Un point matéfiel, assujetti à rester sur une spirale
DYNAMIQUB. 3l5
logarithmique et attiré vers le pôle par une force inversement proportionnelle au carré de la distance^ part sans vitesse initiale d'une distance égale à a. Déterminer le temps nécessaire à ce mobile pour atteindre le pôle.
Soient log-= - Téquation de la spirale et f^ rattraction à l'unité de distance.
La formule (D) nous donne
Ja r^ V «/ '''' ^^"
Or, d'après Téquation de la spirale,
par conséquent,
en sorte que le temps cherché a pour valeur V 2/x J^ Jar—r'
arc ces
ar
yar — r'
de sa position d* équilibre.
2. Deux points pesants réunis par une tige rigide et sans poids poussent se mous^oir sur deux droites fixes situées dans un même plan vertical.
Déterminer la durée des petites oscillations que le système exécute lorsquon vient à V écarter légèrement
3l6 MÉCIBIQCE &ÀTIOBHEIXE.
Soient
P et P' les deux points mobiles;
c leur distance mutnelle;
m ex m! leurs masses respectiTes^
X et jr' leurs distances au point de concours A des droites fixes ^
a et a' les valeurs de ces distances qui correspondent a la position d'équilibre ;
<f et <f' les angles que la droite PP' fait avec les deux droites fixes ;
I l'inclinaison mutuelle de ces deux droites \
a et a' les angles qu'elles font avec la verticale;
T Faction mutuelle des deux points qui est transmise par la tige PP'.
Les équations du mouvement sont les suivantes ,
m -— = mg cosa — T cos y, m! -yY = f'gcosa' — T cos ^' ;
d'où Ton tire y par l'élimination de T,
m cosf -T-^ m' cosf -t-y = mg cos a cos ç' — m'g çosa' cosf .
Pour exprimer <f et (f' en fonction de x et x', la géométrie nous donne les deux relations
c cos y = j/ cosi — X , ' c cos <f'= X cos I — x'j
qui nous permettent d'écrire l'équation précédente sous la forme
— m [x — xcosi)— \- m (x — x cosn —r-r
^ ' df ^ ' dt^
= — mgcos«(x' — a: ces/) -{- m^gcosa{x — :c'cos/).
Remplaçons dans cette formule x^ od ^ par a-^z^ ci+ z\ et observons que le second membre est nul lorsqu'on y fait x^^a^ a:'= a', car ces valeurs sont celles qui correspondent à Téquilibre. Il vient , en négligeant les secondes puissances des petits écarts z, z' el de leurs dérivées ,
- /w («'--« cosi) — 4- /«'(«-«' cosi) —
= — m g cos« fz' — z cos/) -f- m' g cosa'(z — z' co$i).
Or on peut exprimer z' en fonction de z, car on a Téquation
— 2 (<i 4- « ) ( a' -h «' ) ces / ,
laquelle devient, en négligeant les secondes puissances de z et de z',
(2) (a — a'cosi) z -h {a' — a cos/) z' = 6.
On pourrait maintenant éliminer z^ de Téquation (i) , puis intégrer, et le problème serait résolu.
Cherchons la longueur / du pendule simple qui oscille dans le même temps que chacun des deux points de notre système.
Soient Ar, Xt^ h des constantes. La théorie du pendule nous donne pour z eiz^ des valeurs de la forme
zz=zA%ïn(ti/^-hh\ z' = ^'sinf/4/^4-/H.
Si nous substituons ces valeurs dans les équations (i) et (2),
et que nous éliminions du résultat le rapport 779 nous
obtenons
/w(fl' — acosi)'-f- m' (a —a' ces/)' "" (mn cosa -h rn'a^ cos a') sin'/ '
3l8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
en sorte que la durée d'une oscillation ^ i/- est connue.
La longueur / est susceptible d'une construction simple. En effet, supposons les points P et P' dans leur position d'équilibre; par chacun de ces points, élevons une perpendiculaire sur ]^ droite qui dirige son mouvement. Soit O l'intersection de ces deux perpendiculaires. Projetons le contour PAP'OP sur chacune des droites AP, AP; il vient
OP'sini =za — a' cosi,
OP sini = 4ï' — a cosi.
D'un autre côté, si nous nommons A- la distance du centre de gravité des poids P et P', dans leur position d'équilibre, à la droite horizontale qui passe au point A , nous avons
(/w 4- /w') h = ma cosa -h m'a' cosa.'.
Ces valeurs,* substituées dans l'expression de /, nous donnent
m OpV m' ÔP'
Il est aisé de construire cette valeur par les méthodes de la géométrie élémentaire.
3. Un point matériel, assujetti à rester sur une droite donnée, est sollicité par une force dirigée "vers un centre fixe et fonction de la distance à ce centre. Trouver la durée des petites oscillations que le mobile exécute, lors^ quon vient à récarter légèrement de sa position d^équilibre.
Soient
a la distance de la droite au centre des forces;
DYlfAMlQUE. 3l9
r la distance du mobile à ce centre 5 X, la distance du mobile au pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite ; f[r) la force correspondante à la distajice r. Prenons pour unité de masse celle du point mobile. Le mouvement sera représenté par l'équatîon
const.
Si nous négligeons les quantités du troisième ordre en x,
'dn
dans la valeur de — ? / (r) = /( y/a'-f-x* ) doit être rem-
placé pary (a) sous le signe 1 ? et, par conséquent,
- = -. 2 rf{a) -h const.
Nommant e la valeur initiale de .r, cette équation peut s'écrire ,
On en tire
arccos-»
en sorte que la durée d'une oscillation est
320 MéC4NIQrE RATIOXK ELLE .
Si , par exemple, la force est ane attraction proportionnelle à la disunce, on a
fi étant l'attraction à Tonité de distance. C'est un résultat donné dans la Mécanique d'Euler, tome II, page 91.
Les formules générales qui précèdent supposent que f{a) n'est pas nul. Si celte condition n'était point remplie, il faudrait, dans la valeur de -— -? conserver des
puissances de x supérieures à la seconde , et les résultats seraient changés.
Ce cas se présente, en particulier, lorsque la force centrale est le ressort d'un fil élastique lié, d'une part au point mobile, d'autre part au centre fixe.
Soient T la tension du fil et X son coefficient d'allongement (^); supposons que la longueur naturelle du fil soit ^ale à la distance du centre à la droite.
Nous avons
' /(r) = T, r = a(n->T); d'où
d'ailleurs,
