V- dy
d'ailleurs, si nous représentons par X et Y les composantes des forces suivant les axes , nous avons
(2) vdv = yid,x;-^Xdy',
en sorte que la dérivée partielle — est égale à -• Il eu résulte
Nous avons encore
V y/~i -+- p^ V ds '
r/N I dv dy dx !>■' dx ds
V dx\ds j
ou, puisque la diilérenlielle totale — est égale à
en vertu de Téquation (2),
^*^ dx -^ i>^\^^^dx)ds ^v dx\d7)
Substituant dans la formule (1) les valeurs données par les équations (3) et (4), il vient
ç2 jL ('!l\ :^ X — — y ~,
dx \ds I ds ds
344 MÉCAKIQLE RATIOKKEXLK.
eu, ce qui est la même chose.
'^'^ -r/lX'/^-»-Yrfjr,
Cette équation différentielle du second ordre représente la Lracbystochrone. Les deux constantes qu'introduira Tintégration permettront de faire passer cette courbe aux deux points don nés ; aloi*s le problème sera complètement résolu. Quand on écrit l'équation (5) de manière que les deux membres soient positifs, le premier membre est égal à
la force centrifuge —» p désignant le rayon de courbure,
et le second membre est égal à la somme des forces appliquées, estimées suivant la direction de la force centrifuge. L'égalité de ces deux quantités constitue une propriété remarquable des bracbystocbrones découverte par Euler (*) . Elle nous servira dans la question suivante.
La recherche de la brachystochrone pour un point pesant fut mise au concours par Jean Bernoulli {*), au mois de juin de Tannée 1696; six mois étaient accordés pour résoudre le problème. Leibnitz (') le résolut presque aussitôt, et communiqua sa découverte à Bernoulli. Comme aucune autre solution ne parvint au temps fixé , le délai fut prolongé jusqu'à Pâques^ alors parurent les
(' ) Biechan., t. II, prop. ^i.
(•) Àcta erud., Lips., 1696, p. 269; 1697, P* 207.— Mémoires de VAcad. des Sciences de Paris, 17 18, p. i36. — Opéra, t. II, p. 266.
(') Commercium epistolicum Leib. et Bem, epist, 38. — Àcta erud., Lîps.^ 1697 , p. 2o3.
solutions de Jacques BernouUi O? de l'Hôpital (*) et une solution anonyme de Newton (*).
15. Trouver la b rachy s tochrone pour une force dirigée "vers un centre fixe et proportionnelle à la distance.
Soient
r la distance du mobile au centre d'attraction -, 9 l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente à la courbe 5
p le rayon de courbure \
P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente 5
[L l'attraction à l'unité de distance^
a la valeur initiale de /*.
L'attraction estimée suivant la normale est
|Arsin<j), ou pP; par conséquent,
D'ailleurs, la vitesse initiale étant nulle, on a
en outre, la force étant attractive, la courbe doit tourner sa convexité vers le centre des forces 5 nous avons donc avec le signe convenable la relation géométrique
dr
Substituant ces valeurs dans la première équation, il vient
dV __ rdr
(») Acta erud., Lips., 1697, p, 212.
(»)/fc.,p.2i7.
(») Philos. Transac, 1697, n» 224, p. 389.
346 MÉCAMQUE UÀTIONNELLE.
(Voix
logP = - log (rt' — r^) 4- const.,
C est une constante.
Comme on l'a vu (p. 333), cette équation représente une épicycloïde que Ton peut décrire en faisant rouler un cercle mobile dans l'intérieur d'un cercle fixe décrit du centre des forces comme centre avec un rayon égal à a.
Si la force centrale était répulsive, on arriverait à l'équation
laquelle représente une épicycloïde dont le cercle générateur roule extérieurement sur le cercle fixe.
Au reste , si l'on veut obtenir l'équation de la brachyslochrone dans le système des coordonnées polaires r et 6 , il suffit de remplacer P par sa valeur
d'intégrer et de déterminer les deux constantes par la condition que la courbe passe aux deux points donnés.
EuLER, Mechan,y t. II, p. 191.
Le problème suivant se ramène au mouvement d'un point matériel sur une courbe fixe.
16. Un point maténel est attaché à V extrémité d'un jilsans masse , situé dans un plan horizontal et parfaitement uni. Déterminer le mouvement du point lorsque Vautre extrémité du fil est entraînée sur une courbe donnée, av^ec une vitesse connue, et que le fil reste toujours tendu.
Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord déler-
miner le mouvement du point relativement à rexlrémité du fil 5 ce sera le mouvement d'un point matériel sur un cercle fixe. Ensuite il nous sera facile de passer au mouvement absolu par les formules do la transformation des coordonnées.
