i. — L'équation (F) représente Vépicycloïde

que décrit un point d'une circonférence , lorsque celle-ci roule intérieurement sur une autre circonférence fixe dont le centre est au centre d'attraction.

En effet, soient R le rayon du cercle fixe, p celui du cercle mobile , m le point décrivant , n le point de contact des deux cercles et O le centre d'attraction.

La normale à Tépicycloïde au point m est la droite 77772 (p. 180) , et, suivant que R > ou < ap, on a, avec le signe supérieur ou avec le signe inférieur,

R» =r r ' 4- 7W7ï'' ± 2 /7I/I . r sin (j) , mn • 2û

334 HÉCAHIQXJE RATIONRELLE.

On en tire, par l' élimination de mn et de sinip ,

f'^-^,'' 4Rp-4p'>' ^ 4Rp-4p' '

équation qui coïncide avec la formule (F), quand on pose

Vf* ^ alors aussi la condition R >• p, nécessaire pour une épi-

cycloïde intérieure, revient à > ^ > i .

L'extrémité commune des arcs qui sont parcourus dans le même temps répond ày==o et r = P = c; car un point matériel placé à cette extrémité doit y rester en repos.

Cette propriété de Tépicycloïde était connue de Newton (Pn'ncîpia, lib. I, prop. 52).

-r-p- = 1. — L'équation (F) se réduit àP = c-, elle

représente une droite située à la distance c du centre d'attraction.

y—— <* I . — L'étude de ce cas est moins facile. M. Pui-

seux a démontré que la courbe est une spirale formée de deux branches symétriques , s'éloignant indéfiniment du centre fixe , et qui jouissent de cette propriété d'être semblables à la développée de leur développée (Journal de M. Liouville, t. IX, p. 4i6 et 392-, i844)« Supposons maintenant que c soit nul.