VI
„ rfÔ» d'r
^='''dr dt^'
(yn)
""pa dr ~pP''
Si la force centrale, au lieu, d'être attractive comme nous l'avons supposé, était répulsive, il faudrait dans
a^O MÉCÀJriQDE RATIONNELLE.
toutes nos formules changer le signe de F, et dans la dernière prendre négatif le rayon de courbure.
L'équation (I) montre que Taire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps ; la constante C est le double de Taire décrite dans Tunité de temps. L'équation (II) indique que la vitesse est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente. Ces deux propositions, qui se déduisent immédiatement Tune de Tautre, furent établies en premier lieu par Newton dans le IdWe des Principes (lib. I, prop. i). L'équation (IQ) est une conséquence des deux premières. L'équation (IV) montre que l'accroissement du carré de la vitesse ne dépend que de T accroissement de la distance au centre, quel que soit l'espace parcouru. Cette proposition est encore une découverte de Newton [Principia, lib. I, prop. 4^). L'équation (Y) est due à M. Binet; elle fait connaître la trajectoire lorsqu'on donne la force, ou fait connaître la force lorsque la trajectoire est donnée. L'équation (VI) a été donnée presque en même temps par Clairaut (*) et par Euler (') ^ elle exprime que la force accélératrice dirigée suivant le rayon vecteur est égale à l'excès de la force centrifuge sur la force attractive. La formule (Vil) fut communiquée sans démonstration par Moîvre à Jean Bernoulli, en Tannée lyoSj celui-ci lui renvoya la preuve de la formule dans une lettre écrite de Baie, le i6 février 1706 ('). Voici comment on peut la démontrer.
Nommons ç T angle que le rayon vecteur fait avec la tangente à la trajectoire. On a
— = Fsin<p (p. 25o);
(') Théorie de la Lune, p. 2; 1752.
(*) Nova comment, Petrop., p. 164 ; 175Q-1753.
(•) Fo/r MoiVRB, MiscelL analjri,, lib. VIII, et Jean Bernoulli, Opéra, t. I, p. 477.
BYNAMEQUE. 2^1
or
c.'=~ (form. II),
psinî> = /-^sin(p=P-^ (p. 122).
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, il vient
ce qui est 1 équation de Moivre.
Laplace a fait une application remarquable de ces formules aux réfractions astronomiques , dans le livie X de la Mécanique céleste,
\ . Un point matériel décrit une spirale logarithmique sous l'action d'une force constamment dirigée vers le pôle. Troui^er l'expression de la force et la vitesse du mobile en un point quelconque de la trajectoire.
Soit
logr=r «0
Téquation de la spirale. On sait que la tangente fait avec
le rayon vecteur un angle constant /3 , qui est donné par
la formule
tang^ = a,
La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente est P= rsin^:
dès lors, la formule (Vil) nous donne
Nous pourrons déterminer la constante C, si nous connaissons la vitesse Vq qui con^espond à une valeur
272 MÉCAMIQUE RATIOMNELLE.
donnée /o du rayon vecteur. En effet, d'après la formule (II) 9 nous aurons
t. — / -t VU- a' et , par conséquent ,
La formule (II) nous donne encore la vitesse en un point quelconque de la trajectoire ,
Newton, Principia, lib. I, prop. 9.
2. Un point matériel décrit une parabole sous Vin- Jluence d*un centre d'attraction placé au foyer delà courbe; lorsque le mobile est à une distance donnée du foyer y la force d'attraction rapportée à V unité de distance est subitement doublée. Déterminer la trajectoire que le mobile va décrire.
Soit p le paramètre de la parabole.
Dans la première partie du mouvement, on a, d'après la nature de la parabole ,
cl , si Ton différentie ,
par conséquent (formule VII),
Dans la seconde partie du mouvement ,
pr^ P3 dr
Cette
équation a
pour intégrale /,r=,. ?' + *=«'
Si Ton désigne par a la valeur du rayon r à l'instant où la force est doublée, et si l'on observe qu'à <;et instant la perpendiculaire P est abaissée sur la tangente commune à la parabole et à la nouvelle trajectoire, on aura, pour déterminer la constante ,
— = h const. :
pa pa
en sorte que la nouvelle trajectoire sera représentée par 1 équation
pr 2 V^ pa ou
pa in
Cette équation est celle d'une ellipse dont le grand axe est lŒy le petit axe ^ipa , et dont l'un des foyers coïncide avec celui de la parabole.