D'après le principe du mouvement relatif, nous devons considérer le point comme sollicité par une force accélératrice F, égale et contraire à celle qui serait capable de produire le mouvement réel de l'extrémité considérée comme fixe, si celte extrémité était un point matériel libre.
Premier cas. — U extrémité du fil décrit une ligne droite d^un moui^ement uniforme.
Ici F=05 par suite le point matériel tourne d'un mouvement uniforme autour de l'extrémité du fil.
Soient /la longueur du fil, w sa vitesse angulaire et u la vitesse de l'extrémité qui parcourt une ligne droite.
Si M = /coj le point matériel décrit une cycloïde dans son mouvement absolu 5 le rayon du cercle générateur est /, et ce cercle roule uniformément sur la directrice.
Si a^^^ , le point matériel décrit une cycloïde allongée
dans son mouvement absolu^ c'est-à-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur le prolongement du rayon d'un cercle qui roule sur une droite. Ici la distance du point décrivant au centre du cercle est /, le rayon est r, et le cercle roule d'un mouvement uniforme.
Si u , le point matériel décrit une cycloïde raccourcie dans son mouvement absolu*, c'est-à-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur la longueur du rayon d'un cercle qui roule sur une droite. Les autre» circonstances du mouvement sont les mêmes que dan& l'hypothèse précédente , si ce n'est que r est plus grand que /.
348 mécahique rationnelle.
DEUxikiiE CAS. — L'extrémité du fil décrit une ligne droite {l'un mout^ement uniformément accéléré.
Ici la force F est constante en grandeur et en direction ; par conséquent, le mouvement relatif du point matériel sera de même nature que celui du pendule éimple.
Troisième cas. — U extrémité du fil décrit une circonférence d'un mouvement uniforme.
Soient p le rayon de cette circonférence, a la vitesse angulaire avec laquelle elle est décrite , et Tangle que la direction du fil fait avec le rayon p. Nous regarderons Tangle Q comme positif lorsquHl sera décrit dans le sens de la vitesse a.
Ici la force F est parallèle au rayon de la circonférence décrite par l'extrémité du fil 5 son intensité est a} p\ sa projection sur la tangente à l'arc décrit par le mobile dans son mouvement relatif est — a} p sinâ; Tare décrit à l'époque t est l [oLt -{- Q — 6o)î ^0 désignant la valeur initiale
de 0. Introduisant ces valeurs dans la formule -r— = S,
il vient
,d^ ~di
l —rr = — a* p sin ô.
C'est l'équation qui représente le mouvement du pendule simple quand on suppose que la gravité est égale à a' p. Le mouvement relatif au rayon de la circonférence décrite par l'extrémité du fil sera donc de même nature que celui du pendule.
L'équation admet la solution particulière
6 = const. = 00.
Ainsi, quand la vitesse angulaire initiale du point matériel est égale à celle de l'autre extrémité du fil , ce point décrit un cercle d'un mouvement uniforme dans son mouvement relatif et aussi dans son mouvement absolu. Le
rayon de ce dernier cercle est
sfP^r^—2lr
Toutefois, ceci suppose que la résultante des deux forces centrifuges qui naissent du mouvement relatif et du mouvement absolu tend à éloigner le point matériel de Tautre extrémité du fil. Cette condition serait inutile si le fil était remplacé par une tige rigide et sans poids.
Le premier cas que nous avons examiné fut le sujet d'une controverse entre Fontaine et Clairaut. Fontaine admettait que le fil devait être constamment dirigé suivant la tangente à la trajectoire; Clairaut rejetait cette hypothèse. En réalité, elle suppose que la force d'inertie est dt'iruite à chaque instant; cela aurait lieu si le mouvement du point matériel était produit par une suite de chocs dirigés dans le sens du fil, et que la vitesse acquise fût détruite à chaque instant par le frottement contre le plan. La courbe décrite dans l'hypothèse de Fontaine se nomme Tractoire, Sa recherche est une question de géométrie.
Clairaut^ Mèm, del'ÀcacL des Se» de Paris y 1786, p. i. Eulbh, Nova Jeta Jead. Pctrop.y 17 84.
17. Deux points pesants égaux, assujettis à se moui^oir sur la circonjérence (Vun cercle vertical, partent d*un même point ai^ec des vitesses égales, mais à des instants différents. Démontrer que la ligne qui les joint après un temps quelconque em^eloppe un cercle.
Soit L une droite horizontale située au-dessus du point de départ à la hauteur qui produirait la vitesseinitiale.Les carrés des vitesses des deux mobiles au môme instant sont proportionnels aux distances de ces points à la droite L. Les mêmes vitesses sont proportionnelles aux distances des mobiles au point de contact de la droite qui les joint
35o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
avec son enveloppe ^ car on voit aisément que, lorsque deux cordes d'un même cercle font entre elles un angle infiniment petit, le rapport des segments déterminés sur Tune d'elles par leur point d'intersection est égal au rapport des petits arcs compris entre les deux cordes. Ainsi, les distances des deux mobiles à la droite L sont à chaque instant proportionnelles aux carrés des distances entre les mêmes mobiles et le point où la droite qui les joint touche son enveloppe.
