II
Ainsi nous avons
Quand on pousse les développements jusqu'à la neuvième puissance, on trouve ^ II , Sqq , 1721Q 2o32363 „
10^07049^ g^^ 5.7.9.9 ^" Les astronomes se servent de cette dernière formule
pour corriger Texcentricitc par Tobservatioii de la plus grande équation du centre.
10. Tandis quune comète décrit une orbite parabolitjue, on imagine un cercle variable guipasse constamment par le soleil, la comète et le sommet de la parabole. Démontrer que le centre du cercle se meut d^un mouvement uniforme.
Newton, Principia, !ib. I , prop. 3o.
H . Un point matériel décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli sous V action d*un centre de forces placé au point double de la trajectoire. Déterminer la loi de la force et le temps employé à décrire une boucle de la lemniscate.
Soient
z'* = a' COS26 l'équation de la trajectoire 5 Ik Tattraction à l'unité de distance; F la force d'attraction à la distance r\ C le double de Taire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps,
et T le temps employé à décrire une boucle.
12. Un point matériel décrit une hyperbole équilatère sous l'action d* une force dirigée vers le centre de la courbe. Trousser la loi de la force, et déterminer la po-* sition du mobile à une époque donnée.
Soient
CCS 2
l'équation de l'hyperbole rapportée à son centre , fi, F, C
^g6 MÉCAHIQUE RATIONNELLE.
les mêmes quantités que dans le problème précédent , et t le temps compté à partir de F instant où le mobile est au sommet de l'hyperbole.
On trouve
jt = j5 sin29=— — , F=ftr;
d'où l'on voit que la force est répulsive.
13. Un point matériel décrit une cissoïde de Diodes sous V action d\ine force dirigée vers le sommet de la courbe. Déterminer la loi de cette force.
Si l'on représente la trajectoire par Féqualion
sîd'O
ces 6
on trouve que la force cherchée est une attraction proportionnelle à
14. Un point matériel décrit une circonférence sous r action d^un centre de forces placé sur la courbe. Déterminer la force et la vitesse en un point quelconque de la trajectoire*
Si l'on nomme r la, distance du mobile au centre de forces, (JL l'attraction à Tunité de distance et F la force cherchée, on trouve
NEvrTON, Principia, lib. I, prop. 7.
15. Un point matériel, sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, se meut a\fec une vitesse in\fersement
proportionnelle à sa distance au centre. Déterminer la trajectoire.
On trouve que la trajectoire est une spirale logarithmique dont le centre de forces occupe le pôle,
RicGATT, Comment, Bonon,^ t. IV, p. 184.
16. Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force F telle que, si Von représente par r la distance du point matériel au centre et par a, h deux constantes, on a
Déteminer la nature de la trajectoire, et examiner en particulier le cas oi^ le point matériel serait lancé d'une
distance a, avec une vitesse égale à - ^^2, dans une direction inclinée de 4^ degrés sur le rayon vecteur.
Admettons que l'angle polaire 9 soit nul en même temps que la distance au centre, et nommons C le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans Tunité de temps.
L'équation générale de la trajectoire est
. sm ' — ô ;
dans le cas particulier que nous devons examiner, celte courbe se réduit k la spirale d'Archimède
17, Un point matériel décrit une circonférence sous l'action d'une force attracti\^e, inversement proportionnelle au carré de la distance et dirigée vers le centre de la courbe; lorsque le mobile est arri\fé en un certain point de la trajectoire^ V attraction rapportée à Vanité
298 MÉCANIQUE RATIOHHELLE.
de distance croît subitement dans le rappon de m à /'unité^ lorsque le mobile repasse au même points t attraction croît encore dans le même rapport. Déterminer la trajectoire que le mobile décrit après ce second accrois sèment.
Cette trajectoire est une ellipse qui a pour excentricité m' — I
18. Un point matériel est attiré "vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance. Déterminer la trajectoire.
On trouve une ellipse dont le centre coïncide avec le centre d'attraction.
Kewton, Principia, iib. I, prop. 10.
19. Un point matériel soumis à l'attraction d*un centre fixe est lancé d'une distance a, ai^ec une vitesse égale à v^ , dans une direction perpendiculaire à celle du rayon vecteur. Déterminer V équation de la trajec» toire et la durée T de la réi^olution, dans les deux hypothèses suii^antes :
On trouve, dans la première hypothèse, r=ia cos* - 0, T» = -^ ,
2 32fX
et dans la seconde hypothèse,
r» = a» cos' , T = rî< — ^.
