I. «• twt. a
même plan et données à volonté. Détemùner queUe doit être la forme de la courbe y pour que le temps employé par le mobile à parcourir la distance qui sépare deux points donnés soit un minimum relativement au temps qui lui serait nécessaire sur toute autre courbe.
La courbe ainsi déBnie se nomme brachistochrone relativement an système de forces.
Soient Xy y les coordonnées du mobile, s Tare qu^il a parcouru à l'époque* r, et a, j3 les valeurs de j? correspondantes aux deux points donnés.
On a
par suite, si l'on pose
la durée du mouvemeat entre les deux points donna sera
■=yiï±£^.
Il faut déterminer la relation qui doit exister entre les coordonnées x et y, pour que cette intégrale aoit un minimum ^ cette relation sera l'équation de la bradûstochrone.
Mous résoudrons ce problème par le calcul des variations.
Soit
Concevons que dans V la vitesse 9 soit exprimée en fonction de x et de y^ et nommons M et N les dérivées partielles de V par rapport hy etp.hti méthode des ya-
vTvmiQvs, 387
riatioBS ttoi» donne la formale
dans laquelle — représente la difTërentielle totale de N
par rapport à x.
Pour exprimer cette formule en fonction des coordonnées Xj jTj nous ayons d'abord
d'ailleurs, si nous représentons par X et T les compo* santés des forces suivant les axes, nous avons
(2) 9€iv = 'X,iix-hYify;
en sorte que la dérivée partielle — est égale à - • Il en
résulte
« Y / T ds
(3) M = --v^rT^ = --^.
Nous avons encore
dx 9^ dx ds 9 dx\ds]
OU, puisque la différentielle totale -7- est égale à
en vertu de l'équation (a),
(4) ^ = -?^^ + ^SJÂ-^;s\ÂJ'
388 mAcAAIQVB mATIOnVBLLB.
Subsûtuant dans la formule (i) les Talears données par les équations (3) et (4)9 il Tient
dx \as/ as ds
ouy ce qui est la même chose,
: — -/(Xdic + Tc(r)
Cette équation différentielle du second ordre représente la brachistochrone. Les deux constantes qu'introduira rintégration permettront de faire passer cette courbe aux deux points donnés; alors le problème sera complètement résolu.
Quand on écrit l'équation (5) de manière que les deux membres soient positifs, le premier membre est égal à
la force centrifuge -9 p désignant le rayon de courbure,
et le second membre est égal à la somme des forces appliquées, estimées suivant la direction de la force centrifuge. L'égalité de ces deux quantités constitue une propriété remarquable des bracbistoebrones découverte par Euler (^. Elle nous servira dans la question suivante.
La recherche de la brachistochrone pour un point pesant fut mise au concours par Jean BemouUi ('*''*'), an
(" àleehun., t. II, prop. 49*
(**) Âeuerud,fUpê., i6g6,p. 96g; 1697, p. 907. — UémoiresdeVÂead, éei Sciences de Péris, 1718» p. i36. ^ Opère, t. Il, p. a66.
DTKÀMIQCB. 389
mois de juin de Tannée 1696; six mois ëtaîent accordés pour résoudre le problème. Leibnitz ('*') le résolut près* que aussitôt, et communiqua sa découverte à Bernoulli. Comme aucune autre solution ne parvint au temps fixé, le délai fut prolongé jusqu^à Pâques; alors parurent les solutions de Jacques Bernoulli (**), de THôpital (***) et une solution anonyme de Newton {****).
18. Trouver la brackislochrone pour une force dirigée vers un centre fixe et proportionnelle à la distance.
Soient :
r la distance du mobile au centre d'attraction ; 9 l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente k la courbe \
p le rayon de courbure ;
P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente;
fi l'attraction à l'unité de distance;
a la valeur initiale de r.
L'attraction estimée suivant la normale est
prsinf, ou pP; par conséquent,
D'ailleurs, la vitesse initiale étant nulle, on a fr'szrap / r€irz=^[a* — r*); en outre, la force étant attractive, la courbe doit tourner
(*) CommereUim epittolicum Letb, et Bern,, epist. xxTiii. — iicla erudit,, Lips., 1697, p. 3o3.
{**) Àcta erud,, Lips.^ 1697, p. aia*
(»««) /*.,p,ai7.
(♦♦♦*) PA//01. 7r«ii#«cr., 1697, n»aa4, p. 389.
390 xÉcAiriQim mÂnoMELLB.
sa convexité vers le caitre des forces^ novs aTOos éomt
avec le signe eonrenable la relaiion géonftétriqae
dr
Sabslituant ces valeurs dans la première é<{uation, il vient
d9 rdr
d'rà
logP = - log (tf* — r*) -H const.y
C est une constante*
G>mme on Ta vu (p. 378), cette équation reprësenie une épicjcloïde que l'on peut décrire en faisant rooler un cercle mobile dans l'intérieur d'un cercle fixe décrit da centre des forces comme centre avec un rayon ^1 a 0.
Si la force centrale éuit répulsive, on arriverait à l'équation
qui représente une épicjrcloïde dont le cercle générateur roule extérieurement sur le cercle fixe.