De là il résulte que la courbe enveloppe est un cercle, lequel a la droite L pour axe radical (*) conjointement avec le cercle donné.
En effet, soient m, m! deux positions simultanées des mobiles; A le cercle donné 5 A' un cercle tangent à la droite mm\ et tel, que l'axe radical des cercles A, A' soit la droite L: d la distance des centres des deux cercles ; I le point de contact entre la droite mm' et le cercle A'; mh^ m! h' des perpendiculaires abaissées de m, m' sur la droite L5 » le second point où la droite m A coupe le cercle A*^ p^ ç les points où la même droite coupe le cercle A'.
On a, d'après les propriétés de l'axe radical ,
mi z=z mp - mq =^ [hp — /tm )\hq — hm )
=: hm \hm — hp — hq -^ hn) =z 7.B . hm^
( ' ) L*axe radical de deux cercles est la droite qui passe par leurs deux points d'intersection; cette droite est réelle, lors même que les intersections sont imaginaires. Si les deux cercles sont représentés parles équations
l'axe radical sera défini par l'équation
2aJe = û'-H a* ~ &'.
Cette droite jouit d'un grand nombre de propriétés , parmi lesquelles nous citerons la suivante : les tangentes menées d'un même point de Taxe aux deux cercles sont égales, et, par conséquent, les produits des segments déterminés sur deux sécantes sont égaux.
et de même
m h mi
Or nous avons déjà prouvé que, si Ton désigne par i' le point de contact de la droite mm' avec son enveloppe, on a la relation
m h mi
donc les points i, i' se confondent^ c'est-à-dire que la droite mm' est encore tangente au cercle A' dans une seconde position infiniment voisine de la première. Il s'ensuit qu'elle est tangente au même cercle dans toutes ses positions successives.
Si le mouvement est oscillatoire, le cercle enveloppe coupe le cercle donné. Si le mouvement embrasse une révolution entière, le cercle enveloppe est intérieur ou extérieur au cercle donné , suivant que le mouvement des deux points est de même sens ou de sens contraire; dans ce dernier cas , nous supposons que les deux mobiles ne se heurtent point.
Partageons le temps d'une révolution complète en intervalles égaux, et lançons un point à chacun de ces intervalles. Les cordes qui joignent au même instant chacun de nos mobiles avec les mobiles adjacents enveloppent toutes un même cercle. De là résulte ce théorème de géométrie : Si Von peut construire un polygone de n côtés inscrit dans un cercle donné et circonscrit à un second cercle donnée la construction peut s'effectuer quel que soit le point du cercle extérieur que Von prenne pour premier sommet.
La propriété du mouvement circulaire qui nous occupe ici, est l'interprétation mécanique d'une propriété des fonctions elliptiques signalée par M. Jacobi, dans le Journal de M. Liou ville, t. XI, 1846, p. 101. Cette même propriété est démontrée géométriquement dans la Géométrie supérieure de M. Chasles, p. 585.
The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1854, febr., p. 7.
18. Deux points matériels égaux y qui s'attirent en raison im^erse du carré de la distance, sont obligés de se mou\foir sur deux droites rectangulaires. Trouver le temps nécessaire à chacun des mobiles pour arriver à l'intersection des deux droites, en supposant qu'ils partent du repos.
Le temps cherché est le même pour les deux mobiles ^ si Ton nomme a la distance mutuelle des mobiles à Tinstant où le mouvement commence , et fx l'attraction à l'unité de distance, sa valeur est
TT /a
Au reste, quelle que soit la loi d'attraction, pourvu €[u'elle ne dépende que de la distance, les deux mobiles arriveront en même temps à l'intersection des deux droites.
49. Deux points pesants égaux et de même élasticité e sont placés sur un cercle ^vertical de part et d^ autre du diamètre vertical, à 60 degrés de distance de son extré&iité inférieure^ au même instant on les abandonne à leur poids pour les laisser se mouvoir sur la courbe jusqu'à ce qiiils aient épuisé toute leur vitesse par V effet de leurs chocs successifs. Déterminer la somme des cord^ss de tous les différents arcs que chacun des mobiles va parcourir.
DYNÀMfQUE. 353
Cette somme est
a désignant le rayon du cercle.
20. Une petite bille parfaitement élastique y abandonnée sans vitesse initiale sur un plan incliné, parcourt une longueur donnée, puis rebondit sur un plan horizontal qui fait suite au premier plan, Troui^er quelle doit être V inclinaison du plan pour que la portée du bond soit un maximum.