La première courbe est une épicycloïde engendrée par
un cercle de rayon -7 ? qui roule extérieurement sur un
cercle égal.
La seconde courbe est une lemniscate de Jacques Bernoulli.
Stadeb, Journal de M. Crelle, t. XLVI; i853.
20. Un point matériel se meut sous Inaction d'un centre fixe dont V attraction est exprimée par lajormule
fx et V étant des constantes, TrouiferV équation de la trajectoire.
Si Ton détermine convenablement les constantes introduites par Tintégration , on arrive à l'équation
"* 1 — tf CCS // Ô
dans laquelle k^e^h sont des constantes, et
C étant le double de Taire décrite par le rayon vecteur dans r uni té de temps.
Cette équation représente à peu près la trajectoire d'un point qui parcourrait une ellipse en vertu de l'attraction du foyer, pendant que celte courbe, invariable dans sa forme, tournerait autour de son foyer avec une vitesse égale au produit de i — h par la vitesse moyenne du mobile dans cette ellipse.
Si Ton pose
cette équation représente à peu près la trajectoire de la lune autour de la terre supposée fixe. C'est pourquoi Clairaut, qui d'abord avait cru, par suite de calculs incom-
3oi MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si Ton détermine la constante par les données initiales, il vient
Or, lorsque le mobile est à sa plus grande hauteur, on a
par conséquent,
T = - log f 1 4- - «^,sin a j .
2. Déterminer le mouvement d'un projectile pesant, lancé dans un milieu dont la résistance est exprimée par a H- i>^, a, b désignant des constantes et y la "vitesse.
Si Ton prend l'axe des y vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur, les équations du mouvement seront
d*x , . . dx
dO ' ^ ^ds ^
Multiplions la première équation par d^y et la seconde par d*x^ puis retranchons les produits. 11 vient
(a 4- bv'')(djcd^f — dyd^x) = gdsd^x;
d'où Ton tire, en posant
dx = ds cosw , djr=:ds sin w
et divisant par rft,
DYNAMIQUE. 3o3
OU
(i) g'coswc-C^+O dv — [a 4-g'sinû))(r-«;/w = W».
Telle est l'équation qu'il s'agit d'intégrer.
Soit K le facteur par lequel il faut multiplier le premier membre pour le rendre une différentielle exacte. Ce facteur doit être indépendant de vf^ car le second membre ne contient pas di*'^ par conséquent, la quantité dont le premier membre sera la différentielle , est de la forme ft^'"'*, fl ne contenant point if.
Egalons la différentielle de îît^~" au produit du premier nombre par le facteur K j il vient les deux relations
et
du smttidui na doi
Cl COSW g cosw
ou
du , , /?« , , /ir w\
— = — ndAog cosû) H d log tang ( 7 -i- - 1 >
na
g fit »\
a = COR"" w . tang^ I j H — I •
Il résulte de là que l'intégrale de l'équation (i) est
n rbadtù
gj COSW
Cette formule subsiste encore lorsque b est une fonction quelconque de w. Si a était une fonction de co, il suffirait
na n r a (i ùi
11 ff /^ ^\ SJ cosw
de changer tang^ 1 ^ + - j en e'' *^
3o4 MÉCAHIQUC BAT lOirif ELLE.
Ainsi la détermination de la vitesse est réduite à une simple quadrature.
Pour rendre les formules plus commodes ,- posons
taog d'où
('ri)=-
2r r'— I </«* dr
cosw = -— » sinw=:—; 1 = — -
r'H- I /* -f- I cos» r
Il vient
Toutes les fois que n est un nombre entier positif, l'intégrale peut s'obtenir sous forme finie.
Supposons , par exemple, - = , la formule devient alors
r' (/.a -I- i)« (r-« = . (r» -h l)""^' -h const.
Maintenant que v est déterminé en fonction de r, il nous est facile de donner les expressions de f , x, r en fonction de la même quantité au moyen des seules quadratures. En eiTct, nous avons déjà trouvé les équations
f'(fl -h ^p")r/w = g— -5 Éte = r/fcosw;
DYWÀMIQUE, 3o5
on en tire aisément ,
, at pdsdfù vd<ù vdr
dx (a -h ^p«) ~~ gdx ^ ~ g cosu "" "" 'gr^
dsd^x ds ,
— V dùi
d — ^^ ^ — ^ ^^^v'dtù^^ i^dr
Pour avoir les valeurs de f , x, j^, il suffit de substituer dans ces formules la valeur de s^ en fonction de r et d'întégrer.
