MOUVEMENT DANS UN MILIEU RÉSISTANT
Lorsqu'un point matériel traverse un milieu résistant, la force retardatrice est une fonction de la vitesse du mobile et de la densité du milieu. La nature de cette fonction ne peut être déterminée que par Texpérience. Dans les recherches mathématiques , pour simplifier les calculs et à titre d'approximation probable, ou prend une fonction de la forme kpSl^ où p représente la densité du milieu, fi une certaine fonction de la vitesse du point, et k un coefficient constant qui dépend, pour chaque milieu, de l'adhérence et du frottement des molécules.
Newton et Wallis nous ont donné les premiers travaux
238 MÉCANIQUE RATIONlfELLE.
mathématiques sur le mouvement des corps dans les milieux résistants. Les profondes recherches de Newton furent publiées en Tannée 1687 dans le second livre d^ Principes. La même année, Wallis, qui, de son côté, était arrivé à des résultats précieux sur cette matière, communiqua ses réflexions à la Société royale de Londres, et les fit insérer dans les Transactions philosophiques. Deux ans plus tard , parut dans les jicta cruditorum un Mémoire de Leibnitz, où cet illustre géomètre développe ses opinions sur la résistance des milieux, et déclare les avoir présentées à l'Académie royale des Sciences l'année même des découvertes de Newton. Huyghens aussi s'est occupé de cette question à la fin de son Discours sur la cause de la pesanteur (1690). Tous ces travaux et d'autres encore ont été soumis à l'analyse et discutés avec soin par Varignon, dans une série de Mémoires qui font partie des Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour les années 1707, 1708, 1709 et 17 10. On trouve encore dans le même recueil pour l'année 1 78 1 un beau travail de Bouguer sur le mouvement d'un point matériel dans un milieu qui est lui-même en mouvement.
1 . Un corps est attiré en raison ini^erse du cube de la distance y vers un centre fixe entouré lui-même d'une atmosphère dont la densité est inversement proportionnelle au cube de la distance à ce centre, et dont la résistance varie comme le carré de la vitesse. Déterminer la vitesse du corps à une distance quelconque du centre.
Soient a la distance du mobile au centre à Tînstant où le mouvement commence, x cette distance à l'époque t, Al la résistance du milieu pour l'unité de vitesse à l'unité de distance et fz l'attraction à l'unité de distance.
d}x IL k dx^
~dF ~~ "^ ? "^ .r^ "^ '
DYNAMIQUE. ^iç)
OU
(Ix cC^X 1\IL dx 2 ^ dx^
^'di ~dF ~ ~ ~^ ~de ~^ Ic^ 'fï?'
~di \d?) ~^ dt \.r7 dt^ dt \x^y
Si Ton pose
il vient
dv^ H- kv^dz = yidz^
équation qui a pour intégrale
* On délermine la constante C par la condition que i^ soit nul lorsque .r = a ^ alors on trouve
.[.-.-ii-iï].
2. Une bille pesante, parfaitement élastique, tombe d'une hauteur connue sur un plan horizontal, et rebondit plusieurs fois de suite dans un milieu homogène, dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Déterminer la hauteur à laquelle la bille s^ élèvera après un nombre donné de réflexions.
On prendra en considération le poids du milieu déplacé par la bille.
Soient ^1 la hauteur initiale d'où tombe la bille, et généralement a„^.i la hauteur à laquelle elle s'élcve après n réflexions. Nommons B le volume de la bille , p la densité de ce corps, p* celle du milieu et k la résistance du milieu pour une vitesse égale à l'unité.
a4o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Le poids d'un corps dans un milieu pesant est ^al au poids de ce corps dans le vide moins le poids du milieu déplacé; par conséquent, si nous considérons la bille dans sa descente, et que nous prenions le point le plus élevé d^où elle descend pour origine de la distance x , nous aurons
dx Bp '
ou, posant g' (ï— -) =^'»
vdv
= djc.
Intégrons, en observant que *^ et a:^ sont nuls à Tinstant où la chute commence 5 il vient
Ainsi la vitesse P„ du mobile à Tinstant de son n*'"*' choc vérifie l'équation
Considérons actuellement Tascension qui suit ce /i*'""' choc , et désignons par x la hauteur du mobile au-dessus du plan. Nous avons
c — = — fi^ — X-f;»
dx ^
ou
vdç — r— =r — dx,
équation qui a pour intégrale
Si l'on considère en particulier l'instant où Tascension commence, on aura
J^log(, + i.„')=«^,,
Posons 5 pour abréger,
Alors les équations (i) et (2) nous donnent
on aura de même
Ajoutant ces équations, il vient
242 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
et si Ton remplace «i , J<„+i par leurs valeurs,
2Ha^
ne — n H- I
1 , (/f4-i)tf — /i «,,.= -^logt— ^
Telle est la hauteur du w*''"* bond.
Quand on suppose que la bille arrive d'une distance infinie, ai est infini, et la valeur précédente se réduit à celle-ci
EuLER, Mechan.y t. I, p. 192.
3. Un centre d'attraction est entouré d'un milieu dont la densité varie ai^ec la distance suii^ant une loi connue, et dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Déterminer quelle doit être l'attraction de ce centre pour quun point matériel abandonné à son action emploie toujours le même temps pour l'atteindre y quel que soit le point de départ.
Soient a la distance du centre au point matériel à Finstant où le mouvement commence , x cette distance à l'époque t, F la force d'attraction et p la densité du milieu, laquelle est une fonction de x.
L'équation du mouvement est ici
ou, multipliant par 2e""^-^''''*,
e-^fP^ç'z=-^2 je-''fp^¥dx -h const.