L'inclinaison du plan sur Thorizon doit être
21 . Un point pesant glisse sur une droite inclinée* On demande quelle doit être l'inclinaison de la droite pour que le chemin horizontal parcouru dans un temps donné soit un maximum.
L'inclinaison doit être de 45 degrés.
22. Sur un plan horizontal et parfaitement uni, un fil très-délié est attaché par Vun de ses bouts au contour d'un cercle fixe situé dans le même plan, et porte à Vautre bout un point matériel. Le fil étant tendu suivant une tangente au cercle, on imprime au point matériel une vitesse donnée perpendiculaire à la direction du fil^ de sorte que celui-ci s^ enroule sur la circonfé^ rence du cercle. Déterminer la vitesse du point à un instant quelconque et le temps quil emploiera pour atteindre la circonférence.
Soient [3 la vitesse imprimée, b la longueur du fil, a le rayon du cercle, i> et T la vitesse et le temps cherchés. On trouve
354 MÉCAfilQUE RATIONNELLE.
23. Un fil très-délié est attaché par Vune de ses extrémités au contour d'un cercle fixe situé dans un plan vertical, et porte un point pesant à son autre extrémité. Le fil étant tendu suivant une tangente au cercle^ on imprime au point une vitesse donnée perpendiculaire à la direction du fil, en sorte que celui-ci s'enroule sur la circonférence du cercle. Déterminer la vitesse du point en un lieu donné, et la condition nécessaire pour que le
fil entier s^ enroule sur la circonférence.
Admettons , pour nous fixer, que le fil soit primitivement dirigé suivant la tangente au sommet du cercle. Nommons l'angle décrit par le fil*, et conservons pour le reste la notation du problème précédent.
On obtient l'équation
t^'= p'-h '^■g[[h — fl0)sin0-t-« (i — cosô)]. Elle représentera le mouvement, tant que v'^-\- g[h — «Ô)sin0
restera positif.
Enroulons le fil en le maintenant tendu , jusqu*à ce que Pangle décrit 6 étant arrivé au troisième quadrant, la quantité a tangd soit égale à trois fois la longueur du fil qui n'est point enroulé. Alors arrêtons-nous, mesurons la hauteur h du point matériel au-dessus de la tangente au sommet du cercle , ainsi que la hauteur H du même point au-dessus de l'horizontale qui passe par l'extrémité inférieure du fil tendu en ligne droite. Pour que le fil entier s'enroule sur la circonférence, il faut que la vitesse initiale soit égale ou supérieure à slg[H-\- ih). Cela revient à dire qu'il suffit que la vitesse initiale soit capable de faire franchir la position dans laquelle nous avons amené le point.
24. Un point matériel attiré vers un centre fixe proportionnellement à sa distance, est lancé d'un point
donné, auec une vitesse connue, le long d'une courbe sur laquelle il doit se mouv^oir, et qui est de telle nature^ que la vitesse angulaire du rayon vecteur reste constante. Trousser V équation de la courbe.
Prenons le centre d^at traction pour origine des coordonnées polaires r et d, et nommons a la valeur initiale de r correspondante à = o , |3 la vitesse initiale , ^t} l'altraction à Tunitc de distance et ci) la vitesse angulaire.
Il vient
î — ) = arc cos ( ~- j- \ r
— arc cos 1 -^- — j ^ h
ËULER, Mechan.y l. Il, p. i38.
25. Troui^er les courbes tautochrones pour un point matériel qui est attiré vers un centre fixe en raison ins^erse du carré de la distance.
Si l'on conserve les notations du problème H , il vient
E.ULER, Mcchan.y t. II, p. 309.
26. On donne une série de cercles tangents en un même point A et dont les centres sont situés dans la même direction AO5 on place un point matériel au point A, et on V abandon ne sans vitesse initiale à V attraction du centre fixe O. Quelle doit être la loi de V attraction, fonction de la distance, pour quùun cercle étant choisi à volonté^ le mobile emploie le même temps à parcourir chacune des cordes sur lesquelles on V assujettirait successiv^ement à se mouuoirP
On trouve que l'attraction doit être proportionnelle à
' 356 MÉCAKIQUE RATIONNELLE.
la distance; toutefois le centre du cercle ne doit pas être situé au delà du centre d'attraction, sinon le mobile ne pourrait pas parcourir toute la corde.
On peut supposer le centre d'attraction situé à Tinlini ; alors la force est constante en grandeur et en direction , et Ton retrouve ce théorème de Galilée : Pour un point pesant assujetti à se mouv^oir successivement sur plusieurs droites issues d*un même point et situées dans un même plan vertical, la courbe synchrone est un cercle dont le sommet est à V origine des droites,
RiSPAL, Journal de M. Lieu ville, 1847, *•• XII, p. 225.