Au reste, si Ton veut obtenir Téquation de la brachistochrone dans le système des coordonnées polaires ret 0, il suffit de remplacer P par sa valeur
d9 f ,€iB*\'^
d'intégrer et de déterminer les deux coustantes par la condition que la courbe passe aux deux points donnés. EuLEE, Mechan,f t. II, p. 191.
Le problème suivant se ramène au mouvement d'un point matériel sur une courbe fixe.
DYHAMIQUB. Spl
l(t. Vh point matériel est attaché à Vextrémité d^un fil sans masse^ situé dans un plan horizontal et parfaite^ ment uni. Déterminer le mouvement du point lorsque Vautre extrémité du fil est entraînée sur une courbe donnée y avec une vitesse connue, et que le fil reste tou-* jours tendu.
Pour résoadre ce problème, nous allons d'abord déterminer le mouvement du point relatÎTement à rextrëmité du fil \ ce sera le mouvement d'un point matériel sur un cercle fixe. Ensuite il nous sera facile de passer au mouvement absolu par les formules de la transformation des coordonnées.
Diaprés le principe du mouvement relatif, nous devons considérer le point comme sollicité par une force accélératrice F, égale et contraire à celle qui serait capable de produire le mouvement réel de Textrémité considérée comme fixe, si cette extrémité était un point matériel libre.
Peemieu cas. — U extrémité du fil décrit une ligne droite d'un mouvement uniforme.
Ici F = o ; par suite le point matériel tourne d'un mouvement uniforme autour de Texuémité du fil.
Soient / la longueur du fil, » sa vitesse angulaire et u la vitesse de l'extrémité qui parcourt une ligne droite.
Si II = /a>, le point matériel décrit une ejrcloïde dans son mouvement absolu; le rayon du cercle générateur est /, ce cercle roule uniformément sur la directrice.
Si u ^ "9 le point matériel décrit dans son mouvement absolu une cycloïde allongée; c'est-à-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur le prolongement du rayon d'un cercle qui rouk sac une droite. Id 1% distaiic«
39^. m£cANIQOB AATIOmiBLLB.
du point décrivant ao centre du cercle est 2, le rayon est r, et le cercle roule d'un mouvement uniforme.
Si li j le point matériel décrit dans son mouvement absolu une cjrcloïde raccourcie^ c*est-a-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur la longueur du rayon d'un cercle qui roule sur une droite. Les autres eirconstances du mouvement sont les mêmes que dans rhypothèse précédente^ si ce n'est que r est plus grand que /.
Deuxième cas. — V extrémité du fil décrit une ligne droite d^un mouvement uniformément accéléré.
Ici la force est constante en grandeur et en direction ; par conséquent le mouvement relatif du point matériel sera de même nature que celui du pendule simple.
Troisième cas. — V extrémité du fil décrit une cir^ conférence d'un mouvement uniforme.
Soient c le rayon de cette circonférence, a la vitesse angulaire avec laquelle elle est décrite, et l'angle que la direction du fil fait avec le rayon p. Nous r^arderons l'angle comme positif lorsqu'il sera décrit dans le sens de la vitesse a.
Ici la force F est parallèle au rayon de la circonférence décrite par l'extrémité du iil; son intensité est a*p; sa projection sur la tangente à l'arc décrit par le mobile dans son mouvement relatif est — a'p sind; l'arc décrit à l'époque t est /(a< + d — 60)9 60 désignant la valeur initiale
de 6. Si Ton porte ces valeurs dans la formule — = S (p. 358), il vient
Cest l'équation qui représente le mouvement du pen-
DTJIA.1IIQUB* 39.3
dale simple quand on suppose que la gravité est égale à a* p. Le mouvement relatif au rayon de la circonférence, décrite par Textrémité du fil sera donc de même nature, que celui du pendule.
L'équation admet la solution particulière
= const. = 0».
Ainsi, quand la vitesse angulaire initiale du point matériel est égale à celle de l'autre extrémité du fil, ce point décrit un cercle d'un mouvement uniforme dans son mouvement relatif et aussi dans son mouvement absolu. Le rayon de ce dernier cercle est
v//'-t- r=»— 2/rcose,.
Toutefois ceci suppose que la résultante des deux forces centrifuges qui naissent du mouvement relatif et du mouvement absolu tend à éloigner le point matériel de l'autre cxtrémilé du fil. Cette condition serait inutile si le fil était remplacé par une tige rigide et sans poids.
Le premier cas que nous avons examiné fut le sujet d^une controverse entre Fontaine et Clairault. Fontaine admettait que le fil devait être constamment dirigé sui» vant la tangente à la trajectoire; Clairaut rejetait cette hypothèse. En réalité, elle suppose que la force d'inertie est détruite à chaque instant^ cela aurait lieu si le mouvement du point matériel était produit par une suite de chocs diriges dans le sens du fil, et que la vitesse acquise fût détruite à chaque instant par le frottement contre le plan. La courbe décrite dans l'hypothèse de Fontaine se nomme tractoire. Sa recherche est une question de Géométrie.
Claieault, Mém. de VAcad. des Se, de Paris , 17861 p. l.
EuLBE, Nopa Jeta Jead. Peirop,, 1784»
