Un point matériel placé sur l'une des diagonales 1. i
2l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
d'un carré, près du centre de cette figure^ est attiré vers les quatre sommets par des forces égales et fonctions de la distance. Déterminer la durée des petites oscillations que le point exécute autour de sa position d'équilibre.
Soient 2a la longueur d'une diagonale, x la distance du mobile au centre du carré, r sa dislance à chacune des extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se meut point, et (p(r) l'attraction de chacun des sommets à la distance /•.
On a
Développons le second membre par la formule de Taylor suivant les puissances ascendantes de x. Comme cette distance x est fort petite, nous pouvons négliger ses puissances supérieures à la première. Alors l'équation se réduit à celle-ci ,
ou
, posant 2 ?-^ ■A-(f' [a) = K ,
Multiplions les deux membres par i* ;t- et intégrons 5 il vient
Kx' -f- oonst.,
dt) -
et si nous nommons j3 la valeur initiale de x,
I dx
t ■= -— arc cos - ,
^ = pcos(r V^k).
On voit 5 par celte dernière formule , que la distance x oscille entre les valeurs jS et — (3 , et que la durée d'une oscillation est
4. Deux points maténels A ef B s'attirent proportionnellement à leur distance-, ils sont d'abord maintenus immobiles dans une position donnée, puis on les abandonne à leur attraction. Déterminer leurs positions et celle de leur centre de granité, à un instant donné.
L'attraction de A sur B à l'unité de distance est égale k (jL^ et celle de B sur A est égale à (jl.
Soient X et x^ les distances des mobiles A et B à un point fixe O pris sur le prolongement de la droite BA.
Les équations du mouvement sont ici
dt' ^ ^
Multiplions ces équations respectivement par fx' et par fz,
puis ajoutons les résultats-, il vient
fVx d'x'
dr ^ do
Si Ton prend l'origine du temps à l'instant où le mouvement commence, Tintégralc est, sans constante,
, dx dx'
et si l'on désigne par a, a' les valeurs initiales de or, x\ on obtient, par une seconde intégration,
(i) u'-r 4- px' =r p'fl -I- ptflr.
Retranchons Tune de l'autre nos deux premières équations, et posons
x' — x-=z z\ il vient
Intégrons en observant que z ^x — sont nuls , lorsque z =1 a! — a 5 nous obtenons
dt = . ' ^^
v/fx' 4- f* v^(a'~/7)'— 2' '
t =:= arc cos —, >
OU
(a) x'— a: = («' — a) cos(r \/fz'4- pj.
DYNAMIQUE. «laQ
Les équations (i) et (2) nous donnent
X = î— 7— î- ^-Vr — -' cos [t v/fA' -f- f*),
Soient m , m' les masses des deux mobiles A , B , et jc la distance de leur centre de gravité au point O. Nous avons
( m -4- m ) X = mx 4- m x = — (fx a -\- \t.a )
Dans le cas où les attractions ^i et //' sont proportionnelles aux masses m' et m, cette équation devient simplement
d^où Ton voit que le centre de gravité du système reste alors immobile pendant toute la durée du mouvement.
ô. Un point matériel, soustrait à l'action de la pesanteur, est placé à V extrémité de Vaxe d'un tube cylindrique qui se prolonge indéfiniment; les parois de ce tube sont très^minces, et la matière qui les compose est douée d'une force attractis^e ùwersement proportionnelle au carré de la distance. Déterminer la vitesse acquise par le point matériel lorsqu'il a parcouru un espace donné sur l'axe du tube.
Soient /' le rayon du tube, e l'épaisseur des parois, p leur densité, x la distance du mobile à l'extrémilé de Taxe et fi Taltraction de l'unité de masse à Funité de distance.
23o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Le volume de la petite portion des parois qui est comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe et dont les distances au mobile sont s et s -\- dsy a. pour expression V.
l'attraction que cette portion du tube exerce sur le mobile suivant l'axe est
nniipr^ds — i— . 7=4==-
Par conséquent,
d'x r"^ sds — = a,rpprel ^
1^ 2 7rfxpr6 27tfApr« * » — -^—
sjx^-
dx Multipliant par *i — ex intégrant,
v^ = ^viY'^rz log [x H- six* -i- r^) -f- const.