27. On a une série de cycloïdes issues d'un même point et qui ont une même base horizontale ; un point pesant est placé sans vitesse initiale à l'origine contmune et assujetti successii^ement à décrire les différentes courbes. Déterminer la courbe synchrone, et prouver quelle coupe à angle droit toutes les cycloïdes.
Prenons l'origine des courbes pour origine des coordonnées, et la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des x\ nommons r le temps de la descente et a le rayon du cercle générateur de l'une quelconque des cycloïdes. L'équation de la courbe synchrone résultera de l'élimination de a entre les deux équations
arc ces 9 / = /i arc ces \iax — jc-.
On peut la construire par points d'une manière assez simple.
Jean Bernoulli, Acta erud,, Lips., 1697, p. 206.
28. Trouver la hrachystochrone pour un point ma^ tériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
DYNAMIQUE. 3Sj
Conscrvanl la nolationdu problème 15, on trouve
EiJLKR, Mechan.^ t. II, p. ic^i.
29. Un point pesant est abandonné sans vitesse initiale sur Vextrémité d^une cjcloïde dont la base est horizontale. Montrer que, si ton considère le point mobile comme lié au cercle générateur de la cycloïde, ce cercle roulera sur la base ay^ec une vitesse angulaire constante
cl égale à 1/-' a désignant le rayon, SECTION II.
PRESSION EXERCÉE SUR XJKR COURBE PLANE PAR UW POINT MATÉRIEL EN MOUVEMENT.
. Un poinl matériel est assujetti à rester sur une courbe (jxe et plane. Soient
R la réaction de la courbe sur le point;
X 5 Y les composantes des forces motrices suivant les axes;
N la composante normale des forces motrices estimée cï\ sens contraire de la réaction ;
p le rayon de courbure.
l^a masse étant égale à Tunité, on a
as as p at^ p
On prend le signe supérieur quand le point se meut sur le côté concave de la courbe, et le signe inférieur quand il se meut sur le côté convexe.
Celte formule fut donnée en premier lieu par l'Hô-
pital (*), à Foccasion du problème de la courbe d'égale pression .
1 . Un point matériel, assujetti à rester sur le côté concai^e d'une hyperbole, se meut sous l'action des deux foyers gui l'attirent en raison inverse du carré de la distance. Déterminer la réaction exercée parla courbe.
Soient
fx, /x' les attractions des foyers à l'unité de dislance;
r, r' les deux rayons vecteurs ;
To, r'o leurs valeurs initiales^
a^ blés deux demi-axes ;
(f l'angle que le rayon r fait avec la tangente à la courbe 5
.f^o la vitesse initiale.
Nous supposons que le mobile parcourt la branche voisine du foyer auquel se rapportent les lettres dépourvues d'accent, et s'approche du sommet.
Nous avons
en outre, la géométrie nous donne
(*) Mémoires de VAcad. des Sciences de Paris, 1700, p. 9.
(") Cette relation consiste en ce que la corde du cercle de courbure qui
2 rr^ coïncide arec le rayon r est égale à » On peut la démontrer aisément;
soit par Tanalyse, soit de la manière suivante.
Nommons 0^ 0' les angles que deux rayons yecteurs r, r' menés au même point m font avec la direction du centre; et 1 Tangle de la novmalc
tïYNAMIQtlE. i^Sc)
par coiiséquenl ,
p' r -f- 2/ï li. r' — 2 rt 2 II' 2 p ,
ou , d'après la relation r' -h f"= 2a:= r'^ -I- /'o .
Si la vilessu initiale est nulle, et qu^\ Toriginc du mouveinent les deux attractions soient égales,
alors la réaction est nulle, eV*st-à-dire que le mobile, sMI était libre, décrirait encore l'hyperbole.
iiu point m Bvoc une norinalo influimuni vuisino. Nous avons
no ]ihiH, quand lus doux ciHés d\in an^lo tournoiit un Huns contrairoH do (luantités représenlôos par dB ol dO\ la bissectrice do cet angle tournu dt*
Ih quantitû - - - -f quollo que soit d'ailleurs la Irnnslation du sommet;
donc
dB - rf»'
On llio (II' «l'h (MjutttionH,
Hin o ds / \ I \
•X in' Il
/9tiin f -^
I.a même l'urmulc subsibto pourrollipHO; pour la parabole oUo deviont ^sinf» =- xr.
36o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
On voit que dans tous les cas la réaction est inversement proportionnelle au rayon de courbure. Cette circonstance se présentera toutes les fois que, sans rien changer aux forces inotrices, on pourra disposer des circonstances initiales , de manière que le mobile décrive librement la courbe donnée.
En effet , dans la valeur
as lis p
les données initiales n'influent que sur un terme constant qui fait partie de i^' 5 d'où il résulte que , si Ton a R = o pour de certaines données initiales, pour d'autres données on aura
const.
2. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle, qiHun point pesant assujetti à descendre le long de cette courbe exerce à chaque instant une même pression .
