I- xdx
- = y//* -h x', dr = •
Substituant ces valeurs dans l'équation (1) , il vient
(') Foirp. |33.
Or, si Ton néglige les quatrièmes puissances de x,
par conséquent ,
y— dx
dt =z — 2 a y\a
Posons
X zzz % COSf .
Alors ,
l>.a\f\â dif a /--— dra
' s/i-Hcos»9 « / I . ,
sin'^
L'intégrale définie est une fonction elliptique de première espèce dont le module est -7='
va
4. Deux points A et B étant donnés sur une même droàe horizontale, trouver, dans le plan vertical mené ' par ces deux points, le lieu d'un troisième point P tel, que la somme des temps nécessaires à un point pesant pour parcourir les droites AP et BP, lorsqu'on le pose successivement en A et B sans vitesse initiale^ soit égale à une quantité donnée h.
Prenons l'origine des coordonnées sur la droite AB, à égale distance des extrémités, et dirigeons Taxe des y dans I. 21
322 MÉCANIQUE RÀTIONirELLE.
le sens de la pesanteur. Soient x^ y les coordonnées du point P et 2 a la distance AB.
Les formules du mouvement sur un plan incliné nous donnent de suite Féquation
Élevons deux fois au carré pour rendre Téquation rationnelle, et posons
iX'g. = 4r.
Il vient, après des réductions faciles,
(E) ..^,^ r'--cr+^' .
^ ' a^ — cjr
Cette courbe se compose en général de deux branches , lune tangente à l'origine à Taxe des x et asymptotique à '
la droite r = —? l'autre située au delà de cette dernière •^ c
droite et formant une sorte d'ovale. Cette seconde branche seule convient à notre problème-, pour qu'elle existe, il faut que c soit plus grand que 2 a. La première branche est le lieu des points P tels, que la différence des temps employés à parcourir les droites AP, BP est égale à la constante h. En effet, si Ton rend rationnelle l'équation
on arrive encore à la formule (E).
Fcss , il/e/if . de fjcad, de Saint-Pétersbourg, 1819-
DYNAMIQUE. 3a3
5. Déterminer la courbe sur laquelle doit glisser un point pesant, pour quil descende de hauteurs égales dans des temps égaux.
On supposera que la tangente à F origine des arcs par-courus est verticale.
Prenons l'origine au point où le mouvement commence, et l'axe des j vertical dirigé de haut en bas.' Soit (3 la hauteur verticale que le mobile parcouTt dans F uni té de temps.
Nous avons
^, = 2^/-+-const., ou
djc^\ dr'
ds Or, à l'origine du mouvement, — = jS , d'où il suit que la
constante est égale à |3*; d'ailleurs, par hypothèse ^ on a toujours
par conséquent,
dx*
La courbe est une parabole de degré - *, son axe est Taxe
des y^ et son point de rebroussement est à l'origine. On Ta nommée Isochrone,
Leibnitz défia les disciples de Descartes de résoudre ce problème par les méthodes de leur maître , sans employer
3^4 MÉCANIQIJE RATIONNELLE.
le calcul différentiel. En effet, ils ne purent y arriver. Alors Huygbens (*), Leibnitz(') et Jacques Bernoulli (') publièrent différentes solutions , leS premières synthétiques, la dernière analytique.
6. Un point matériel se meut sur une courbe avec une "vitesse constante. Quelle doit être la courbe pour que la ^vitesse estimée suis^ant une droite donnée croisse d'une manière uniforme?
Soient |3 la vitesse du mobile sur la courbe , c Taccrois^ sèment de la vitesse dans Tunité de temps suivant la droite donnée. Prenons cette droite pour axe des x, et le point où elle rencontre la courbe pour origine des coordonnées.
Nous avons
dt-" dO P ' et
d^x dF='' -
d'où Ton tire , par intégration , dx'
Éliminons dt entre cette dernière équation et la première. Il vient
et si Ion pose -j-=a
y=z a arc ces h ^2 ax ~ x
(*) Nouf elles, de la République des Lettres, octobre 1687. (^) Àcta erud.y Lips., 1689, p. 196 et suiv.
(•) Jb., 1690, p. 217.
C'est l'équation d'une cycloïde dont le cercle générateur a pour rayon a , et roule sur la droite a: = aa.