La distance de ce foyer au point de contact des deux courbes est égale au demi-grand axe de l'ellipse ; par conséquent , la parabole touche l'ellipse au sommet de son petit axe, et la tangente commune est parallèle au grand" axe. Cette tangente commune, considérée comme appartenant à la parabole, fait avec l'axe de cette courbe un angle dont le sinus est
il s'ensuit que Tinclinaison du grand axe de l'ellipse sur l'axe de la parabole est
arc sin
3 . Un point matériel soumis à l * attraction d 'un centre fixe se meut avec une ^vitesse inversement proportionnelie à la n'^"^ puissance de sa distance au centre. Trouver la loi de l'attraction et l'équation de la trajectoire.
Soit
l'expression de la vitesse.
La formule (IV) nous donne
si l'on dîfférentie, il vient
Telle est la force d'attraction.
Pour obtenir Féquation de la trajectoire, nous nous servirons de la formule (III). Elle nous donne
L'intégrale est
(/i — i) 9 =r arc cos H conftt.
ou , supposant que 9 soit nul lorsque r=aj
(n — i) e = arccos l-r^~^ \ — arc ces (-««-')•
Dans le cas particulier où n = i , Téquation de la trajectoire devient
Lorsque n=-^ la trajectoire est une section conique^
RiccATi, Comment. Bonon.y t. IV, p. 184.
4. Une petite bille, attachée à V extrémité d' un fil très-délié et légèrement extensible, repose sur un plan honzontal et parfaitement uni^ le fil est tendu dans sa longueur naturelle^ et sa seconde extrémité est fixée sur le plan. Le système étant dans cet état , on imprime à la bUle une vitesse connue , et dirigée dans le plan hori-zontal suii^ant la perpendiculaire à la direction du fil. Déterminer l'allongement du fil à une époque quelconque du moui^ement, et trousser l' équation de la courbe décrite par la bille.
Soient
m la masse de la bille ^ a la longueur naturelle du fil *, V9 la vitesse initiale ^
/' = a -h a: la longueur du fil à l'époque t ; Q l'angle décrit par le fil ;
p la tension nécessaire pour faire acquérir au fil la longueur a H- /3.
id.
«2^6 MÉCàNIQUE HATIOKITELLE.
Puisque la teusion est proportionnelle k rallongement, l'expression générale de cette force sera ^- Substituons cette valeur dans la formule (VI) ; il vient
et si Ton a égard à la formule (I) ^
'dF'^ 7^ ^ /If p* D'ailleurs, en vertu de la formule (II) ,
par conséquent ,
r/' r a*<»»' px
'dF ~ ~H mp'
d^ X a'^v^^ px
HP "~ (a + xy "" /rôp'
d'où
dx"* «' j'o' px^
— - r=: — r- — ^— -- H- COnSt.
dt^ (fl-hx)' mp
La constante se détermine par la condition que --7- soit
nul à Torigine du mouvement; on trouve qu'elle est
égaleài^o'-
D'après la nature du fil , a: et j3 sont des quantités fort petites et du même ordre de grandeur; nous pourrons donc, sans erreur sensible, réduire la valeur précédente
de — à sa partie principale qui est du premier degré par
rapport à jc et j3. Alorsil vient
rf.= y/'
/«P «fj?
V A^ r = i / — ^ arc cos | 1 ^ — x ) •
Nous n'ajoutons pas de constante , car x eit sont nuls à l'origine du mouvement.
Ainsi nous obtenons
On voit par cette valeur que le fil reviendra périodiquement à sa longueur naturelle, après des intervalles de temps dont la durée est
Cherchons maintenant l'équation de la eourbe décrite.