On détermine la constante par la condition que j^ soit nul en même temps que a: , et il vient
, , ^ -h V^ÂM^
i»' = 4 TTfAÛ r 8 log = •
6. Une bille pesante est lancée d'une hauteur de 20 mètres contre un plan horizontal^ elle rebondit de lo mètres y retombe de noui^eau et rebondit de 4 mètres. Trousser V élasticité de la bille et la vitesse a^ec laquelle elle a été lancée.
Soient a la vitesse imprimée au mobile, u la vitess»
qu'il possède à la lin de sa première chute et e son élasticité.
Nous avons
P»= a'4- ^og.
Au commencement du premier bond, la vitesse du mobile sera ev^^ et puisque cette vitesse ne devient nulle qu'après une ascension de lo mètres,
Au commencement du deuxième bond, la vitesse sera e' v^ et puisqu'elle n'est détruite que par une ascension de 4 mètres,
Ces trois équations nous donnent e = \l jr> ^ == v/iog' ou à peu près 9"",90 par seconde.
7. Un point matériel se meut en ligne droite sous l'action d'une force attractiv^e dirigée vers un centre
fixe et proportionnelle à la «'*"** puissance de la distance^ on connaît la vitesse (3 que le mobile acquiert en arrivant à la distance a du centre» Trouv^er à quelle distance du centre le mouvement a commencé.
Soient fx F attraction à Puni té de distance et z la distance cherchée.
On trouve
2pL ^
EuLER, Mechan.y t. I, p. 109.
8. Un point matériel tombe sur un centre fixe qui V attire en raison inverse du cube de la distance; on connaît la distance initiale a, et l'on demande la durée^ de la chute T.
aSa MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si l'on représente par (x l'attraction à l'unité de distance, on trouve
9. Un point matériel arris^e d'une distance infinie "irers un centre fixe qui V attire en raison im^erse du carré de la distance. Déterminer la vitesse que possède le mobile à une distance donnée du centre.
Soient a la distance donnée , t^ la vitesse cherchée et jx l'attraction à Tunité de distance.
On trouve
iO. Un point matériel est placé en un lieu connu sur la droite qui joint les centres de deux forces attractives, égales et proportionnelles à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque donnée y ainsi que la durée des oscillations quil exécute autour de sa posétion d'équilibre.
Soient a la distance initiale du mobile au point milieu de la ligne des centres , x la distance du mobile au même point à l'époque donnée t^ el [k l'attraction de chacun des centres à l'unité de distance.
On trouve
X = a CCS {t^2^)7
et la durée d'une oscillation est
H . Un point matériel est placé en un lieu connu sur
.la droite qui joint les centres de deux forces attractives
inversement proportionnelles au carré de la distance ;
DYIÎÀMIQUE. !l'i'i
on lance ce corps vers Vun des deux centres ^ il arrivée au point oh les attractions sont égales et y reste en repos. Déterminer la vitesse ay^ec laquelle il a été lancé.
Soient [L et (ui' les attractions des deux centres à l'unité de distance, 2a et 2a' les distances initiales du mobile à ces deux centres, et V la vitesse avec laquelle le mobile est lancé vers le second centre.
On trouve
12. Un point matériel qui se meut suivant une ligne droite est attiré par une force proportionnelle à la distance, vers un centre d'action qui se meut suivant la même droite a^ec une vitesse constante^ on connaît les positions initiales du centre d^ action et du point matériel, ainsi que la vitesse constante du premier |3 et la vitesse initiale du second (3'. Troui^er la position du point matériel à une époque donnée.
Soient a et a' les distances initiales du centre d'action et du point matériel à une origine fixe prise sur le prolongement de la droite qui va du premier pDint au second, X la distance du point matériel à cette origine à l'époque t et [Â l'attraction à l'unité de distance.
On trouve
x=za -i- ^t-h ^ 'Z.^ sin (/v'f*) -h («'—«) ces (r y^).
RiccATi, Bonon, Institut. ^ t. VI, p. i38; 1783.
13. Les données restent les mêmes que dans le problème précédent, à V exception de la force qui est répulsii^e. Trouv^er la position du point matériel à une époque donnée.
