CHAPITRE m
MOUVEMENT d'uN POIINT MATÉRIEL LIBRE.
SECTION I
FORCES SITCJÉES DANS UN MEME PLAN ET DIRIGÉES d'uNE MANIÈRE QUELCONQUE.
Considérons un point matériel qui décrit une courbe plane sous Faction de forces dirigées comme l'on voudra dans le même plan. Si nous nommons x, j^ les coordonnées de ce point, X la somme des composantes des forces accélératrices suivant Taxe des a: , Y la somme des composantes suivant l'axe desj* et t l'époque considérée, toutes les circonstances du mouvement seront contenues dans les équations
^^^ dt^ -"^' dt^ -^
Celte méthode, qui consiste à décomposer les forces accélératrices suivant des axes fixes, et ramène ainsi l'étude du mouvement aux formules du mouvement rectiligne, a été donnée pour la première fois par Maclaurin , en 1 74^ , dans son Traité des Jluxions (vol.I, art. 4^5 et suiv.). Avant cette époque, toutes les questions étaient résolues par la méthode des composantes tangenlielles et normales qui , eu général , ne se prête pas aussi bien aux transformations de l'analyse, quoiqu'elle dérive plus immédiatement de la nature même du mouvement curviligne. C'est la marche qu'Euler a suivie dans sa Mécanique ^ publiée en 1736.
sSo MÉCANIQUE RATIONNELLE.
La méthode des composantes tangentieUes et normales est fondée sur deux formules utiles à connaître.
Soient
u la vitesse du mobile en un point de sa trajectoire^
5 l'arc de la courbe qui se termine au même point ;
p le rayon de courbure ;
T la somme des forces qui sollicitent le mobile , estimées suivant la direction de son mouvement ;
N la somme des mêmes forces estimées suivant la normale qui se dirige du côté de la concavité de la courbe.
Le mouvement est représenté par les équations
as p
Si l'on remplace dans ces formules — et p par leurs
valeurs bien connues en x^y^t et leurs dérivées, on obtient deux équations différentielles du second ordre qui sont équivalentes aux équations (A).
1. Un point matériel et pesant décrit la trajectoire ABCD 5 on connaît sa vitesse au point B , estimée suipant une perpendiculaire à la corde BC, et F on demande sa ^vitesse au point C , estimée suit^ant la même direction.
Prenons la corde BC pour axe des x , et la perpendiculaire qui est dirigée de bas en haut pour axe des y. Soient a l'inclinaison de la corde sur l'horizon , u la composante connue de la vitesse au point B , et Mi la composante cherchée de la vitesse au point C.
— =-gcosa.
Si Ton prend l'instant du passage au point B pour ori-
DYJfAMIQUE. 25 1
gîne du temps , et que Ton intègre deux fois , il vient
dx
— ==M — grcosa.f,
y '=z ut gcoSoL.t^.
Ces deux équations générales , appliquées au point C de la trajectoire , nous donnent
M, = a — gcoscL,ty et l'on en tire
0= U gCOS(X,t,
tt, = — «.
Ainsi , quand un projectile lancé dans le vide coupe une droite donnée en deux points ^ il la traverse a\^ec des vitesses dont les composantes perpendiculaires à la droite sont égales et de sens contraires.
2. Un point matériel décrit une parabole autour d'un centre de forces situé à Vintersection de la directrice et de Taxe. Trousser la force qui sollicite le mobile en un point quelconque de sa trajectoire.
Prenons le centre des forces pour origine des coordonnées, l'axe de la parabole pour axe des .r , et la directrice pour axe des y.
Soient /7 le paramètre , r la distance du mobile à l'origine, et F la force que nous supposerons répulsive.
Le mouvement est représenté par les équations
d'x ^Yx d'x__Yy df ^ r ' de "^ r
d'où Ton tire
aSa MÉCiNlQUE RATIONNELLE.
La constante C représente le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps.
D'un autre côté , l'équation de la parabole
nous donne
/ \ dy dx-
d^X dy^ d*x
et si l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs,
r dt^ '^ r
Éliminons ^ et -^ entre les équations (i) , (2) et (3). Il vient
ou , d'après l'équation de la parabole ,
3. Un point matériel se meut ai^ec une ^vitesse constante, sous faction de deux centres fixes qui V attirent en raison in\^erse de la distance as^ec des intensités égales pour des distances égales. Déterminer la trajectoire.
Prenons pour axe des x la droite qui joint les deux centres , et pour origine le point milieu de cette droite.
