Deux painU pesants réunis par une tige rigide et

sans poids peuvent se mou* uoir sur deux droites fixes situées dans un même plan vertical. Déterminer la durée des petites oscillations que le système exécute lors-quon "vient à Vécarter légèrement de sa position d^équilibre.

Soient :

P et P' les àem points mobiles;

c leur distance mutuelle;

m et m' leurs masses respectives ;

X et x' leurs distances au point de concours Â des droites 6xes;

a et a' les valeurs de ces distances qui correspondent à la position d*^quilibre;

cp et 9' les angles que la droite PP' fait avec les deux droites fixes ;

I l'inclinaison mutuelle de ces deux droites;

a et a' les angles qu'elles font avec la verticale;

T l'action mutuelle des deux points qui est transmise par la tige PP'.

Les équations du mouvement sont les suivantes :

m -— - = mg cos « — T cosy, dt

m' -j^ =z m' g cosa' — T cosf»';

d'où l'on tire, par Télimination de T,

m cosf — — m' eosf — - = mg cosa cosf ' — w'^cosa'aw».

dthaxiqob. 36i

Ponr exprimer f et ff' en fonction de x et x'j la Géométrie nous doime lea deux relations

e cosf = j/cosi — X,

CCOS/=«0O8l — j/,

qui nous permettent d'écrire l'équation précédente sous la forme

= — ffg cosa (x' — X cosi ) -h Jïi'^ cosa' [x — j/ ces/).

Remplaçons dans cette formule x, x' par a + ^9 a' + 2^ et observons que le second membre est nul lorsqu'on y fait X =a, x' = a\ car ces valeurs sont celles qui correspondent à Téquilibre. Il vient, en négligeant les secondes] puissances des petits écarts z^ z' et de leurs dérivées,

(,) ) ~'"(«'-«cosO — -Hm'(«~fl'cos/) —

( = — m^cosa(s' — zoos/) + in'^oosa^(z — 2'cosf).

Or on peut exprimer z' en fonction de Zj car on a Téquation

c» = a- 4- «'* — atffl' co8<

= (« -f- z)» -H (fl' -H »')• — a{a -4- s) («' 4- »') cos/,

laquelle devient, en négligeant les secondes puissances de z et de z',

(2) (« — a'cos/)«-h(a' — rtCOs/)«' = o.

On pourrait maintenant éliminer z^ de Téquation (i), puis intégrer, et le problème serait résolu.

Cherchons la longueur / du pendule simple qui oscille dans le même temps que chacun des deux poinu de notre système.

36a HéCANIQtJB UTIONHELLB.

Soient hf k\ h des constantes. La théorie An pendule nous donne pour z et z' des Talenrs de la fonne

Si nous substituons ces valeurs dans les équations (i)

et ('i), et que nous éliminions du résultat le rapport y^j

connue.

nous obtenons

j m {a* — a cosf )* -h m' {a — a' cosf )* ^

[ma cosa -h m'a' cos a') sin^i '

en sorte que la durée d'une oscillation tt i/~ est

La longueur / est susceptible d'une construction simple. En effet, supposons les points P et P' dans leur position d'équilibre; par chacun de ces points, élevons une perpendiculaire sur la droite qui dirige son mouvement. Soit O Tintersection de ces deux perpendiculaires. Projetons le contour PAP'OP sur chacune des droites AP, AP'; il vient

OP' sini = a — a' cos/,

OP sinî = a* — « cos i •

D'un autre côté, si nous nommons h la distance du centre de gravité des poids P et P, dans leur position d'équilibre, à la droite horizontale qui passe au point A, nous avons

(m -h m') h = ma cosa -h m'a* cosa'.

Ces valeurs, substituées dans Teispression de /, nous donnent

iwOP 4-/w^0F

*~ (/ii-f-iii')/i

DTZfAMIQUB. 363

, n est aise de construire cette valeur par les mëtbodes de la Gëométrie élémentaire.

3. Un point matériel, assujetti à rester sur une droite donnée, est sollicité par une force dirigée vers un centre Jixe et fonction de la distance à ce centre. Trouver la durée des petites oscillations que le mobile exécute, lors^ qvLon vient à V écarter légèiement de sa position d'équilibre.

Soient :

a la distance de la droite au centre des forces ; r la distance du mobile à ce centre \ X la distance du mobile au pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite ] f{r) la force correspondante à la distance r.

Prenons pour unité de masse celle du point mobile. Le mouvement sera représenté par Téquation

(i) ^ = -2 r/(r)rfr-f-coûst.

Si nous négligeons les quantités du troisième ordre en x, dans la valeur de — » f(r) =/(^a* + a:*) doit être remplacé par/* (a) sous le signe / 9 et par Conséquent

— = -.2r/(ii)-4.con$t.