On détermine la constante par la condition que u soit nul lorsque x = a^ alors, si Ton pose, pour abréger,
il rient
Jo Jo '
dt=
Posons encore
rfX
nous aurons
^X dt =
PV^A — X'
et la durée de la chute du corps sera donnée par la formule
dX
ps/a— x"
Puisque le second membre doit être indépendant de la distance initiale, ou, ce qui est la même chose , indépendant de A , il faut que la quantité comprise sous le signe f soit dû degré o en A, XeldX. Pour qu'il en soit ainsi,
P doit être une fonction homogène et du degré - par rapport à X et A 5 mais, d'après Téquation (i)? P est indépendant de A , donc la seule valeur qui puisse convenir à cette quantité est
^ désignant une constante.
a44 MÉCÀHIQUE IlAj:iOirfnELLE.
Ceci posé y rëcpadon (i) nous donne et comme X et x sont nuls en même temps ,
Jo
Élevons au carré, puîs remplaçons X par sa valeur^ nous trouvons
De la différentielle de cette équation , on tire la valeur cherchée,
Lorsque p = o , ce qui est le cas du vide parfait ,
Lorsque p est une constante , ce qui est le cas d^un milieu homogène ,
EuLÎik, Mechan,, 1. 1, p. 220.
4, Un centre de forces C est animé d'un moux^ement uniforme suii^ant la direction OPCA5 il repousse en raison directe de la distance un point matériel P qui se
meut suivant la même droite, dans un milieu homogène et dont la résistance est proportionnelle à la vitesse. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée.
Soient a et a' les distances initiales du centre C et du point P à l'origine fixe O, |3 et ^^ les vitesses initiales de ces mêmes points, fx la force répulsive à Tunité de distance , k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse et X la distance qui sépare le point P de l'origine O à l'époque t.
Si nous convenons de considérer comme positives les vitesses et les dislances comptées dans la direction OPCA , et comme négatives les vitesses et les distances comptées dans la direction contraire , le mouvement sera toujours représenté par l'équation
ou , si l'on pose
•or — fl— ^ P^ = Ç,
dt^ dt ^
Nous intégrerons cette équation parla méthode commune des équations linéaires.
Substituons la valeur Ç = Ae^', dans laquelle A et p désignent des constantes qu'il s'agit de déterminer. Il vient
équation qui a pour racines
246 MÉGAiriQUE RATIONNELLE.
par conséquent, Tintégrale générale sera c'est-à-dire,
Lorsque t est nul, on doit avoir
' dt ^ '
de là il suit que les constantes C et C sont déterminées par les deux équations
On trouvera ce problème et plusieurs autres du même genre dans les Mémoires du jésuite V. Riccati, De motu rectilineo corporis attracti aut repulsi à centra mobili; Disquisitio quarta. Comment. Bonon, t. VI, p. 212;
5. Un point matériel reçoit une ^vitesse donnée j3 dans un milieu homogène^ dont la résistance est proportion^ nelle à la racine carrée de la vitesse. Déterminer l'époque à laquelle le point s'arrêtera.
Si l'on nomme k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse et T l'époque cherchée, comptée à partir de l'instant où le mouvement commence, on trouve
6. Un point pesant est placé dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de
DYIfAMrQlJE. 247
la vitesse. Soient t le temps nécessaire à ce point pour acquérir en tombant une vitesse \^^ etx le temps qui lui serait nécessaire pour perdre cette même vitesse si on le lançait verticalement de bas en haut. Déterminer la relu" tion qui existe entre les deux quantités t et r.
Si Ton représente par k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse, on trouve la relation
2^V^ = logtang Ij-^Ts/gÂy
7. Un point matériel, lancé a^ec une vitesse de 3oo mètres par seconde, dans un milieu dont la résistance est constante, a perdu la moitié de sa vitesse en parcourant une longueur d'un décimètre. Déterminer le temps employé à parcourir cet espace.
Le temps cherché est égal à — ^ de seconde.
8. Un point matériel, parti du repos, est attiré vers un centre fixe par une force d^ intensité constante^ le mouvement s' exécute dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au catré de la vitesse et à V inverse de la distance au centre. Déterminer la vitesse du mobile à une distance quelconque du centre, et trou\^erla distance pour laquelle cette vitesse est un maximum.
Soient/la force d'attraction , k la résistance du milieu pour Funité de vitesse et Funité de distance au centre , (^ la vitesse, x la distance du mobile au centre et a la valeur initiale de cette distance.
On trouve généralement
et la distance qui correspond au maximum de la vitesse
a48 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
est
9. Deux points pesants sont placés sur la même verticale dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle à la "vitesse^ au même instant y on laisse tomber le corps supérieur, et on lance le corps inférieur de bas en haut suii^ant la verticale ai^ec une vitesse donnée. Déterminer le temps qui s'écoulera avant que les deux corps se rencontrent.
Soient a la distance initiale des deux mobiles, ^ la vitesse imprimée au mobile inférieur, k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse et T^le temps cherché.
On trouve
10. Un point pesant, d^ élasticité connue ¥i^ tombe sur un plan horizontal, dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse^ la vitesse initiale est nulle, et la hauteur du point de départ au-dessus du plan est connue. Déterminer la longueur de tout le chemin qu'il doit parcourir avant d'arriver au repos.
Si Ton nomme k la résistance du milieu pour l'unité de
vitesse, a la hauteur initiale et s la longueur cherchée,
on trouve
I , i — E' 6r-'*° s=:a ^-lo^ ,^E- '
BoEDONi, Mt'morie délia Societa Italiana, 1816, p. i6a.