Soient 2 a la distance des deux centres, r et r' les distances du mobile à ces deux points , et fx l'attraction à l'unité de distance.
Les équations du mouvement sont ici , d^x \L a — X II a-hx
dt^ r r f" /
De plus , on a constamment rfx» dy'^
ou, ce qui revient au même,
dx d*x dy d}y
'dî ~dF~^Tt 'dF'^^'
Si dans cette relation on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient l'équation diflerentielle de la trajectoire ,
dx f a^-x a—x \ dyfy r\^
{x -}- a) dx -i- ydy {x^a)dx-hydy __^ (a:-f-fl)»-hr' {x — aY + y' "" ^'
L'intégrale est
log[(a:-|-a)»+j']H-log[(ar — a)»+r']=const. =logCS [(a:-hay^y^][(x^ay+y^]=zO.
On voit que le produit des distances du mobile aux deux centres est constant; par conséquent la trajectoire est une lemniscate.
Si l'on donne le point milieu de la ligne des centres pour position initiale du mobile, alors C = a, et l'équalion de la trajectoire peut s'écrire
(x'-hX'Y^^a'i^' — X'h Sous cette forme, on reconnaît une lemniscate de Jac-
254 MÉCANIQUE RATIOHNELLE.
ques Bemoulli , lieu de pieds des perpendiculaires abaissées de Torigine sur les tangentes à Thyperbole équilatère
4. Un point matériel est attiré par un centre qui se meut en ligne droite avec une vitesse uniforme et dont le pouvoir attractif est proportionnel à la distance^ la vitesse initiale du point matériel est dirigée dans un même plan avec la droite que parcourt le centre d'attraction. Détertniner la posàion du point matériel à une époque quelconque.
Prenons pour origine la position initiale du centre d'attraction.
Soient a et (3 les projections de la vitesse du centre sur les axes des x et des y^a elb les coordonnées initiales du point matériel, p sa vitesse initiale suivant Taxe des x, q sa vitesse initiale suivant Taxe des ^, et |x Fattraction à l'unité de distance.
A l'époque t les coordonnées du centre d'attraction seront a f et j3 f ; par conséquent , si Ton représente par x et y les coordonnées du point matériel à la même époque, on aura
La première équation peut s'écrire
d'[x — aLt) , ,
Sous celte forme on voit tout de suite que l'intégrale est
x.=z Acos(f Vp) + Bsin(^\/fÂ)H- af.
On détermine les constantes A et B par la condition que pour^ = o, on ait
dx X = fl et
il vient
X = fl et -— = o ;
dt ' '
p — a A = « et B = <—-=- ,
. Vf*
d'où
X =z a cos{t \f^) -H sin(rv/fÂ)-i- at.
On trouvera de la même manière
Y=b cos(r sj'^) 4- ^^^ sin(f sjpj -h pr.
5. Un point matériel décrit une parabole sous faction de deux forces : l'une, parallèle à l'axe , est inconnue,l'autre, dirigée sui\^ant la perpendiculaire abaissée sur l'axe, est proportionnelle à la longueur de cette perpendiculaire. On donne la vitesse du mobile au sommet de la parabole, et Von demande de déterminer la force inconnue, et d'assigner la position du mobile à une époque quelconque.
Soient j3 la vitesse du mobile au sommet de la courbe, fx la force perpendiculaire à l'axe pour Funité de distance, X la force cherchée , et 7* = ^px l'équation de la parabole.
Les équations du mouvement sont
^56 XÉCÂSIQUE KlTIOHBELI.£.
Si Von multiplie cetl Ton intègre, il vient
Si Von multiplie cette dernière ëqnaticm par 2 — et qae
D'nn antre côté, Féquation de la parabole nous donne
df dx ^di==P-dr
dy* d}y /l*x
et si Ton remplace les dérivées secondes par leurs valeurs , dr"
Cette équation, jointe à l'équation (A) , nous fait connaître la valeur de la force X,
Résolvons la seconde partie du problème.