On donne la pression R, la vitesse initiale i'o et l'angle a que fait la verticale avec la tangente à la courbe au point de départ.
Soient pris Torigine au point de départ et l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur.
On a
R = g- —- 4- - 9 ds p
et, si l'on prend l'arc s pour variable indépendante,
I d^jr dx
p ds^ ' ds
t)YMÀMIQll£. 36l
Eliminant (^ et /9 , il nous vient Téquation
R (Ix /— .. ^/'r AT ^/r ^/j?
qui a pour intégrale
La constante se dtUcrmine par la coiidilioii, qu'a Toriginc -~ soit égal à sina ^ ainsi
^'•^ '" g"^} 's/2 gJL -f.«'f
Introduisant la coordonn<^e a: au lieu de l'are 5 , et posant
- = A, -{H -^ g\ on arrive h ré([uatioii
-=A, - (R — /f ftina) =: B, et 2^x -f- «'l = s',
^{i'''A")z' h- 2 AB« — B'
qui peut sHntégrcr en quantilc'is finies, mais dont l'intégrale est trop compliquée pour avoir quelque intérêt.
Le ])roblème de la courbe d^égalc pression pour un mobile sollicité par la seule force de la pesanteur, fut proposé par Jean Bernoulli (*), et résolu i)ar THApiial (').
Comment KpistoUc. l^ibnitii et Bernoulli, epist. vii.
3. Sur une courbe située dans un plan vertical, on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et Von demande de déterminer la courbe de manière que la
(*) Acta erud,, Huppl., t. II, tect. vi, p. JiQi.
(') Mém, de l'Acad. dei Sciences de PariSy 1700, p. y.
pression soit proportionnelle à la n'*""* puissance de la distance à Vhorizonlale d^oii le mobile aurait dû descendre pour acquérir au point de départ la vitesse quort. lui a donnée.
Prenons pour axe des / Thorizonlale dont il s'agit , pour axe des x la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, et nommons Kjc" la pression à la distance x.
Nous avons
fis p
d*où
dy *» V dy^i dy
/ dx''\' {tlxd'x L'intégrale est , sans constante ,
2^3 1 / dx'\ '
►71 -h I ^ \ dj'J
OU
, si l'on pose ^ = a^
(A) ±[(2A2 -f- iya^'-x'"'Ydy = x^dx,
Ainsi on arrive à une différentielle binôme qui, comme Ton sait, peut s'intégrer sous forme finie toutes les fois
que — est un entier, ou un entier augmente de —
Si l'on avait ajouté une constante dans T intégration , l'équation finie de la courbe n'aurait pu s'obtenir que dans un très-petit nombre de cas, outre ceux que nous avons indiqués.
Examinons quelques cas particuliers.
71 = 1. — On trouve un cercle qui a son centre sur l'axe des y et dont le rayon est égal à 3 a.
n = — 1 . — On trouve une chaînette
n = — — On trouve une cycldide dont la base est
Taxe des y et qui a le rayon de son cercle générateur égal à 2 a*.
w = 2. — La formule (A) devient l'équation de la courbe élastique de Jacques Bernoulli (*), ainsi nommée parce qu'elle représente la figure d'un ressort en équilibre sous l'action de certaines forces.
Dans ce cas l'intégrale dépend des fonctions elliptiques.
Varigkon, Mém. de VAcad. des Se, de Paris, 1 7 lo, p. iSg.
4. Un point matériel assujetti à rester sur une courbe donnée se meut sous l'action d'une Jb^e de direction constante. Trouver quelle doit être la loi de cette force, pour que la pression exercée sur la courbe soit la même en chaque point.
Prenons Torigine sur la courbe au point où le mouvement commence, et l'axe des x parallèle à la force dont on cherche l'expression. Soient X cette force, p'o la vitesse à l'origine et K la pression constante.
(') Acta crud, Lips., ^^94; P* '/'^î ^696, p. 538.
Nous avons
as p
Éliminant p et ^'j il vient
dr et si nous intégrons après avoir multiplié par 4-(ls,
'^Jd;dj''=r'd?-^dr'l ^''"-
Soit p la dérivée ^ tirée de Féquatiou de la courbe . L'équation précédente peut s'écrire
SOUS cette forme, sa différentielle relative à x nous donne Texpression de la force cherchée ,
/«x ^ ^ I -, '^^dp ( r pdx \
/? ^ '^ ' P' dx\J ^^^p2 J
La constante se détermine en posant je = o dans Téquation (A) -, elle est donnée par Féquation
lorsqu'on y fait a: = o.
Supposons que la courbe donnée soit la parabole
x"" = ay\
il suffit (le poser /; = — dans les équations (B) et (C), et Ton obtient
-f5[-(-"i)(-4sn-
Si la courbe donnée était la cycloïde
y ^=: a arc ces sjiax — u:%
on trouverait de la même manière
Dans ces deux cas particuliers la force est indépendante de la vitesse initiale.
