partie sans vitesse initiale d une distance égale au grand
axe de son orbite.
Comme application, nous calculerons le temps quun corps pesant emploie pour tomber sur la terre d'une hauteur donnée y en tenant compte de la variation que la pesanteur éprouve lorsque la distance au centre de la terre diminue.
Le foyer d'attraction est ici le centre de la terre, le grand axe 2 a est la distance initiale du mobile au centre, et la corde c est la hauteur dont le corps est tombé pendant le temps T.
On a donc
c — a r=i2ay r=2a — c, z =z — i, Zi =r ;
par suite (formule 5 ) , si l'on suppose que le corps tombe sans vitesse initiale ,
a^ r c -^ a ^ l'xac — cO
T=[.-arccos-^+y/-^;— J,
Lambert a démontré le premier cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques , que le temps nécessaire à parcourir la distance qui sépare deux points ï. 19
290 MÉCAMQL'E RATIONNELLE.
donnés peut s^expiimer indépendamment de ïexcentn" cité [Insîgniores orbitœ comeiarum proprietaies),
Laplace, Mécanique céleste, \vt. W, chap. 4» § 27.
8. Lorsquun corps céleste passe d'une position déternunée à une autre position également connue, le rapport du secteur décrit par le rayon vecteur, au triangle formé parlesolcd et les deux positions données, peut s'exprimer indépendamment du paramètre de V orbite. Troui^er l'expression de ce rapport pour les trois espèces d'orbites possibles,
SoieDt
r , r' les distances du soleil aux deux points donnés ;
c la distance qui sépare ces deux points;
a le demi-grand axe de Torbite ;
R le rapport cherché , et
Ha — c — {r-i-r^) 2.a-hc — {r-hr^}
Par des calculs presque semblables à ceux de la question précédente, on trouve , pour une orbite elliptique,
arc cosz — arc cosz, — sin ( are cosz) 4- sin (arc cos«i )
(1 — «)sin (arccoszi) — (1 — z,) sin (arc ces 2) '
pour une orbite hyperbolique , pour une orbite parabolique ,
Dans les deux dernières formules on discernera les si-
DVAAMIQITE. 29I
gties coïivenables par les règles données aux pioblèmes précédents.
M. Encke (*) , dans un Mémoire sur la détermination des orbites elliptiques des planètes, s'est servi utilement d'une formule approximative, qui exprime le rapport du secteur au triangle indépendamment du paramètre; il n'avait peut-être pas observé qu'il existe une formule rigoureuse. La possibilité de ces formules a été signalée par M. J. Bertrand.
9, Déy^elopper la plus grande équation du centre dans le moui^ement elliptique^ smv^ant les puissances ascen^ dantes de V excentricité^ et V excentricité suivant les puissances ascendantes de la plus grande équation du centre.
On nomme équation du centre F angle que forme le rayon vecteur du mobile , avec un rayon qui tournerait d'un mouvement uniforme et passerait aux sommets de la courbe en même temps que le premier.
Nommons n l'angle décrit dans l'unité de temps par ce second rayon, et conservons pour le reste la notation du problème 7.
A Tépoque t l'équation du centre est égale à — nf ', son maximum , que nous représenterons par E , correspond à la valeur du rayon /• qui vérifie Téquation
Or
r'ûfô = ««' si l — €^dt\ par suite,
^î Jl — £?2 ^2
(' ) Mathematische Abhandlungen der Kônigîichen Akademie der Wissen^ schqften zu Berlin, 1849^ p. 'ik'
fi^â AIÉCAMIQtJE RATIOMIELLE.
La valeur de r qui annule celle différentielle est
c'est la moyenne proportionnelle entre les deux demiaxes. Les valeurs correspondantes de d et de u se déduisent des équations
On trouve
cos©= ^ —f cosu = î '—•
Il s'agit de substiluer ces valeurs dans l'équation (i) E = — nt=0 — «4- esinuy
et de développer le résultat suivant les puissances de e. On a d'abord
série convergente, puisque e esl inférieur à Funilé, Soit
Le développement qui précède donnera
sina? = — c'OSÔ = 7 ^ H- ôT ^^ + TTô É^ H- • • • ;
or 5 si Ton développe par la formule de Maclaurin X = arc sin y suivant les puissances ascendantes ^e y = sinar, il vient
1 sin* a: i .3 sin*.r
X = sm JT H 5 1 7 —z. H ... ;
DYNAMIQUE. apS
par conséquent,
d'où
/ \ A '^ . "^ 3 21 , 34OQ ,
De même , on a
Cl , si Ton pose y = — u -H -?
sm r = cosa = 7 ff + ^5- c' H — ^75 c^^ 4- . . . . -^ 4 32 128
On tire de là
40 \lO24 /
TT TT I 37 23o3
(3) « = -^- = -^.5gje'-^^«^...,
sin « = cosr = I — - + :^-3-| — . . .
(4) sin« = 1 — ^6'' ^^'—•
294 MÉCANIQUE RATIOWWELLE.
Substituant les valeurs (2) , (3) y (4) dans Téquation (1), îl vient
(5) E=2i? + il^H-|22-^^+....
On voit que E change de signe avec e; par suite, e changera de signe avec E , c'est-à-dire que le développement de e suivant les puissances de E ne contiendra que des puissances impaires.
Posons donc
e= — ha
«5 by Cy etc., désignant des coef&cicnts indéterminés. Substituons cette valeur dans l'équation précédente, et égalons les coefficients des mêmes puissances de E dans les deux membres^ il vient
Il , na Sqq
2«-p = o, aft4--^ + 5^ = o,..., I
et, par conséquent^ ■