L'équation (A) peut s'écrire
Prenons pour origine du temps l'instant où le mobile passe au sommet de la courbe , et intégrons 5 il vient
t= —= arcsm —5-^9
et par conséquent ,
Ces valeurs nous montrent que le mobile oscille de part et d'autre du sommet sur Tare dont les extrémités
répondent à Tabscisse -^—y la durée d'une oscillation
étant -=•
Vf*
6. Une petite bille {Tune élasticité connue est lancée au-dessus d'un plan horizontal, dans une direction connue etauec une vitesse donnée. Déterminer les points où la bille viendra frapper le plan après ses bonds suc-cessifsy la vitesse et la direction de la bille à V instant de ces chocs et les époques auxquelles ils auront lieu. On supposera que la bille est lancée d^un point pris sur le plan horizontal»
Soient
e l'élasticité de la bille \
7io la vitesse initiale \
Un la vitesse qui anime le mobile immédiatement avant le n''"** cboc ;
oLo l'angle que la direction de la vitesse initiale fait avec rborizon ;
«„ l'angle sous lequel la bille vient frapper le plan borîzontal au n'^""' cboc •,
tn le temps qui s'écoule entre l'instant du départ et le
/„ la distance qui sépare la position initiale et le point où le n'''^' cboc a lieu.
a58 MÉCANIQUE KÀTIOIÎNELLE.
La théorie du choc des corps nous donne
Un CCS an = «„-, CCS a«, ,
Un sina„ = eun^x sina^^,.
Si Ton applique ces équations aux chocs successifs , on tire de la première
(i) a„cosai,= u, cosai = ttoCOSoe«, i
et de la seconde
( 2 ) Un sin au = e»-' a, sin a, = ^*-' »« sin ao ;
par conséquent,
tangai,=:c"-' tango. ,
Un = ««cosa» [i + e'f"'"') tangua,]' .
Ces dernières formules nous donnent la direction et la '
vitesse de la bille à Tinstant du «'*"•' choc ; elles nous permettent de déterminer toutes les circonstances du mouvement sur chacun des arcs paraboliques.
D'après les propriétés bien connues du mouvement des
projectiles dans le vide , nous avons
r„ — ^„», = - a„smart, \
/„ — /„, = Un COSa„ {tn ■— r„-, ).
La première de ces équations peut s'écrire, en vertu des |
relations (a),
\o) tn — tn^i = - Uo smao ^-' ; .
on en conclut
tn= -WoSinao(e?"-' -f- c"-2|«. . . 4- ^ 4- i), I
^ . i 2tfoSmao I — e^
Telle est l'époque du n**"*' choc.
La seconde des équations considérées , eu égard aux relations (2) et (3)^ peut se mettre sous la forme
1 j ^7 • » . «Jsinaao
in — U-i = - «: ces ao sm a» ^~"' = —2 €'*-' ;
on en tire
" tt! sin 2 ao , .
2^^ sin 2 ao I — e^
C'est la distance du point de départ au point du n'^"^" choc,
BoRDONi, Memorie délia Società Italiana, t. XVII, part, I,
7. Un point matériel est attiré vers deux axes rectangulaires OX, OY par des forces im^ersement proportionnelles aux cubes de ses distances à ces axes. Déterminer sa trajectoire.
Nous supposerons (pie le mobile est primitivement placé dans le plan des deux droites OX , OY sans vitesse initiale, et nous prendrons ces droites pour axes coordonnés.
Sc'ent a, i les coordonnées initiales du mobile, et w*, /z* les attractions des axes OX, OY à l'unité de disunce.
Les équations du mouvement sont
elles ont pour intégrales premières
A et B représentant deux constantes arbitraires.
Si Ton détermine ces constantes par les données ini-
26o MÉCANIQUE R4TI01INELLE.
tialcs, il vient
oa
xdx /«» r<(r «' .
Intégrons une seconde fois , et nommons Â', B' des constantes arbitraires ; nous obtenons
(îx) qiv^û'-x'=Çf-|-A', ip^ïr:^=~f-i-B'.
Or, lorscpe « = o , on a
x=za, x = b;
par conséquent les constantes sont nulles, et les intégrales peuvent s'écrire
Ces expressions de x et de j^ deviennent imaginaires
lorsque t atteint les valeurs — > —^ elles ne peuvent donc
convenir après les époques marquées par ces valeurs. Occupons-nous d'abord de la variable x. Pour avoir son
expression après l'époque f = — > il nous faut revenir
à l'équation primitive (i), et l'intégrer en déterminant les constantes par les circonstances qui se présentent
à l'époque f = — .
Puisque le temps n'entre pas dans la valeur de — que l'on obtient par une première intégration , on arrivera
encore à Téquation (2),
Si ron y pose t = — et a: = o, ce qui est la valeur de X
correspondante à cette époque , on trouve
A' =r — « zp a ,
et comme t doit augmenter lorsque la valeur numérique du radical diminue, il faut prendre A' = — aa; en sorte que l'on a
Zp a s/a* — x^ = rn^t — la?-
Le radical a le signe inférieur lorsque le mobile s'approche de l'axe des j' ; il a le signe supérieur lorsqu'il s'en écarte. Elevant au carré, il vient
Cette valeur de x devient imaginaire lorsque t atteint la
, Za} valeur — - •
On verra de même qu'à partir de cette époque jusqu'à
l'époque t = — ^9 la formule qui représente le mouvement
est
et ainsi de suite.