234 MÉCANIQUE nATlOMNELLE.
On trouve
2 Vf* RiCGATi, Bonon, Tnst.^ t. VI, p. i5i.
14. On suppose que dans le problème \2 la vitesse du centre d^ action soit uniformément accéléf^e, au lieu d'être constante. Trouver la position du point matériel à une époque donnée.
Si Ton nomme |3 la vitesse initiale du centre d^action et y Faccroissement de cette vitesse pendant l'unité de temps , on trouve
X = fl -- -^H- p^ -f. i/^' H- êlZLP sin (r v^) ^ ^ VP
-4- («'— /7-h- jcos(rv^p).
RiCGATI, Ib., p. i68.
15. Les données restent les mêmes que dans le problème précédent, à l'exception de la force qui est répulsii^e. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée.
On trouve
ay/fi RiccATi, Jb,y p. 182.
DYNAMIQUE. !i35
16. Un point matériel est abandonné en un lieu connu à V attraction iVune plaque mince et indéfinie en tous senSy dont chaque point V attire en raison inv^erse du carré de la distance. Déterminer le temps nécessaire au mobile pour arrii^er sur la plaque.
Soient e l'épaisseur de la plaque, p sa densité, a la distance initiale du mobile à la plaque , et fx l'attraction de l'unité de masse de la plaque à l'unité de distance.
Le temps cherché est
y Trpsp
17. Vn point matériel est placé dans le plan d'un anneau mince et tout près du centre^ la densité de l'anneau et sa section normale sont partout les mêmes, la matière dont il se compose est douée d'un pouvoir répulsif im^ersement proportionnel au carré de la distance. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée, et trouver la durée des petites oscillations qu'il exécute autour de sa position d'équilibre.
Soient a le rayon de l'anneau , h Taire de sa section normale, p sa densité, / la distance initiale du point matériel au centre, x la distance des deux mêmes points à l'époque f , et fx la répulsion de l'unité de masse de l'anneau à l'unité de distance.
j: = / cos ( - y7rTp]Â J 5 et la durée d'une oscillation est
Pf*
236 MÉCANIQLE KATIOIfMELLE.
18. Un point matériel est abandonné à V attraction d'un disque mince et homogène, dont toutes les molé^ cules sont douées d'un pouuoir attractif inversement proportionnel au carré de la distance; la position initiale du point matériel est connue, et se trouvée sur la perpendiculaire au plan du disque qui passe par le centre de ce corps. Déterminer la vitesse acquise par le mobile lorsqu'il arrive à la sur/ace du disque.
Soient p la densité du disque, e son épaisseur, a son rayon , b sa distance initiale au point matériel et [x Tattraction de Funité de masse du disque à Tunité de distance.
La vitesse cherchée V est donnée par la formule
19. Une bille dont on connaît l'élasticité tombe d'une hauteur donnée sur un plan horizontal. Trouver tout l'espace que la bille doit parcourir avant 'd'arriver au repos.
Soient e l'élasticité de la bille et a sa hauteur initiale au-dessus du plan.
L'espace cherché est égal à a.
20. Deux billes paiifailement élastiques sont placées à des hauteurs différentes sur une même verticale ; au même instant on les abandonne à lews poids, elles tombent sur un plan incliné de 45 degr^és à l'horizon, et continuent aussitôt leur route sur un plan horizontal parfaitement poli qui fait suite au plan incliné. Déter*miner la distance que les deux billes doivent parcourir sur le plan horizontal avant de se rencontrer.
Si l'on nomme a et a' les distances initiales des deux
DYJ>iAMIQUE. 237
billes au-dessus du plan horizontal , la distance cherchée sera
21 . Deux points pesants sont, situés à des hauteurs différentes sur la même verticale^ au même instant on abandonne le point supérieur à son poids et on lance le point inférieur fie bas en haut auec une vitesse donnée |3. Déterminer l* époque et le lieu de la rencontre des deux points.
Soient a la distance initiale des deux mobiles , x la distance de leur point de rencontre à la position initiale du mobile supérieur et t l'époque de la rencontre, comptée à partir de Tinstant où le mouvement commence.
On trouve
KuRDWANOWSKi , Mém, de VAcad, des Sciences de Berlin , 1755, p. 394.
SECTION II
