CHAPITRE II
MOUVEMENT REGTILIGNE D'uN POINT MATÉRIEL.
Considérons un point matériel qui se meut suivant une ligne droite, et soient
f^ la vitesse de ce mobile -,
X sa distance à une origine fixe prise sur la droite qu'il parcourt 5
y la force accélératrice qui le sollicite et qui sera positive si elle tend à accroître la distance x\ ^t l'époque considérée, comptées partir d'un instant déterminé.
Toutes les circonstances du mouvement sont renfermées dans les deux équations
dx dv
que l'on peut écrire encore
d"^ X dv
Ces équations ont été données pour la première fois par Varignon, en Tannée 1700, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris (p. 22) ^ mais il faut observer, qu'à cette époque, Newton (*) avait déjà publié depuis longtemps ses recherches géométriques sur le mouvement rectiligne produit par des forces variables.
(•) Principia, lib. I, sect. vu, et lib. II, secl. i.
La formule v^di^ =fdx nous montre que la dérivée du carré de la vitesse -j— est proportionnelle à la force accélératrice. Néanmoins, Daniel BernouUi (*) pensait que l'on ne devait pas regarder cette loi comme seule possible, et que la force accélératrice pourrait bien être proportionnelle à la dérivée d'une autre puissance de la vitesse. Euler (*) rejeta l'opinion de BernouUi, et s'efforça de prouver que la loi du carré de la vitesse est nécessaire; enfin d'Alembert (^) fit voir que la vérité de cette loi dépend uniquement du sens que Ton attache au mot force accélératrice.
Résoudre un problème quelconque du mouvement rectilîgne revient à déterminer les relations qui existent entre les quantités x, J^,/, ', dont une seule est arbitraire. Or, comme les équations générales du mouvement rectiligne ne nous donnent que deux relations, il faut que dans l'énoncé du problème soit comprise une autre relation de la forme
alors seulement nous aurons trois équations entre nos quatre variables.
La fonction (f pourra renfermer deux , trois ou quatre variables. Ces trois cas constituent trois genres de problèmes; d'après la théorie des combinaisons, le premier genre admet six espèces, le deuxième quatre et le troisième une seule espèce. Parmi ces onze espèces de problèmes, les plus intéressantes, au point de vue physique, sont celle où la fonction (f contient les deux variables x et f,
(*) Commenlarîa. Petrop,, 1727, p. i36.
(*) Mechanica, t. I, p. 62 et suiv.
(') Traité de Dynamique.
!224 MÉCAHIQUE KATIOHIÎELLE.
et celle où cette fonction contient les trois variables x , f el %^. A la première répondra notre première section , où nous considérerons le mouvement dans le vide; à la seconde répondra notre seconde section, où nous considérerons le mouvement dans un milieu résistant.
SECTION I
MOUVEMEKT DAKS LE VIDE.
1 . Une molécule est placée en un point duquel émane une force répulsive et proportionnelle à la w''"' puissance de la distance. Déterminer la vitesse dont le mobile est animé lorsquil a parcouru un espace donné et le temps quil a mis à parcounr cet espace.
Soient f/. la force répulsive à T unité de distance et x la distance du mobile au centre des forces.
On a
dx ^
Si Ton intègre en observant que v est nul lorsque x = o, il vient
Celte équation fait connaître la vitesse "du mobile lorsqu'il a parcouru l'espace x.
On a d'ailleurs
dt V « -M
dt=z Kf X ^ dx,
2fx
et si Ton prend Tinstant du départ pour origine du temps.
I 72 y 2fA
ËULER, Meclianica^ X, I, p. ï23.
2. Un point matériel est attiré "vers un centre fixe par une force inversement proportionnelle à la n'^"*^ puissance de la distance. Trouver quel doit être le nombre n pour que la vitesse que le mobile acquiert en venant vers le centre d'une distance infinie à la dis-tance a, soit égale à celle qu il aurait acquise en venant
de la distance a à la distance -, a.
Soient f'i la vitesse acquise dans le premier mouvement, v^ la vitesse acquise dans le second mouvement, X la distance du mobile au centre d'attraction et \j. l'attraction exercée à l'unité de distance.
On a
ch p
dx a:" '
d'où
Puisque les vitesses t^i et ^2 doivent être égales,