Il résulte de cette discussion que la projection du mobile sur l'axe des x exécute de part et d'autre de l'origine
des oscillations dont la durée commune est — - , et Tam-
plilude 2 a. Généralement la valeur de x en fonction de t
26a MÉCANIQUE BÀTIONBELLE.
pour la p^'^ oscillation est donnée par la formule
û» (û' — X») = [lïi»/ — 2 (/? — i) a^]K
On trouvera de la même manière que la projection du
mobile sur Taxe des y exécute de part et d'autre de Ton-
2 6' gine des oscillations dont I9 durée commune est — ^ > et
Famplitude 2 a. La valeur de y en fonction de t pour la ^me oscillation est donnée par la formule
Si Ton élimine t entre ces deux dernières équations, il vient
ari^ \yja} — ar» -+- 2 (/? — i) «] = hm" \>lb^—jr^ 4- 2 (y — 1) ^].
Cette équation représentera la courbe sur laquelle se meut le mobile à l'époque f , pourvu qu'on y remplace/? par le nombre entier immédiatement supérieur à
iw* /w*r-4-fl'
et q par le nombre entier immédiatement supérieur h
n" nU-h b^ 26* 2^^
On pourra construire les courbes qui correspondent aux diverses valeurs simultanées de ;? et de ^; les intersections de ces courbes détermineront la partie de chacune d'elles qui est parcourue par le mobile.
On voit par ce problème que, dans certaines questions
de dynamique qui admettent toujours une solution réelle, les intégrales des équations du mouvement peuvent néanmoins présenter des quantités imaginaires qui s'introduisent lorsque le temps dépasse une certaine valeur. Cela montre que le mouvement ne peut être représenté à toute époque par les mêmes formules. Alors, pour obtenir les formules réelles qu'il faut substituer aux premières, lorsque celles-ci deviennent imaginaires, il suffit d'inté^ grer de nouveau les équations primitives en déterminant les constantes par les circonstances qui ont lieu à V instant oii les premières formules cessent d'être réelle»,
8. Un projectile est lancé sous une inclinaison con* nue a , avec une vitesse telle, que sa trajectoire passe en un point donné K\ on sait que la droite qui joint le point de départ au point A fait avec F horizon un angle (3, et que le corps parcourrait cette droite en n se^ condes s'il se mouvait uniformément avec la vitesse initiale. Déterminer Pinstant auquel le projectile atteindra le point A ,
Le temps qui s'écoule entre l'instant du départ et l'instant cherché, exprimé en secondes, est égal à n — S-
9. Au même instant on lance deux projectiles dans un même plan vertical, avec des vitesses v et v\ sous des inclinaisons a et a' 5 outre le point de départ, il est un second point commun à leurs trajectoires ^ les deux mobiles ^atteindront à des époques différentes. On demande V intervalle T qui sépare ces deux époques.
Si l'on suppose a > a', on obtient
■ 2 (V sin (a — a')
g V cos a -H v' ces a'
364 MÉCAHIQUE KÂTIOHKELLE.
10. Déterminer le temps T qu^un projectile emploie à parcourir an arc donné de sa trajectoire parabolique y en fonction des vitesses %^ et v^ aux extrémités de cet arc, de la vitesse Vi au sommet de la parabole, et de Vangle |3 que font entre elles les tangentes aux extrémités de Parc.
On trouve
11. Un point matériel décrit une ellipse sous V action d'une force perpendiculaire au grand axe. Troui^er la force qui le sollicite en un point quelconque de sa trajectoire.
Soient
Féquation de l'ellipse, Y la force cherchée parallèle à l'axe des jTj ^ la vitesse constante du mobile suivant Taxe des X.
On trouve
Si l'ellipse se réduit à un cercle de rayon a , la force devient
Newton, Principia, lib. I, prop. 8.
RiGCATi, Comment, Bonon,, t. IV, p. i49; 1757.
12. Un point matériel décrit une cycloïde sous V action d^une force parallèle à la base. Déterminer la
• DYNAMK^UE. 265
force qui le sollicite en un point quelconque de sa trajec-foire.