Cette propriété de la cycloïde résulte d'un travail d'Euler, qui fait partie des Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, t. X, p, 7. On trouvera des détails historiques sur cette question dans les Bulletins de VAca^ demie des Sciences de Bruxelles, t. IX.
^^ 7. Un point pesant est
lancé av^c une vitesse connue, dans une direction horizontale AO. Quelle est la courbe sur laquelle le point doit se moui^oir pour que sa distance au point fixe O décroisse d'une manière uniforme?
Soient r la distance du mobile au point , 6 l'angle que ce rayon vecteur fait avec la direction OA et j3 la vitesse initiale.
On a, d'après l'équation (6) placée au commencement de ce chapitre,
— 4.r»— =p»4-2g'rsin^
Or, à l'origine du mouvement, 9 = o,— = 0, — = |3*,
t , dr
d'ailleurs — est constant par hypothèse. Par conséquent.
l'équation du mouvement se réduit à la forme simple
dr p </9
On en tire, en nommant a la valeur initiale de r,
3ll6 MÈCkMiqZE. AATIOHBEULE.
Telle est réi|iiation de la couriie. H faut Décessairement employer les quadratures pour la construire; car Tintégrale qui figure dans l'équation ne peut s^obtenir sous forme finie, elle dépend des fonctions elliptiques. La Corme de la conrlie est celle de la figure ci-jointe ; elle comprend la droite AO. Sur la première moitié de la courbe le mobile s^approcbe uniformément du point O ; sur la seconde moitié, il s'éloigne uniformément.
Leibnitz proposa ce problème aux géomètres de son époque, et nomma la cowrhe Paracentriçue Isochrone, La question parut difficile, car la première solution se fit attendre pendant cinq années ; elle est de Jacques BeriM>ulli et parut dans les jicta eruditorum, Lips., 1694* On trouvera une généralisation de cette question et plusieurs autres problèmes du même genre, dans un trayail de Varignon, qui fait partie des Mémoires de V Académie des Sciences de Pans, ^^99 9 P* i •
8. Tromper une courbe telle, quun point pesant P posé sur cette courbe en un point donné O , parcoure Varc OP dans le même temps quil mettrait à parcourir la corde.
Soient r la distance du mobile au point de départ, Q l'angle que ce rayon vecteur fait avec la verticale et s l'axe parcouru.
On a
dt^ dt*
= 2^/- ces 9;
par conséquent, le temps employé à parcourir Tare s est
dB'
rcosÔ
DYNAMIQUE. 3a7
D'ailleurs le temps qui serait employé à parcourir la corde est égal à
gcos9
Écrivons que ces deux temps sont dans un rapport donné a , le problème sera plus général ; puis difTérentions l'équation résultante par rapport à 9. Il vient
dr^ dr
(a'' — i)cos'0 — --f-aa'sinôcosôr— 4-(a»sin'9 — GOS*Ô)r»=o*
Cette équation est homogène en r et — 5 on pourra donc
l'intégrer. Pour cela, il suffit de diviser par r', et de poser
i dr
alors on aura une équation du second degré en z que Ton résoudra.
Soient
z=/(ô), z = ff{B),
les deux racines.
Puisque
Tintégrale générale de Téquation proposée sera
C et C étant deux constantes arbitraires.
Supposons maintenant que «.soit égal à Tunité. L'équation différentielle devient
I dr cos 2
r dB sin 2
3a8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
et si Ton intègre, on trouve l'équation
logr=r -logsin2 9 H — loge, r'^c'sinaô,
dans laquelle c est une constante arbitraire.
On voit que la courbe est une lemniscate de Jacques BernouUi , qui a son centre au point de départ , et dont Taxe fait un angle de 45 d^rés avec l'horizon.
Nous devons cette propriété de la lemniscate à Saladini (Memorie deW Instïtuto Nazionale Italiano, t. I, p. a).
La généralisation que nous avons indiquée est de M. Serret {Journal de M. LiouvîUe, t. IX , p. 285 i844)-
9. Un point matériel assujetti à rester sur une courbe, part du repos et se meut en vertu d'une force dirigée "Vers un centre fixe et proportionnelle à la distance. Quelle doit être la courbe pour que le temps employé à décrire l'arc soit égal au temps que le même mobile emploierait à décrire la corde ?
Soient
s l'arc parcouru à partir du point de départ O ;
a la distance du point O au centre d^ attraction ^
p la distance du même point au'mobile;
Q l'angle des deux droites a el p\
r la distance du mobile au centre d'attraction.