ËuLER, Mechan., t. II, p. loi et suiv.
5. En un lieu donné sur le côté cons^exe d*unc ellipse dont le grand axe est vertical, on pose un point pesant^ puis on l'abandonne à son poids. Déterminer le point oii le mobile abandonnera la courbe.
Prenons l'origine à Textrémité supérieure du grand axe et Taxe des x dirigé dans le sens de la pesanteur. Soient 20 le grand axe, ai le petit axe et x^ l'ordonnée initiale.
L'ordonnée correspondante au point cherché est déterminée par l'équation
/ b'\ Ix' ^x'\ b'x h' , X,
Si l'ellipse se réduit à un cercle de rayon a , l'équation devient
FowTANA, Memorie délia Societh Italiana, 1782, p. 175.
366 MÉCAIVIQUE RATIOMI^ELLE.
6. On suppose un cercle vertical et un point pesant situé dans son intérieur^ du sommet on lance le point le long de la courbe av^ec une vitesse donnée y et Von demande la pression quil exerce sur la courbe.
Soient a le rayon , P'o la vitesse initiale et l'angle au centre décrit par le mobile.
On trouve
R=: --hg'(2-.3cOS0).
Si la vitesse initiale est telle, qu'au premier instant la pression soit mille, alors v\ = ag^
R = 3g'(i — cosO),
et lorsque ô =. tt ,
c'est-à-dire que le mobile arrivant au bas du cercle exerce une pression six fois égale à son poids.
EuLER, Mechan., t. II, p. 65, corol. vu.
7. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse conv^exe, se meut sous V action de trois forces : la première est dirigée vers le centre et proportionnelle à la distance y les deux autres sont dirigées vers les foyers et inversement proportionnelles au carré de la distance» Déterminer la réaction de la courbe sur te point.
Soient p, [i!^ ^" les attractions des foyers et du centre à Tunité de distance, a le demi -grand axe, Vo la vitesse initiale et Tq , r'o les distances initiales aux foyers.
Ou trouve
Rp={i^^^*-f-p.Vor'.~V;,
Or, si Ton nomme i^o? ^'o^ ^"^ les vitesses initiales qu'il faudrait imprimer au mobile supposé libre pour qu'il décrive l'ellipse sous rinfluence de chacune des trois
DYWAMIQUF. 367
forces prise isolémeul, on a
par conséquent , le mobile décrira librement la courbe sous Tinfluence des trois forces réunies, quand on aura
Cela résulte de la remarque faite au problème 1 [voir p. 298, prob. 18).
Notre formule première et la remarque citée nous donnent immédiatement un théorème général qui trouve ici son application.
Si plusieurs masses m, m\ m", ttc,^ respeciis^ement soutm'ses à faction des forces F, F', F'', etc, et partant (Van même point A a\^oc des vitesses l'o, j^'o? ^'''o? etc^ de grandeur différente mais de même direction, décriv^ent la même courbe ACB*, la masse quelconque M, soumise à Inaction de la résultante des forces F, F', F'', etc., et partant du point A a^ec une vitesse Vq ayant la même direction que les vitesses t'o? «^'o ^'^'o? ^tc, décrira encore la courbe ACB, pourvu que les forces F, F', F'', etc., soient indépendantes du temps, et que la force viye ini^ tiale MV \ de la masse M soit égale à la somme
des forces vivres initiales des masses m, m\ m'\ etc. (*). En eflet , considérant chacune des masses m, m', m'', . . . , M comme assujettie à se mouvoir sur la courbe ACB, nous aurons, pour chacune des premières masses, une équation de la forme
- Y ^— X,— •+■ — fis ds p
(' ) Oksun Bonnrt, Journal de M. Liouville, i8/|/| , t. IX, p. ii3.
368 MÉCAMQLE E4T10X BELLE.
Ajoutant tontes ces équations, la somme des seconds membres représentera la réaction de la courbe sur la masse M; or cette somme est nulle : par suite, la masse M décrit librement la courbe.
8. On a une ellipse dont le grand axe est vertical et un point pesant situé dans V intérieur à V extrémité du petit axe; on se propose de lancer le point verticalement de bas en haut, de manière qu après avoir quitté la courbe y il passe au centre. Déterminer la vitesse de projection.
Si Ton nomme ia\e grand axe, ib \e petit axe et i^o la vitesse cherchée, on trouve
9. Sur une courbe située dans un plan vertical on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et Von demande de déterminer successivement cette courbe :
1°. De manière que la pression due à la seule force de la pesanteur soit proportionnelle à la n''"" puissance de la distance actuelle du mobile à V horizontale d^oà il aurait dû descendre pour acquérir au point de départ la vitesse qu'on lui a donnée;
2^. De manière que la pression due à la force centrifuge soit proportionnelle à la »*''"* puissance de la même distance;
3®. De manière que la pression due à la force centrifuge soit dans un rapport donné n avec la pression due à la pesanteur.