Soient
X = a [i — cosô),
^ = rt (ô-h sind),
les équations de la cycloïde , Y la force cherchée parallèle à l'axe des j^, j3 la vitesse constante du mobile suivant Taxe des x.
On trouve
a (asinô -— sin2Ô)
i3. Un point matériel est lancé av^ec une vitesse connue parallèlement à une droite fixe vers laquelle il est constamment attiré par une force proportionnelle à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque j et troui^er Inéquation de sa trajectoire.
Soient b la distance initiale du mobile à la droite , ^ la vitesse imprimée, /x* l'attraction à l'unité de distance. Prenons pour axe des x la droite donnée et pour axe des y la perpendiculaire qui passe par la position initiale du mobile.
Nous trouvons
a:=pj, jr=zbcos(iAt)y
et, par conséquent,
y=zbcos^'
RiccATi, Comment. Bonon., t. IV, p. i55; 1757.
14. Les données restent les mêmes que dans le problème précédent, si ce nest que la force d'attraction varie en raison inverse du carré de la distance. Troui^er r équation de la trajectoire.
266 MÉCÂlfflQUE RATIONNELLE.
On trouve
RiccATi, Comment, Bonon.y t. IV, p. iSg.
15. Un point matériel est lancé dans la direction OX as^ec une ^vitesse donnée (3 ; ce mobile est attiré par une force proportionnelle à la distance vers un centre d^ action qui se meut uniformément dans la direction perpendiculaire OY. Déterminer la position du mobile quand son mouvement devient parallèle à OT.
Soient a la distance initiale du centre d'action à l'origine O, j3' la vitesse uniforme de ce centre, (x* l'attraction à Tunité de distance , et x', y' les coordonnées de la position cherchée du point matériel par rapport aux axes OX,OY.
On trouve
16. Un point matériel primitivement en repos est abandonné à V action de deux forces, Vune est constante en grandeur et en direction , Vautre est une force répulsive émanée d^un centre fixe et proportionnelle à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque , et trouver V équation de sa tra-^ jectoire.
Prenons le centre de répulsion pour origine des coordonnées, et disposons les axes de manière que chacun d'eux fasse un angle de 45 degrés avec la direction de la force constante.
Soient jc = a , / = è les coordonnées de la position
initiale du mobile, jut' la force répulsive à Tunité de distance et y* la force constante.
Si l'on pose -=. = w , il vien t
équations qui résolvent complètement le problème.
17. Une petite bille d'élasticité donnée, lan^ cée dans une direction connue au-dessus d^un plan incliné qui passe au point de départ, parcourt ce plan en bondissant. Déterminer les angles d'* incidence et de réflexion aux différents chocs.
Soient e l'élasticité de la bille^ i l'inclinaison du plan , ûfo l'angle que la direction du mouvement initial fait avec le plan , a„ et (3„ les angles de réflexion et d'incidence au ^ïime ^.|jQç comptés à partir du plan.
On trouve
(1 — ^)^tangao tanga, = etangp„= , ^ ^ (, ^) tang/ tany»;
BoRDONi, Memorie délia Societa Italiana, t. XVII, part. I, p. 191; 1816.
f8. Les données sont les rhêmes que dans le problème précédent. On demande de trousser la relation qui existe entre V élasticité de la bille et les portées de trois bonds successifs mesurées sur le plan, et de déterminer la distance de la bille à son point de départ lorsqu'elle commence à glisser en cessant de bondir.
a68 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Conservons les nolalions du problème précédent, et nommons t^o la vitesse initiale, Ri, Rt, etc., R„, Rn+i? B«H.s 9 etc., les portées des arcs successifs, et S la distance de la bille à son point de départ lorsqu'elle commence à glisser ; ces distances Ri , Rs , etc. et S seront positives en remontant le plan et négatives en descendant.
On trouve la relation
d'où l'on voit que les portées des arcs successifs seront les coefficients des puissances successives de rindéterminée z dans le développement de la fraction
R. — [(g-f-g»)R. ->R,]z I — (e 4- ff*)a4-^»'
suivant les puissances ascendantes de z. Il suit de la, en faisant z = i,
R.(i-g — g')-hR, - (,-^)^(,H.^) '
2 (^ J sin ao r ces a„ ces / sin a. sin i "1 ^ ces'/ L * — ^ (* — ^Y A
et si l'on pose (i — e) cot/ = cotjS ,
2(^0 sÎDoo sin p ces ( ao 4- p)
g sin f ces' p
W. W, SECTION II