Si Ton pose
a = o et /i = 2 ,
on a les formules que l'on donne dans tous les Traités de Mécanique.
La réduction aux quadratures réussit encore lorsque la résistance est exprimée par la formule
Au reste, cette hypothèse peut se déduire des formules
précédentes, en écrivant a et - au lieu de a et ft, et
faisant ensuite « = o. C'est ce que l'on reconnaît facilement, si l'on observe que la vraie valeur de la fraction
pour « = o est log v,
Jean BernouUi fut provoqué par Reill à déterminer le mouvement d'un projectile dans un milieu homogène, lorsque la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Il entreprit de résoudre le problème plus général où la résistance est proportionnelle à une puissance quel-
3o6 MÉCANIQUE RÀTIOHJîELLE.
conque de la vitesse ; bientôt il réduisit la solution à des quadratures, et eut la satisfaction de constater queReill ne savait point résoudre la question qu'il proposait. Ses rechercbes furent publiées , conjointement avec ceUes de son neveu Nicolas Bernoulli , dans les Acta enuhtorum, Lîps., 1719, p- 2i6(*). Plus tard, Legendre (*) apprit à' ramener aux quadratures la détermination du mouvement d'un projectile , quand la résistance est égale à une constante plus un terme proportionnel au carré delà vitesse. On peut encore consulter, sur le problème balistique, Euler (»), Borda (*) , Templeboff (») et Moreau («).
Jacobi^ Journal de M. Crelle, t. XXIV, p. 25; 1842.
3. Un point matériel se meut dans un milieu résistant sous l'action d'une force gui agit toujours dans une même direction. Déterminer la loi de la résistance du milieu, lorsqu'on connaît la trajectoire^ et réciproquement ^ déterminer, la trajectoire^ lorsqu'on connaît la résistance.
Prenons l'axe des y parallèle à la force et dirigé dans le même sens , nommons x^ y\es coordonnées du mobile à l'époque f , s l'axe qu'il a parcouru, Y la force qui le sollicite et R la résistance du milieu.
. Les équations des composantes tangentielles et normales que nous avons rappelées au commencement de ce chapitre , nous donnent
dv ^ ^X
ds ds
v^ ' dx
p ds
(*) Voir aussi J. Bern., Opéra, t. II, p. SgS. (•) Mém. de VAcad. de Berlin, 1782.
(•) Journal de V École Polytechnique, XI* cahier, p. 2o/|.
DYNAMIQUE, So^
OU, si Ton remplace p par sa valeur -7- : — ^,
DiiTërentions cette équation par rapport à x, en obseryantq«e^=»+^; il vient
" dx~ dx~^ zdj;' dxl d'- »'
et, d'après la première équation,
Cette formule résout le double problème que nous nolis sommes proposé.
Corollaire I. — Si l'on suppose en particulier que la résistance soit proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité D du milieu, on aura, en nommant p ime constante ,
R = ^Dp» = f*Dp — Y,
3o8 MÉCANIQDB RATION M ELLE.
€t, par conséquent,
__ R Ib^ __ I dx IJbd^ d /
2^ ds dx ^^ l d\ \di
Cette formule fait connaître la densité en un point quelconque du milieu , lorsque l'on donne la trajectoire 5 et réciproquement, elle fait connaître la trajectoire, lorsque Ton donne la densité.
Corollaire II. — Il est aisé de voir que p — est la
demi-corde du cercle de courbure menée par le point (x, j) parallèlement à l'axe des j^ en sorte que, si l'on nomme q cette corde , on aura
Cette formule nous montre que la vitesse du mobile est égale , en chaque point , à celle qu'il gagnerait en tombant dans le vide d'une hauteur égale au quart de la corde de courbure , sous l'influence d'une force égale à celle qui le sollicite au point considéré.
La question qui nous occupe a été résolue d'une manière fautive par Newton , dans la première édition du Lit^re des Principes y pour le cas d'une résistance proportionnelle au carré de la vitesse; l'erreur a été corrigée plus tard sur les indications de Jean BernouUi.