La formule (I) nous permet de substituer dO kdt dans l'équation (A). Il vient
(« 4- jp)* / 2 i>o^ X px^ \
Vj8 MÈCASiqVE mATiOHSELLE.
wolj dans notre d^ré d'approximation ,
dx
Im^v^ \ pa ^
V Pà" L '"?•'.• J
pa
'V—K^.sl-h^\
Telle est l'équation de la trajectoire.
Cette courbe est formée d'ondulations ^ales et disposées en cercle ; chaque ondulation sous-tend un angle au centre
Jacques Bemoulli a commis une erreur dans la solution de ce problème. Il part de Téquation
rf'r ç^ px
dans laquelle p désigne le rayon de courbure de la trajec-
ex P
de l'équation rigoureuse, la différence est du même ordre que X-, par conséquent cette équation n'a pu lui donner une valeur exacte de l'inconnue .r.
toire; or, entre -^ et — ^ qui est le terme correspondant
Jacques Berkoulli, Nova Acta AcaiL Petrop.^ '783, p. 2i3.
5. Un point matérielle meut sous Vaction d'une force dirigée "vers un centre fixe et fonction de la distance; la trajectoire quU décrit est de telle nature , que Vun des
rayons vecteurs niaxima est à très-peu prçs égal au rayon vecteur minimum, qui le suit. Déterminer la limite de V angle compiis entre ces deux rayons vecteurs lors-quils devientient égaux.
Posons dans la formule (V)
j¥r^dz=:rf(z);
alors cette formule devient
Intégrons, et nommons a une constante^ il vient
flB:
y/^-+-Jî(2
Les rayons vecteurs maxima ou minima sont les inverses des racip.es de Téquation
Soient a, j3 les deux racines positives qui correspondent aux deux rayons considérés, et V la limite de T angle compris entre ces deux rayons lorsque |3 devient égal à «.
Cet angle V est la limite de l'intégrale
dz
a8o MéCAlflQUE RATIOIIKELLE.
Or, les denx relations nous donnent
C'~T{p)-?(x)' ~ ?{?)-?(«) ' et par conséquent,
V=lim. r -^-V^^tP)--^^-) ,.
Pour déterminer la limite de cette intégrale, nous sul>btituerons à la variable z une nouvelle variable u définie
par la relation
a-l- Bw*
Alors , si Ton pose
aV(y3)-^*?(«)"^(/3'-0?(^^^)-[f(/3)-f(«)](^Y^
on trouve
V = lim. pU,^^.
Lm^sque Ton fait /3 = a , U* prend la forme -^ mais en
prenant le rapport des dérivées troisièmes du numérateur et du dénominateur, on trouve que la véritable valeur pour j3 = a est
en sorte que
Dans le cas où la force est proportionnelle à la n'^'*"' puis-
sance de la distance, et par conséquent ,
Cette dernière formule a été donnée par Newton , dans le livre des Principes (liv. I, sect. ix, prop. 45). On voit que dans ce cas la limite V est indépendante de a. D'ailleurs , il est aisé de reconnaître que le cas d'une force proportionnelle à une.puissànce de la dislance est le seul où Tangle V soit indépendant du rayon vecteur.
En effet , l'équation
9' (a.) ? (a) — atf (aj
a pour intégrale
B étant une constante arbitraire , et alors
la force est proportionnelle à une puissance de la distance. Les planètes décrivent autour du soleil des orbites à peu près circulaires, dont les périhélies sont sensiblement immobiles, et situés à 180 degrés des aphélies; si donc on admet que les planètes sont attirées vers le soleil par une force proportionnelle à une puissance de la distance , il faut que le degré de cette puissance soit exactement — 2 . En eflFet , lorsque n = — 2 , on a V = tt 5 et lors même que n différerait très-peu de — 2 , V serait assez différent de tt, pour qu'il en résulte un mouvement considérable dans les périhélies.
Si Ton avait, par exemple, tï = — 2,01, il en résulterait
v = -— ^= =7r-f- î^^ TT = i8.«48'. . .; V I — 0,01 ^
le përihëlie se déplacerait de i^ 4^^ ^ chaque révolution, tandis que les mouvements observés ne sont que de quelques secondes. Ceci confirme la loi de Newton.