Nommant s la valeur initiale de x, cette équation peut s^écrire

364 MÉCABIQUB miTIOirJiELLB.

On en tire

. / a dx

en sorte que la darée d'une oscillation est

Si, ptr exemple, la force est une attraction propordonnelle â la distance, on a

Il étant l'attraction à Tunité de distance. C*est un résultat donné dans la Mécanique d*Euler, t. U, p. 91.

Les formules générales qui précèdent supposent que /(a) n'est pas nul. Si cette condition n'était point remplie, il faudrait, dans la valeur de — > conserver des

puissances de x supérieures à la seconde, et les résultats seraient changés.

Ce cas se présente, en particulier, lorsque la force centrale est le ressort d'un fil élastique lié d^une part au point mobile, d'autre part au centre fixe.

Soient T la tension du fil et X son coefficient d'allongement (*); supposons que la longueur naturelle du fil soit égale à la distance du centre à la droite.

(•) Voir^, 167.

DTlffAMIQUE. 365

Nous avons

/(r)=T, r = a(i+iT); 'où '

Ar)-—^.

d*aillear89

M xdx

Substituant ces valeurs dans Téquation (1)1 il vient

Si l^on néglige les quatrièmes puissances de x,

* ['-«(«' + '')■'] = ^5 il s'ensuit

dx^ \ r I

Posons

jp = f cos f •

Alors,

2a J\a ^ dff a r-r— rf«p

« i/l -h COS'f « / t . ,

366 xÉciiriQVB aatiohrelle.

L'intégrale définie est une fonction ellipti^e de première espèce dont le modale est -r^i*

4. Deux points Â et B étant donnés sur unç même droite horizontale^ trouver, dans le plan ^vertical mené par ces deux points, le lieu d^un troisième point P tel, que la somme des temps nécessaires à un point pesant pour parcourir les droites AP et BP, lorsquon le pose successivement en Ket'R sans vitesse initiale, soit égale à une quantité donnée A:.

Prenons Torigine des coordonnées sur la droite AB, i égale distance des extrémités, et dirigeons Taxe desj^ dans le sens de la pesanteur. Soient x, y les coordonnées du point P et a a la distance AB.

Les formules du mouvement sur un plan incliiié bous donnent de suite l'équation

Élevons deux fois au carré pour rendre l'équation rationnelle, et posons

n vient, après des réductions faciles,

{^) .^^cx ^,^^ —

Cette courbe se compose en général de deux branches. Tune tangente à Forigine à Taxe des x et asymptotique i

la droite^ = — » Tautre située au delà de cette dernière

droi te et formant une sorte d'ovale. Cette seconde branche

seule convient à notre problème -y pour qu'elle existe, il faut que c soit plus grand que aa, La première branche est le lieu des points P tels, que la diiTérence des temps employés i parcourir les droites AP, BP est égale à la constante k. En eiTet, si Ton rend rationnelle Féquation

on i^rrive encore à la formule (£).

FusSi Atém. de VAcad. de Saini'-Pétersbourg^ 1819.

S. Déterminer la courbe sur laquelle doit glisser un point pesant, pour quil descende de hauteurs égales dans des temps égaux.

On supposera que la tangente à Vorigine des arcs parcourus est verticale.

Prenons Torigine au point où le mouvementcommence, et Taxe des j* vertical dirigé de haut en bas. Soit /3 la hauteur verticale que le mobile parcourt dans Funité de temps.

Nous avons

^=2gr-hconst., ds^ dr^ I dx'X dy^

Or, à l'origine du mouvement, --j- s=^y d'où il suit que la

constante est égale à ^* ^ d'ailleurs, par hypothèse, on a toujours

368 XiCANIQUB BATIOmiELLB.

par conséquent)

La courbe est une parabole de degré - *, son axe est Taxe

desj^, et son point de rebroussement est à rorigine. On Ta nommée isochrone,

Leibnitz défia les disciples de Descartes de résoudre ce problème par les méthodes de leur maitre, sans employer le calcul diflérentiel. En efTct, ils ne purent y arriver. Alors Huyghens (*), Leibnitz {**) et Jacques Bcrnoulli (***) publièrent différentes solutions, les premières synthétiques, la dernière analytique.

6. Un point matériel se meut sur une cowbe avec une vitesse constante* Quelle doit être la courbe pour que la vitesse estimée suivant une droite donnée croisse d'une manière uniforme?

Soient ^ la vitesse du mobile sur la courbe, c Taccroissèment de la vitesse dans Puni té de temps suivant la droite donnée. Prenons cette droite pour axe des x, et le point où elle rencontre la courbe pour origine des coordonnées.

Nous avons

(* ) NomvBlUt de U République des UtWet, octobre 1687. [**) Acta erud., Lipi., 1689^ p. 196 et suif. («-»)ift., 1690, p. ai7.

nTiriinQUB. 369

d'oÂ Ton tire, par intégration, dP