Newton^ Pn'ncipia, lib. II, prop. 10. Jean Beenoulli , Âcta erud, , Lips. , 1 7 1 3 ; Opéra, t. I, p. 5i5.
4, ÏJn point matériel se meut dans un milieu résistant sous l'attraction d'un centre fixe. Déterminer la loi de la résistance, lorsque Von connaît la trajectoire i etréciproquement, déterminer la trajectoire, lorsque l'on connaît la résistance.
Prenons le centre d'attraction pour origine des coordonnées polaires r etÔ; nommons P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente à la trajectoire, R la résistance du milieu et F la force d'attraction.
Nous avons les équations
ds as
P '• D'après la relation P = ''t^» la seconde équation peut
s'écrire
^ dr ^ I»» = P -- F.
Différeniiant par rapport à 5, il vient
'^J¥^Js\C dV*}~ ds^^2V^ds\C dv')
Si l'on compare celte dernière formule à la première équation, on en conclut
Cette valeur résout le problème.
Corollaire 1. — Supposons que la résistance soit proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité D du
3lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
milieu^ alors nous avons, en nommant (i une constante, et, par conséquent (A) ,
dP
Cette équation fait connaître la densité , lorsque la trajectoire est donnée, et réciproquement.
Corollaire II. — Si l'on nomme q la corde du cercle de courbure qui coïncide avec le rayon vecteur, on a
Cette relation nous fournit une remarque semblable à celle du corollaire II , dans le théorème qui précède.
Corollaire III. — On tire de la formule (B) , en désignant par C une constante,
Cette équation nous fait connaître la force d'attraction , lorsque la trajectoire et la densité du milieu sont connues.
Newton, Principie^, lib. II, prop. 17, 18.
Jean Bernoulli, Opéra , t. IV, p. 347.
5. Comme applications des deux questions précédentes, nous indiquerons quelques résultats auxquels on parviendra sans difficulté par la simple application des formules.
DYNAMIQUE. 3j I
Pour Simplifier, nous supposerons la constatite fx égale à l'unîté. Nous conviendrons une fois pour toutes que l'axe des y est dirigé dans le sens de la pesanteur.
Un point pesant se meut dans un milieu dont la resistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse,
I**. La trajectoire est une demi-circonférence située audessus d'un diamètre horizontal,
On trouve
R=r-^r ç^z=zg\Ja*'--x\ D =
2 a "^ a sja^^x^
Newton, Principia, lib. II, prop. lo, ex. i.
2**. La trajectoire est une hyperbole de V ordre n -f- i j
3r = ax-^ ^
On trouve
EuLER, Mechan., t. I, p. ^oo, 6. La trajectoire est une parabole de l'ordre n,
y = — b -h ex'*.
Déterminer la résistance.
On trouve
3ia MÉCANIQUE RATIONNELLE.
7. Un point matériel se meut sous V attraction d'un centre fixe dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse.
1^. L'attraction est proportionnelle à la »'*'"* puissance de la dislance, et le centre d'action est situé sur la trajectoire qui est une circonférence,
r= aacosO.
On trouve, en représentant par v Fattraction à Funité de distance ,
R = ^ V (iîH- 5) r» siD0^
2^. La loi de l'attraction est la même y et la trajectoire est une spirale logarithmique dont le pôle occupe le centre d' attraction ,
0= tangalogr.
On trouve , en supposant que le mobile s'approche du pôle,
R= - v(/i 4- 5)cosa.r'»,
Newton, Principia^ Hb. Il, prop. i5, i6,
8. La trajectoire est une circonférence dont le centre est le point attirant, et la résistance du milieu est constante.
Soient a le rayon de la circonférence , f^o la vitesse initiale, h la résistance du milieu et s l'arc décrit dans le temps t.
DYNAMIQUE, • 3l3
On trouve
A l'instant où la vitesse s'éteint^
9. La trajectoire est une spirale logarithmique dont le pôle occupe le centre d'attraction y
6= tangalogr;
la résistance est proportionnelle à la /i'^'"* puissance de la distance au pôle.
Soient a le rayon vecteur initial, ^'o la vitesse initiale et h la résistance à l'unité de distance.
On trouve , en supposant que le mobile s'approche du pôle,
(/! + 3)cosa.a^f>; -f-2^ (r"+=>— ^"+3) """' (/i -H 3)cosa.r»
EuLEE, Mechan , t. I, p. 44^*
3l4 MÉCAHIQLE RATIOHNELLE.
