CX
Éliminons dt entre cette dernière équation et la première, n vient
et, en posant ^ = a,
dx y
j = a arc ces •
-f- V^ax — x*.
C^est l'équation d'une cjrcloïde dont le cercle générateur a pour rayon a, et roule sur la droite x = aa.
Cette propriété de la cycloîde résulte d'un travail d^Eoler, qui fait partie des Mémoires de l'académie de Saint''Pétersbourg, t. X, p. 7. On trouvera des détails historiques sur cette question dans les Bulletins de VAcor demie des Sciences de Bruxelles, t. IX.
7. Un- point pesant est lancé auec une vitesse conpj„ /g nue, dans une direction
à. o ■ horizontale AO. Quelle
^\^^^^L^^^,,..^^^"^'^ est la courbe sur laquelle 0^^* le point doit se mouvoir
pour que sa distance au point fixe O décroisse d'une manière uniforme ?
Soient r la disunce du mobile au point 0, Faogle que I. 2« ÉDiT. a4
Zyù XÉCàHIQVB BinoraBLLB.
ce rayon yecleor fait avec la direction OA et |3 la viteiit
initiale.
On a, d'après rëqaation (B) placée au conunencement de ce chapitre,
A l'origioe^ du mouvement. e = o,S = o.^ = P;
d'ailleurs ^ est constant par hypothèse. Par conséipieiit l'équation du mouvement se réduit à la forme simple dr p dB
On en tire, en nommant a la valeur initiale de r.
Telle est l'équation de la courbe. Il faut nécessairement employer les quadratures pour la construire; car Tinté» grale qui figure dans l'équation ne peut s'obtenir sous forme finie, elle dépend des fonctions elliptiques. La forme de la courbe est celle de ^^fig* 49» p« ^69; elle comprend la droite AO. .Sur la première moitié de la courbe le mobile s'approche uniformément du point O^ sur la seconde moitié, il s'éloigne uniformément.
Leibnitz proposa ce problème aux géomètres de son époque, et nomma la courbe paracentrique isochrone. La question parut difYicile, car la première solution se fit attendre pendant cinq années; elle est de Jacques Bernonlli et parut dans les Acta erudàorum. Laps. , 1694* On
DTKAMIQUB. 371
trouvera une généralisation de cette question et plusieurs autres problèmes du même genre dans un travail de Yarignon qui fait partie des Mémoires de V Académie dés Sciences de Paris, 1699, p. i.
8. Trouver une courbe telle, qu'un point pesant P posé sur cette courbe en un point donné O parcoure rare OP dans le même temps qu* il mettrait à parcourir la corde.
Soient r la distance du mobile au point de départ, l'angle que ce rayon vecteur fait avec la verticale et s l'arc parcouru.
On a
-=^ ^ =:3^rcosO;
par conséquent, le temps employé à parcourir l'arc s est
D'ailleurs le temps qui serait employé à parcourir la corde est égal à
^cosO
Écrivons que ces deux temps sont dans un rapport donné. a, le problème sera plus général ; puis difTérentions Téquation résultante par rapport à 6. H vient
dr* dr
(a' — i}gos*0 — -f-aa>sioOcosOr^ + (a*sio'0— cos'0}H=ro.
Cette équation est bomogène en '* et — ; on pourra donc,
Zy^ ' MÉCAHIQUB RATIOHHELLB.
l'intégrer. Pour cela, il safGt de diviser par r* et de poser
alors on aura une équation du second degré en z cpie Ton résoudra.
Soient
les deux racines.
Puisque
Fintégrale générale de l'équation proposée sera
C et C^ étant deux constantes arbitraires.
Supposons maintenant que a soit égal k Tunité. L'éqnation différentielle devient
l iir COS7
r dO sinaO
et si Ton intègre, on trouve Téquation
logr = ~logsin20 -+■ - logr, r' = c*sin20,
dans laquelle c est une constante arbitraire.
On voit que la courbe est une lemniscate de Jacques Bernoulli, qui a son centre au point de départ, et dont Taxe fait un angle de /fi degrés avec l'horizon.
Nous devons cette propriété de la lemniscate à Saladini (Memorie deW Instituto Nazionale Ilaliano, 1. 1, p. a).
La généralisation que nous avons indiquée est de M. Serret [Journal de M. Idouville, t. IX, p. 28; i844)*
DTVAXIQPB. 373
9. XJn ppint matériel, assujetti à rester sur. une courbe, part du repos, et se meut en vertu d'une force dirigée 'Vers un centre fixe et proportionnelle à la distance. Quelle doit être la courbe pour que le temps employé à décrire tare soit égal au temps que le même mobile e/n* ploierait à décrire la corde?