Prenons l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur, et l'axe des y dirigé suivant l'horizontale dont on a parlé.
liYMAMlQt]?.. 369
1^. Soit Kx" la pression due à la pesanteur, pour une distance x de Taxe des y. Posons
Il vient
r//(<i« — ar"«)"=«»</ar.
a^. Soit Kx^ la pression qui est due à la force centrifuge Qt s^exerce à la distance x. Posons encore
Il vient
dy (4 a'/i' — «'" V = ^ ^^*
3^. Soit a une constante arbitraire.
Il vient
Ces formules sont presque en tout semblables à la formule (A) du problème 3; en sorte que ce dernier problème et les trois questions qui nous occupent conduisent aux mêmes courbes, sauf de légers changements.
Vauxonon, Mém, deVAcad, des Se, de Paris^ 1710,
p. i56 et suivantes.
SECTION III
MOUVEMENT d'iJN POINT MATÉRIEL SUR UNE COURBE PLANE DANS UN MILIEU RÉSISTANT.
i . Proposons-nous d'étudier le mouvement d'un point pesant sur une cjcloïde dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse. Nous supposons
Vaxc de la cjcîoïde vertical et la conca%fitc tournée en haut.
Prenons l'origine au sommet de la courbe qui est le point le plus bas, et Taxe des x dirigé en sens contraire de la pesanteur.
Nommons
a le rayon du cercle générateur ;
s Tare de la cycloïde compté à partir du sommet ;
A: la résistance du milieu pour Tunité de vitesse ^
c la valeur initiale de 5; ;
et admettons que la vitesse initiale soit nulle.
Nous avons
dv dx ,
dt ^ ds
D'après les propriétés géométriques de la cycloïde,
2 Q dx s
ds 4/1
d'ailleurs, si l'on suppose que l'arc décroît quand la vitesse est positive,
ds
il en résulte que l'équation première peut s'écrire
^ ' dt^ dt ^a
On l'intègre par le procédé bien connu qui s'applique aux équations linéaires à coefficients constants. Substituant s= Ce'*% il vient
/-'+ Ar-h-^=r o, /• =
DYIiÀMIQTJE. 3^1
par conséquent l'intégrale est
(i) s = e ^ \Ce > +Ge '^ /.
Ici il convient de distinguer deux cas, suivant que le radical est réel ou imaginaire.
Supposons d'abord le radical imaginaire , ou fc <[ l/- î
c'est le cas le plus conforme à ce qui se passe ordinairement dans la nature.
Si Ton pose
7> la formule (i) prendra la forme
( Acos— 4- Bsin— j >
dans laquelle A et B sont des constantes que nous déterminons par la condition que , pour f = o , on ait
ds s = c et -p = o.
dt
Il vient
c = A et AH-~Br=o;
d'où
(2) s=:ce .^cos^^-^sm^j.
Le temps T que le mobile emploie pour arriver au sommet, se tire de l'équation
7TX.7T »7T 7
.f = o, cos^ h-sm-^— = 0, tang---=— t;*
372 HÉCANIQDE RATIOnilELLE.
Cette valeur de T.est indépendante de la position ^nîtiale, et la même particularité se présente dans le second cas que nous examinerons plus loin ; par conséquent, la cycloïde est tautochrone dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse (*).
Admettons pour un instant que la résistance k soit
très-petite. Alors — sera très -peu supérieur à -; en /
sorte que, si l'on pose
et, par suite,
7T /tt \ î 7
^2 " \2 / tangtf A
on aura sensiblement, en remplaçant dans la valeur de T u par tang u , et négligeant les puissances de - supérieures k la première ,
^=rF="(f-")'**''(f-'f
Ce temps est à peu près celui de la demi-oscillation descendante qu'un pendule cycloïdal exécute dans l'air lorsqu'on récarte légèrement de la verticale^ il est un peu
(') Cette propriété de la cycloîde était connue de Newton; Principia, lib. Il, prop. 36.
DYNAMIQUE. iyi
plus considérable que lorsque le pendule oscille dans le vide.
La formule ( a ) nous donne
ds c 2
ainsi la vitesse est nulle, et le mobile cesse de monter pour commencer à descendre aux époques
11 suit de là que la durée d^une oscillation entière est égale à — • Si la résistance A: est peu considérable, cette durée est sensiblement la même que dans le vide ^ car
2Tr 27r
r='[\/1*^-(îf--]
= à peu près 2 w i/ —
Substituant dans la formule (2) les valeurs de t pour lesquelles i> s'annule , on obtient les amplitudes des demioscillations successives ,
