Déterminer directement les courbes tautochrones
336 MécAniQUE rationnelle.
pour une force qui est perpendiculaire à une droite fixe
et proportionnelle à une puissance de la distance à cette
droite.
Nous supposerons que la droite fixe passe par Vextré^ mité des arcs qui doii^ent être parcourus dans le même temps.
Prenons l'axe des y sur la droite fixe et Taxe des x dirigé en sens contraire de la force.
Soient juix" la force à la distance x et A la valeur de d: au point de départ.
Nous avons
ds^ C^ lu.
df ^ J^ /i-hi^ ^'
en sorte que le temps employé pour arriver à l'origine est
/' -dx dx ^
Il s'agit de trouver les valeurs de s en fonction de x qui rendent cette intégrale indépendante de h.
Posons
s z=. f^{^x^ et x=.hu.
Il vient
/«-t-i /* ff'(hu)hdu
Jo h '^ (i — a"-^';'
ff'(hu)(ku) ^ du
ÏÏYNAMIQUE, 337
OU, si l'on fait 9' {x) x ^ = ^|; (x),
y 7 1, I i:zL!L
On doit avoir
flr
Uk ^ "'
j— rf/< = o ;
or celle condition , qui doit être remplie pour toute valeur de A, exige, que ^^ [hu) soit identiquement nulle-, autrement on pourrait prendre h assez petit pour que ^'[hu) conserve le même signe dans toute Tétendue do rintégrale, et alors Tintégrale, ayant tous ses ëlémentvS positifs, ne saurait être nulle. Ce raisonnement suppose seulement que ^' [x) n'est pas de l'espèce de ces fonctions singulières qui changent de signe une infinité de fois, tandis que la variable x parcourt un petit intervalle daiis le voisinage de o (*).
Ainsi Ton a
•^'{x)=z Oy >|* [x) = const. = /• ,
dx
dx Telle est réquationdifrérenliellcdes courbes tautoclironcs%
(') xsin ' est une de ces fonctions sin^fulièreA.
338 MÉCANIQUE HATIOHNELLE.
On voit que n — i doit être négatif^ sinon — serait
imaginaire pour de petites valeurs de x.
Soit
m sera positif, et Ton aura
Le second nombre est une dîtrérenlielle binôme que Ton
intégrera par les méthodes coni.ues.
Lorsque
w =n o , ou /i == I ,
on a une ligne droite parallèle à la direction des forces. Lorsque
/W =: I , OH w = o , '
on a une cycloïde. Il en résulte que, pour les corps pesnnts, la cycloïde est la seule courbe tautochrone d^ns le "vide.
Quand
/7/ = 2 , ou // = — I ,
Féquation peut encore s'intégrer en quantités finies , mais elle ne répond pas au problème, car la valeur /z = — i est exclue de notre première intégration.
Enfin, si l'on admet que m ait une valeur fractionnaire - r l'équation de la courbe s'obtiendra sous forme
finie toutes les fois que ^ sera un nombre entier, ou un nombre entier augmenté de — Posant, par exemple,
- rr: - , OU n ^ -t P 2. 3
I^VNAMIQUK. 339
i]ons obtenons la conrbc
Toutes CCS courbes sont tangentes à la droite fixe prise pour axe des y 5 elles coupent à angle droit la ligne a
X = A*" et ne s'étendent pas au delà,
13. Considérons une série de courbes semblables et semblablement placées, qui passent toutes par un même point A , et proposons-nous de trouv^er le lieu des extré^ mités des arcs qui seraient parcourus dans un même temps, par un point pesant posé sans vitesse initiale au sommet commun A et assujetti à décrire successipement les diverses courbes.
Le lieu géométrique ainsi défini porte le nom de courbe synchrone par rapport à la série des courbes semblables.
Soient pris le sommet A pour origine des coordonnées et la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des x. Nommons t le temps que le mobile emploie pour atteindre la courbe syncbrone, s Tare qu*il décrit dans ce mouvement et x Tordonnée de l'extrémité de cet arc.
On a
ou
Dans cette formule, on remplacera -j- par sa valeur en X
dx
34o MÉCANIQUE RÀTIOWIN ELLF.
tirée de réqualion commune aux courbes semblables, laquelle contient un paramètre arbitraire a; on intégrera, puis on éliminera le paramètre a entre le résultat obtenu et Téquation des courbes semblables ; Téquation résultante représentera la courbe synchrone.
Le plus souvent l'intégration dont on vient de parler ne pourra s'effectuer en quantités finies ^ alors il convient de modifier la méthode.
L'équation commune aux courbes semblables est de la forme
admettons, pour plus de clarté, qu on Tait résolue par
rapport à - > et soit
on pose
sera une fonction de z indépendante de a, et Ton
dx aura
t/o V igz
nVNAMIQDK. 34 ^
OU
Dans ces formules, ou donnera successivement à z diti'éreutes valeurs, et l'on calculera par les quadratures les coordonnées x^ y des points correspondants de la courlnî synchrone.
Le problème de la courbe synchrone est dû à Jean Bernoulli (^)^ Euler Fa discuté dans sa Méclianique (t. Il,
14. Un point matériel , assujetti à rester sur une courbe plane, est sollicité par ries forces situées dans le même plan et données à volonté. Déterminer quelle doit être la forme de la courbe^ pour que le temps employé par le mobile à parcourir la distance qui sépare deux points donnés, soit un minimum relatii^ement au temps qui lui serait nécessaire sur toute autre courbe,
La courbe ainsi définie se nomme brachystochrona relativement au système de forces.
Soient jc, y les coordonnées du mobile, s l'arc qu'il a parcouru à l'époque f et a , (3 les valeurs de x correspondiiDlcs aux deux points donnés.
(') Acta crud.j Llpi., 1697, j). aofi.
IfÉCASIQLE
RATIOKACLLE.
Ona
par suite,
si
l'on pose
dx
= fy
la durée du mouvement entre les deux points donnés
sera
11 faut déterminer la relation qui doit exister entre les coordonnées x et y^ pour que cette intégrale soit un minimum ; cette relation sera l'équation de la brachystochrone.
Nous résoudrons ce problème par le calcul des variations.
ScMt
if
Concevons que dans V la vitesse v^ soit exprimée en fonction de x et de y, et nommons M et N les dérivées partielles de V par rapport h y et /?. La méthode des variations nous donne ]a formule
dans laquelle — représente la différentielle totale de N
par rapport à x.
Pour exprimer cette formule en fonction des coordonrnées X , y^ nous avons d'abord
dv