Soient :
s Tare parcouru à partir du point de départ O; a la distance du point O au centre d'attraction; p la distance du même point au mobile \ 6 Tangle des deux droites a et p ; r la distance du mobile au centre d*attraction.
On a
ils* r , ,
— = -— a I rdr -+- const. = {a* — H),
et puisque
r*=:p'-*-a' — aapoosOi
— =: ^2apcos9 — p*.
Considérons d'abord le mouvement sur la corde. Il nous faut poser £& = £2py et considérer comme une constante. n yient
dp . p — acosO ' ir ^ = arc sm ^ h -•
, . — arc sm • 1-
o ^2apcose — p' «cose a
Si maintenant nous considérons le mouvement sur la courbe, nous avons
dsz=:yjd^^^-fd¥*.
/^d£TYd^ ^2apcosO — p*
Égalons ces deux valeurs du temps, et différentions Té-
Zj4 XÉCAHIQXJB RàTIOMinSLLE.
quation rësahante par rapport aux denx Tariables p et 0. Il vient
t—t = Vrfp. + p.d».;
d*où Ton tire, en élevant au carré,
A tangO i/p = p (i — tang'O) </0|
-i =:COt26£/0,
p>=tf*sina9.
La courbe est une lemniscate, comme dans le problème
précédent.
OasiAH BoHVBT, Journal de M. lÀompiUe^ t. IX^p. ii6; iS44*
10. Trou\^er Véquation différentielle des courbes tautochrones pour un point sollicité par des forces qui agis^ sent dans un même plan.
On nomme tautochrone une courbe telle , qu'un point matérielt qui part du repos et se meut sur cette courbe sous Taction de forces données, emploie le même tenaps pour atteindre un point déterminé, quel que soit le point de départ.
Soient :
A le point où se termine le mouvement;
B le point de départ;
s Tare qui sépare le mobile du point d'arrivée A, compté à partir de ce dernier point;
a la valeur initiale de Tare s ou Tare AB;
S la force motrice estimée suivant la tangente k la courbe dans le sens du mouvement et exprimée en fonction de l'arc»
vnrAWQvc. 37S
Noos avons
en sorte que la durée du mouTement est
Cette quantité doit être indépendante de a; en d'autres termes, l'intégrale indéfinie
ds
hi
doit devenir indépendante de a lorsque l'on y pose j=a. Or, pour cela, il est nécessaire que /(a, a) soit homogène et de d^ré o par rapport à ot \ nous pouvons donc poser
d'où
^Tf=^■(=)•
Si Ton élève an carré et que Ton différeatie par rapport i j, il vient
^Sds = d. *
Cette équation doit convenir à la courbe tautochrone ; or l'équation de la courbe ne saurait dépendre de «, par
376 UiCÂBiqVE AATIOHZTBLLB.
conséquent -= — est indépendant de a, ce qui exige
que Ton ait
d'où
k désignant une constante indépendante de a.
Il suit de là
0U9 si Ton exprime S en fonction de l'abscisse x.
dS dx
Telle est Féquation diflérentielle des courbes tautochrones.
Huyghens, le premier, s'est occupé des courbes tautocbrones \ il démontra que la cycloïde est tautocbrone pour un mobile soumis i la seule force de la pesanteur (^orolog. Oscill., P. n, prop. 25). Le problème inverse, qui consiste à déterminer directement les courbes tautocbrones, fut attaqué d^abord par Newton dans le livre des Principes, lib. I, prop. 53. Plus tard, Euler s*en est occupé dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg, .1729, et dans sa Mécanique^ t. Il, p. 211.
dthaihqob. 377
H. Trow^er les courbes tautochrones pour une force Fig. 5o. dirigée vers un centre fixe et pro^
portionnelle à la distance.
Soient :
fA ratlraction à Funité de distance ; r le rayon vecteur ; f Tangle que la tangente à la courbe fait avec le rayon vecteur;
P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente.
On a
S=i=fircoS7;
en sorte que Féquation de la courbe est, d'après le problème précédent,
fA^(rcoSf) ir'
ou, si Ton observe que cosf d> = dr^
urcosy </ (rcosf ) = 7— r^r.
On en tire
fir»cos"y = -r-; r» H- tonst.,
fft (r> — P") =: 7— r» -h const.
Nommons c la valeur de P qui correspond à (f = -• La constante aura pour valeur — -73 9 et nous 'aurons*
Telle est l'équation de la courbe.
3^8 XÉCÂHIQtJB BÂTIOmiBLLB.
Examinons ies différent» cas qui peuvent se présemler.