Paigicon , Thèse de Mécanique,
6. Une comète décrit autour du soleil une orbite parabolique dont les éléments sont inconnus. Cet astre a été obsen^é en deux points dont on connaît les distances au soleil, ainsi que la distance mutuelle. Trouver une relation entre le temps qui sépare les deux observations et les autres quantités connues.
Nous pouvons négliger la très-petite quantité qui exprime le rapport de la masse de la comète à celle du soleil. Il en résulte que l'aire décrite par 1^ rayon vecteur dans l'unité de temps est égale au produit de la racine carrée du paramètre de l'orbite par une quantité connue , qui est la même pour tous les corps considérés.
2 COS^ - ô
Téquation .ie l'orbite, r, r' e,t 6, 6' les coordouftées 4fis deux positions observées , c la distance de ces deux positions ^ t l'époque de la première observation con^iptée à par.tjr de l'instaait où l'angle est nul, T le t€;mps qui sépare les deux observations* elksfp le double de l'aire décrite dans l'unité de temps ( * ) .
( ' ) Dans le calcul des orbites des corps qui font partie de notre système
DYNAMIQUE. Sè83
La formule (I) nous donne
^ f cos^-ô •^ ^ ^
Posons
tang - G = , tang -- ô' = e',
et admettons que 0' soit plus grand que 0. Il vient
p\fp [ , 0'3 e3\ .
Posons encore
planétaire, on prend ordinairement pour unité de distance le demi-grand axe de Torbite terrestre et pour unité de temps le jour solaire moyen. Alors, si l'on nomme T la durée d'une révolution sidérale de la terre, m la masse de la terre et M celle du soleil, la constante k est égale à
Or
T=365Jm-,25637,
et la valeur du rapport -> la plus probable aujourd'hui, est
par conséquent, on a
284 MÉCAIflQlJE RATIONNELLE.
alors
= ^ih;(«'-«)J-[.-^«>'-«)]'!-
D'un autre côté , si Ton projette la distance des deux positions observées sur Taxe de la parabole et sur une perpendiculaire , on obtient
c'=(r'cos9' — rcos0)'H- ( r' sin 0' — /' sin 9 )^
Celte relation, jointe aux valeurs
COSÔ = ;?
sinO=: -,
nous donne
c^=p^ (e'— 0)' fi -^ T (0' + ©ri =P'{^'— ^Y ^\
De là il suit
Telle est la relation cherchée.
Le double signe provient de la quantité yj (0' — 0)
qui peut être positive ou négative^ or cette quantité a le
même signe que
cos-(ô'--ô)
^' '~ "cosiocosl/
par conséquent , dans la valeur de T, on prendra le signe — lorsque ô' — Q <^ tt , et Ton prendra le signe -h lorsque
La formule que nous venons de trouver constitue un théorème de la plus haute importance pour la détermination des orbites paraboliques des comèteSw II est connu sous le nom de théorème de Lambert y bien qu'Euler l'ait établi le premier, dans le septième volumedes Miscellanea Berolinensia. La démonstration que nous avons donnée est de M. Gauss ( Theoria motûs corporum cœlestium).
7. Proposons-nous le même problème pour une orbite elliptique ou hyperbolique dont on ne connaît quun seul élément y le grand axe.
Soit
I 4- e?cos0
l'équation de Forbite, dans laquçUe a sera positif pour l'ellipse, et négatif pour l'hyperbole 5 conservons pour le reste la notation du problème précédent.
On montre dans tous les Traités de Mécanique que , si Ton pose
r:=: a [\ — c COS u ) ,
on a
? = -j- (a — c sm « ) ,
k étant la même constante que dans le problème précédent quand on néglige le rapport de la masse du corps à celle du soleil. Admettons que les quantités r, i/, 0, f se rapportent à la première observation, les quantités ana-
286 MÉCANIQUE RÂTIOXiNELLE.
logues r', m', 6', f ' à la seconde observation, et posons
Sî nous observons que
sin «' — sin tt = 2 sin p cos Pi , nous trouvons d'abord
{2) T=: — jr-[p — tfcospisinp].
