérées dans le pro^ blême précédent.
On trouve
mm (i — e-) {a — «')'
mu'
-^ m' v'"^ =1 ma* -\- m' a""
Cette formule montre que , par F effet du choc, la somme des forces vwes diminue d'autant plus que l 'élasticité est m,oins considérable.
6. j4ifec quelle vitesse une bille doit-elle choquer une bille égale s déjà animée d'une vitesse connue , pour que le premier corps reste immobile après le choc?
Lies deux billes ont la même élasticité.
Soient a la vitesse de la seconde bille et e Félasticité des deux corps.
La vitesse imprimée à la première bille doit être
7. Déterminer les vitesses a et b que doiv^ent avoir deux sphères A et B, qui se meuv^ent suiv^antune même direction, pour qu'après le choc y le premier corps A reste en repos, et le second B continue à se moui^oir avec une vitesse connue j3.
V élasticité commune des deux corps y e, et leurs masses m , în' sont données.
On trouve
n . il .
Maclaurin, Choc des corps, p. 52. Prix de PAcad., 1. 1. 8* Une sphère Aest lancée contre une sphèreBen repos ^
on "Veut gu! après le choc, la première sphère A reste en repos, et la seconde B se mette en mouvement as^ec une vitesse égale à la /i'*'"* partie de la ^ntesse primitiv^e du premier corps. Déterminer V élasticité e des deux sphères
et le rapport — de la masse du second corps à celle du
premier.
On trouve
9. Deux sphères parfaitement élastiques, qui se meuvent suivant une même droite avec des vitesses égales et contraires, viennent à se heurter. Quel doit être le rapport de leurs masses, pour que l'une d'elles reste en repos après le choc?
Soient m^ la masse de la sphère qui doit rester en repos après le choc et m celle de l'autre sphère.
On trouve le rapport
10. I?es billes en nombre quelconque et de même élasticité sont disposées en ligne droite^ on imprime à la première bille une vitesse connue, dans la direction des autres corps. Trouver la vitesse que la dernière bille recevra.
Soient n le nombre des billes, mj, m^, . . ., ot„ leurs masses, e leur élasticité commune, a la vitesse imprimée à la première bille et v la vitesse cherchée que recevra la dernière bille.
On trouve
^ ' /w, + Wj Wi -f- W3 //î„i -f- nu
MaglauriM; Choc des corps, p. 54* Prix de FAcad., t. I.
2l8 MÉCAWIQL'E RÀTIOINMELLE.
H. Un nombre quelconque de billes égales , juxtaposées en ligne droite sur une table bien unie y sont liées entre elles par des fils inextensibles et d'égale longueur^ on écarte brusquement la première bille en lui imprimant une vitesse connue suis^ant la droite des centres, et Von demande le temps qui doit s^ écouler aidant que la dernière bille soit mise en mouvement»
Soient n le nombre des billes , a la longueur de chacun des fils de jonction et [3 la vitesse imprimée à la première bille.
Le temps cherché est
12, Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de masses connues m, m* ] on imprime à lapremière une vitesse donnée a^ vers la sphère voisine. Trouver quelles doiv^ent être les masses des sphères intermédiaires, pour que la vitesse a' communiquée au dernier corps soit un maximum, et déterminer la limite vers laquelle consierge cette vitesse maximum, lorsque le nombre des sphères intermédiaires croît indéfiniment.
Tous les corps considérés ici sont parfaitement élastiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit être une moyenne géométrique entre celles des deux sphères adjacentes^ et si l'on nomme n le nombre des sphères intermédiaires , on obtient entre les vitesses la relation
vA^^'M^']
Lorsque le nombre des sphères croît indéfiniment, ce
rapport it^id vers la limite — = %/--,• En eflet,
a y nr '
en sorte que, si l'on se borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
Iim ■
I — = lim ( I • - loi; —r )
On montrera sans peine que les termes négligés s'évanouissent à la limite.
13. Une sphère dépoun'ue de toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement privée d^ élasticité; on connaît la vitesse de la première sphère à V instant du choc et V angle que sa direction fait a\^ec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient a l'angle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, v^ sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de l'autre sphère.
On trouve
: a I sin'a -h ; T— cos'a I
14. Deux sphères A, B, déniasses égales et animées d'une même vitesse a, viennent à se heurter de telle sorte
220 MÉCANIQIE RATIOKJNELLE.
qu^à l* instant du choc la ligne des centres coïncide ai^ec la direction que suivait la sphère B] on connaît r angle a de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de l'angle a qui rend fnaximum la vitesse de la sphère A.
Soient u et v les vitesses des deux sphères A et B après le choc.
On trouve
u'= ja'[i -\- e -h (i — e) cosap-i- û^sin-a, <•' = j û' [i ~- e 4- (i H- e) cosap.
La vitesse u est la plus grande possible lorsque
ces a:
15. Trois sphères parjaitenient élastiques A, B, C sont placées aux ti^ois sommets d'un triangle connu. Trouver le rapport qui doit exister entre les niasses des trois corps pour que la sphère A , lancée obliquement sur la sphère B , soit réjléchie sur la sphère C et revienne à sa position primitive.
On suppose qu'à Tinstant où deux sphères se choquent la ligne de leurs centres est perpendiculaire au côté opposé du triangle, et que les diamètres des sphères sont très-petits par rapport aux côtés du triangle.
Soient a , (3 , y les angles du triangle qui correspondent aux sphères A, B, C, et ///, m', w" les masses de ces sphères.
Les relations cherchées sont les suivantes :
m sin^ m siny
m' sin (a — v) m" sin ( p — a)
16. Une sphère en mouv^ement A vient heurter une sphère en repos B. Déterminer V angle 9 que la direction de la sphère A auant le choc doit faire a^ec la ligne des centres AB , pour que la déi^iation (f que cette sphère éprouvée dans le choc, soit la plus grande possible. On connaît V élasticité commune aux deux corps, ainsi que le rapport n de la masse de la sphère A à celle de la sphère B, et Von ne compte V angle (p que jusqu'à 90 degrés.
L'angle cherché est fourni par Téquation
tangG
et la valeur correspondante de la déviation est donnée par la formule
tang^p = j p.
2(/i+ iy{n^ey
aaa mécanique rationnelle.
