I. — L'étude de ce cas est moins facile. M. Pui
seux a démontré que la courbe est une spirale formée de deux branches symétriques, s'éloignant indéfiniment du centre fixe, et qui jouissent de cette propriété d'être semblables à la développée de leur développée [Journal de Jlf; IJou\fiUe, t. IX^ p. 4 16 et 892 \ i844)* Supposons maintenant que c soit nul.
^3- > I . — La courbe est imaginaire.
-7^ <^ I . — La courbe est une spirale logarithmique.
En effet, nommons a l'angle constant que la tangente k cette spirale fait avec le rayon vecteur; nous aurons
P» = r» sin«a, pP» = (p — ;* cos'a) r*.
Il en résulte qu'un mobile assujetti à rester sur une spirale logarithmique, et attiré vers le pôle par une force proportionnelle à la distance, emploie toujours le même tempe pour arriver au pôle, quel que soît son point de
départ; ce temps est égal à p-
acosavfA
Enfin considérons le cas où la force centrale serait ré« pulsive.
U faut changer le signe de \k dans la formule (F) ; alors elle nous représente toujours une épicycloïde dont le cercle mobile roule extérieurement sur le cercle fixe.
iSo MÉCAiriQUB BATIOKirBLLB.
Les calculs sont les mêmes que pour la première épicjdoïde, sauf le signe de p qui est changé.
La formule (F) est en réalité une équation différentielle ; si Ton veut la mettre sous la forme ordinaire en usant des coordonnées polaires r et 6, il suffit de substituer i P sa valeur
r'dB
On trouve ainsi
...v/iSid;:^.
formule que Ton intègre sous forme finie, en représentant le radical par une variable auxiliaire.
Euler a traité ce problème dans sa Mécanique, t. Il, p. ao8.
12. Dé ierminer directement les courbes tautochrones pour une force gui est perpendiculaire à une droite ^e et proponionnelle à une puissance de la distance à cette droite.
Nous supposerons que la droite fixe passe par V extrémité des arcs qui doii^ent être parcourus dans le même temps.
Prenons Taxe des^ sur la .droite fixe et Taxe des x dirigé en sens contraire de la force.
Soient fix" la force i la distance x et A la valeur de X ^a point de départ.
ds* r^ nti
DTSÀMIQuis. 38 1
en sorte que le temps employé pour anÎTer à Torigiae est
^ ""^ Jo (A-*»-x-+')^
Il s* agit de trouTer les valeurs de 5 en fonction de x cp4
rendent cette intégrale indépendante de A.
Posons
i=^(jr) et x = hu.
Il vient
f'(hu)(htt) ^ rfi i^ 1
I —Il
ou, si Ton fait <^ (x)x ^ = ^ (x),
On doit avoir
rfr
OU
or cette condition, qui doit être remplie pour tonte râleur de A, exige que <\f{hu) soit identiquement nulle;
383 MÉCA.1IIQUB EÀTIOlUrBLLB.
«u^remeat om pourrait prendre h asses petit pour qwo ^' [hu) conserve le même signe dans toute l'étendae de l'intégrale, et alors l'intégrale, ayant tous ses éléments positifs, ne saurait être nulle. Ce raisonnement suppose seulement que ({/ (x) n*est pas de Pespèce de ces fonctions singulières qui changent de signe une infinité de fois, candis que la Tariable X parcourt un petit intervalle dans le voisinage de-o(*).
Ainsi Ton a
>|i'{x)=o, ^(jr} = f:onsr« =A',
dx ^
Telle est Féquation différentielle des courbes Uutochrones.
On voit que n — i doit être négatif, sinon -^ serait
imaginaire pour de petites valeurs de x.
Soit
m sera positif, et Ton aura
— dx.
Le second membre est une différentielle binôme que Ton intégrera par les méthodes connues.
Lorsque
m=:o, ou « = 1,
on a une ligne droite parallèle à la direction des forces. ,{*) X tin - est une de ces fonctipns singalièn».
BTIliVIQVS. 383
Lorsque
m=zi, ou n=Op
on a une efcUxd&. Il en résulte qne, pour les corps pesants^ la ejrdoide est la seule courbe tautoohrone dams Icvide.
Quand
JR :^ a, ou « =: — l,
l'équation peut encore s'intégrer en quantités finies^ mais elle ne répond pas au problème, car la valeur i» = — x est exclue de notre première intégration.
Enfin, si Ton admet que m ait une valeur fractionnaire -» Téquation de la courbe s'obtiendra sous formé
finie toutes les fois que - sera un nombre entier, ou un
nombre entier augmenté de -• Posant, par exemple,
i = -, ou « = 7> P ^ 3
fiQUs obtenons la courbe
Toutes ces courbes sont ungentes à la droite fixe prise pour axe des y\ elles coupent à angle droit la ligne
xs= Xt*" et ne s'étendent pas au deli.
13. Considérons une série de courbes semblables et semblablement placées, qui passent toutes par un même point A, el proposons^nous de trouver le lieu des extré' mités des arcs gui seraient parcourus dans un même tempSy par un point pesant posé sans vitesse initiale aa sommet commun A, et assujetti à décrire successivement les diverses courbes.
S84 MÉCANIQUE KATIOmiBLLB.
Le lie^ géométrique ainsi défini porte le nom de courbe synchrone fUiT rapport à la série des courbes semblables.
Soient pris le sommet A pour origine des coordonnées et la verticale dirigée dans le sens de la pesantear pour axe des x. Nommons r le temps que le mobile emploie pour atteindre la courbe synchrone^ s Tare qu'il décrit dans ce mouvement et x Tordonnée de Textrémité de cet arc.
On a
ou
dx.
dy
Dans cette formule, on remplacera ^ par sa valeur en x
tirée de Téquation commune aux courbes semblables, laquelle contient un paramètre arbitraire a\ ou intégrera, puis on éliminera le paramètre a entre le résultat obtenu et Téquation des courbes semblables ; l'équation résultante représentera la courbe synchrone.
Le plus souvent l'intégration dont on vient de parler ne pourra s'effectuer en quantités finies \ alors il convient de modifier la méthode.
L'équation commune aux courbes semblables est de la forme
admettons, pour plus de clarté, qu'on l'ait résolue par rapport à — i et soit
DTHAMIQVB. 385
Si l'on pose
— sera une fonction de z indépendante de a, et Ton
aura
dz^
lou
Dans ces formules on donnera successiyemenl à z différentes valeurs, et Ton calculera par les quadratures les coordonnées x^ y des points correspondants de la courbe synchrone.
Le problème de la courbe synchrone est dû à Jean Bernoulii ('*') \ Euler Ta discuté dans sa Méchanique (t. II, P-47)-
14. Vn point matériel, assujetti à rester sur une eourhe plane ^ est sollicité par des forces situées dans le
(*) Aeta erud,, LIps., 1697, p. îio6.