Nous allons nous procurer deux autres équations entre les quantités connues et les deux inconnues [3 et e cosjSi ^ alors il nous suffira d'éliminer ces inconnues pour obtenir la relation cberchée.
La formule
cos II' -H cos a = 2 cos p cos p, , jointe à Téquation (i), nous donne
(3) r-+-r'=2fl!(i — tfcospicosp). D'un autre côté ,
c'=r»-^r'2 — 2rr'co5(e'— 0);
or l'équation de l'orbite nous donne, en ayant égard à la formule (1),
costf — e . ^ aJi — é^sÏDu cos 6= a 9 smÔ = — î ;
par conséquent ,
c" = rt' (i — ^cosa)»-f-«' (1 — 6' cos uy
— 2tf' [e — cosu)(e — costt') — 2rt'(i — e*)sin«sin«' = 2 €/=*( 1 — e^){i — sin M sin a' ) 4- «' ^' ( cos' u -f- cos* a' )
— 2«'cosacosrt'
= 2 fl* ( I — e' ) ( I — sin a sin tt' — cos u cos «')
-f-a*€' (costt — cos«')'
= 2^»(i — e^) (2 — 2 cos' p) + rt V ( 2 sin p sin p, )%
(4) c^ = 4«'sin»p(i — e'cos'pi).
Il s'agit mainlenant d'éliminer nos deux inconnues entre les trois relations (2), (3) et (4).
La seconde de ces relations nous donne
^COSp,= ^ r ]
*^ 2 a CCS ^ '
^= — (P-^ .a '^"gPJ'
'=4«'tang'pjcos»p- [^f:=4i±::2j}.
Soient
2/7 — C — (r-f-r') 2a-hc — (r-j-/)
Nous aurons
(^' ~ ^y = J =4 tang'p l^cos'p - ^ {z, + zy | ;
remplaçant
I — ros 2 S tang'P par — ; ^,
ces' p par 9
et résolvant Féquation par rapport à cos 2 j3 , il vient
C0S2 p = zz, + v/{i— Z')(l — z,'), 2 p = arc cosz — arc cos 5, ,
et j d'après la formule bien connue
I , , sin 1? — sin 7
tang- (/? — ^) =
tangp:
2 COSp-hCOSq
sin (arc cos2 ) — sin (arc cosz, )
^88 MÉCÂHIQUE BATIOHHELLB.
Sobsiitaons celle expression dans la dernière valeur de T; il vient
/5) T= — [arccosz— arccosï,— sin(arccosz)-l-sin(arccosz,)].
Cest la relation cherchée.
Dans le cas de l'hyperbole ,zetZi sont plus grands que Funité, en sorte que notre formule se trouve compliquée d'imaginaires^ pour les faire disparaître il faut remplacer arc cos z et arc cos z, par leurs expressions logarithmiques,
arccos2= -r= log(z-t-V2'— 0^
cosZ|= . log (si-^- VSi' — 1)>
arc
et mettre en évidence le signe de a.
On trouve ainsi
On n'afTecte d'un double signe que les seuls termes en Zi, car T doit être positif, et z est plus grand que Zi. Les signes supérieurs répondent à 6' — < tt , les signes inférieurs à e' — 0>î:. En effet, pour 0' — 6 = 0, T doit être nul, et z = Zi'^ donc, dans ce cas, ce sont les signes supérieurs qu'il faut prendre. De plus. Tétant une fonction continue de 6' — 6, les signes des termes en Zi ne peuvent changer qu'autant que ces termes s'annulent. Ils s'annulent pour ô' — 9=7:, et quand 6' — 9 vient à surpasser tt, les signes doivent changer, car T doit augmenter.
Ces formules étant indépendantes de l'excentricité, elles subsistent encore lorsque l'excentricité est nulle ,
c'est-à-dire, lorsque Tellipse se réduit à une portion de droite limitée aux deux foyers, et l'hyperbole à deux demi-droites terminées aux foyers. Ainsi l'on peut dire qu'une planète, pour parcourir dans «on orbite un arc dont la corde est c et dont les extrémités sont à des distances du soleil égales à ret r', emploie un temps égal à celui qu'elle mettrait pour arriver directement vers le soleil de la
distance à la distance > si elle était