On a
— = — 7,Jrdr 4- const. = (a' — r').
Or
r*=rp'-f-«» — 2/ipcosO;
par conséquent,
ds I
-— =rV2rtpCOS0 — p".
dt ^ ^ '
Considérons d'abord le mouvement sur la corde. 11 nous
DYMAMIQUIS. 3^9
faut poser ds = dp^ et considérer $ comme une constante. II vient
, ' =5 arc sin ' — - . — h —
V2tfpCOS0 — p» rïCOSO 2
Si maintenant nous considérons le mouvement sur la courbe, nous avons
^2 ap cosB — p'
Egalons ces deux valeurs du temps , et diiîérentions Vé~ quation résultante par rapport aux deux variables p et 6, 11 vient
COftÔ ▼ r r »
d^où l'on tire, en élevant au carré,
a tango //p-= p(i — tang*©)^/©,
-i- = cot 2 ô rfO ,
p' =r c' sin 2 0.
La courbe est une lemniscate, comme dans le problème précédent.
OssiAN Bonnet, Journal Ae M. Liouville, t. IX, p. ii6^ i844*
10. Troui^er V équation différentielle des courbes tau' tochrones pour un point sollicité par des forces qui agis' sent dans un même plan.
On nomme tautochrone une courbe telle, qu'un point matériel, qui part du repos et se meut sur cette courbe sous l'action de forces données, emploie h même temps
mm m\
33o MÉCANIQUE RlTIONlfELLE.
pour atteindre un point déterminé, quel que soit le point de départ.
Soient
A le point où se termine le mouvement;
B le point de départ ;
s l'arc qui sépare le mobile du point d'arrivée A, compté à partir de ce dernier point;
a la valeur initiale de Tare s ou Tare AB ;
S la force motrice estimée suivant la tangente à la courbe dans le sens du mouvement et exprimée en fonction de Tare.
Nous avons
en sorte que la durée du mouvement est
Cette quantité doit être indépendante de a , en d'autres termes, l'intégrale indéfinie
ds
doit devenir indépendante de a lorsque l'on y pose s = ûc. Or, pour cela, il est nécessaire quey(a, a) soit homogène et de degré o par rapport à a; nous pouvons donc poser
d'où
Si l'on élève au carré et que Ton difTérenlie par rapport à 5, il vient
-^Sds=zd.
KOI
Cette équation doit convenir à la courbe tautochroile ; or
l'équation delà courbe ne saurait dépendre de a, par
a' conséquent ■= — > est indépendant de a , ce qui exige
que Ton ait
KOT=ï''''°''''
d'où
S = As,
k désignant une constante indépendante de a.
Il suit de là ,
— r" ds Tt
^~4t'^' ds *"4t''
33 a MÉCÀNIQrE RÀTIOUliELLE.
OU, si Ton exprime S en fonction de Tabscisse x.
dx
Telle est l'équation différentielle des courbes tautochroncs.
Huygbens , le premier, s'est occupé des courbes tautochrones 5 il démontra que la cycloïde est tautoclirone pour un mobile soumis à la seule force de la pesanteur [Horolog. Osci'll.j P. n, prop. aS). Le problème inverse, qui consiste à déterminer directement les courbes tautochrones , fut attaqué d'abord par Newton dans le livre des Principes^ lib. I^ prop. 53. Pliis tard, Euler s'en est occupé dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg y 1729, et dans sa ilfeca/z lijri^^ t. II, p. 211.
H. Trouver les courbes tautochronés pour une force dirigée vers un \ centre fixe et proportionnelle à la disj tance.
Soient
fj. l'attraction à l'unité de distance;
r le rayon vecteur -,
(f l'angle que la tangente à la courbe fait avec le rayon vecteur ;
P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente.
On a
S=r pi/'COSf ;
en sorte que l'équation de la courbe est, d'après le problème précédent ,
yLd(r coSff) TT*
di ^'Ît''
OU , si l'on observe que cosy ds = dr^
fArcosy rf (rcosç) = ^rrfr.
On en tire
^r'cos*y = ^ r' 4- const.,
a (/•»— P») = 7-- r'^-f- const.
Nommons c la valeur de P qui correspond à ç = -. La constante aura pour valeur — 7-75 et nous aurons
Telle est Tëquation de la courbe.
Examinons les différents cas qui peuvent se présenter.
