Deux points pesants égaux ^ assujettis à se mou
$94 XÉCAVTQUB AATI09HBLLE.
voir sur la circonférence d'un cercle vertical^ partent d^un même point auec des vitesses égales^ mais à des mstants d^érents. Démontrer çue la ligne qui les joint après un temps quelconque enveloppe un cercle.
Soit L une droite horizontale située au-dessus du point de départ à la hauteur qui produirait la vitesse initiale. Les carrés des vitesses des deux mobiles au même instant sont proportionnels aux distances de ces points à la droite L. Les mêmes vitesses sont proportionnelles aux disunces des mobiles au point de contact de la droite qoi les joint avec son enveloppe \ car on voit aisément que, lorsque deux cordes d'un même cercle font entre elles un angle infiniment petit, le rapport des segments déterminés sur Fane d'elles par leur point d'intersection est égal au rapport des petits arcs compris entre les deux cordes. Ainsi, les distances des deux mobiles i la droite L sont à cbaque instant proportionnelles aux carrés des distances entre les mêmes mobiles et le point où la droite qui les joint touche son enveloppe.
De là il résulte que la courbe enveloppe est un cercle, lequel a la droite L pour axe radical ('*') conjointement avec le cercle donné.
En effet, soient /ti, m' deux positions simultanées des
( * ) L*axe radical de deux cerclée eet la droite qui pesée par lean deax points d'interseclioD ; cette droite est réelle, lors même que les interseetioos sont ima^naires. SI lee deux cercles sont représentés par les éqna* tioni
l'axe radical sera défini par Téquation
aiax = a*-i-a* — ft*.
Cette droite Jouit d*un grand nombre de propriétés, parmi leaqueOes nous citerons la suirante : les tangentes menées d'un même point de Taxe aux deux cercles sont égales et, par conséquent, les produite dee i déterminés sur deux sécantes sont égaux.
BYnàMt^jo» 3gS
mobiles $ A le cercle donné; A' oa cercle tangent k k droite mm' et tel , que Taxe radical des cercles A, Èf soit la droite L\ dla distance des centres des deux cercles ^ i le point de contact entre la droite mm' et le eer« de A'; mh^ m' h' des perpendiculaires ahaÎMifes dem^mf sur la droite L; i» le second point où la droite mh coupe le cercle A ; p, ^ les points où la même droite conpe le cercle A'.
On a, d'après les propriétés de l'axe radical,
mi* z=z mp. mq == ( V — ^"^j l ^^ — ^"^ )
= hm\hm — hp — hq -^ hn) = a^.AjR*
et de même
d'où
m'i^=i9Ji'm'
mh
m' h' néi
Or noQS ayons déji prouvé que, si Ton désigne par i le point de contact de la droite rnni avec son enveloppe, on a la relation
mh mi
donc les points î, H se confondent, c'est-à-dire que la droite mm' est encore tangente au cercle A' dans une seconde position infiniment voisine de la première. Il s^ensuit qu'elle est tangente au même cerde dans toutes ses positions successives.
Si le mouvement est oscillatoire, le cercle enveloppe coupe le cercle donné. Si le mouvement embrasse une révolution entière, le cercle enveloppe est intérieur ou extérieur au cercle donné, suivant que le mouvement des deux points est de même sens ou de sens contraire; dans
396 MÉClllI4)im BATIOITHSLLV.
œ dernier eas, nous sapposons que les deux mobiles ne se heurtent point.
Partageons le temps d*Dne révolution complète en interralles ^ox, et lançons nn point a chacun de ces intenralles. Les cordesqni joignent au même instant chacun de nos mobiles avec les mobiles adjacents enveloppent tontes un même cercle. De là résulte ce théorème de Géométrie : Si Von peut construire un polygone de n côtés inscrit dans un cercle donné et circonscrit à un second cercle donné j la construction peut s'effectuer quel que soit le point du cercle extérieur que Von prenne pour premier sommet.
La propriété du mouvement circulaire qui nous occupe ici est l'interprétation mécanique d'une propriété des fonctions elliptiques signalée par M. Jacobi, dans le Journal de M. lÀouville^ t. XI, 1846, p. 101. Celte même propriété est démontrée géométriquement dans la Géo^^ métrie supérieure de M. Chasles, p. 583.
The Cambridge and Dublin Matkematieal Journal^ 1854» febr.yp. 7«
18. Deux points matériels égaux, qui s'attirent en raison inuerse du carré de la distance, sont obligés de se mouuoir sur deux droites rectangulaires. Trouver le temps nécessaire à chacun des mobiles pour arriver à V intersection des deux droites y en supposant qu'ils par' tent du repos.
Le temps cherché est le même pour les deux mobiles; si Ton nomme a la distance mutuelle des mobiles à Tinstant où le mouvement commence, et \l l'attraction à Tunité de distance, sa valeur est
OTJBrAMXQVB. 3g^
Aa reste, quelle que soit la loi d Vtraclion, pourvu qu^elle ne dépende que de la distance, les deux mobiles arriveront en même temps k Finlersection des deux droites*
i9. Deux points pesants égaux et de même élasticité e sont placés sur un cercle vertical de part et d^ autre du diamètre vertical^ à 60 degrés de distance de son extrémité inférieure; au même instant on les abandonne à leur poids pour les laisser se mouuoir sur la courbe jus^ quà ce qu'ils aient épuisé toute leur vitesse par V effet de leurs chocs successifs. Déterminer la somme des cordes de tous les différents arcs que chacun des mobiles va par* courir.
Cette somme est
a désignant le rayon du cercle.
20. Une petite bille parfaitement élastique, abandonnée sans vitesse initiale sur un plan incliné, parcourt une longueur donnée^ puis rebondit sur un plan horizontal qui fait suite au premier plan. Trouver quelle doit être VincUnaison du plan pour que la portée du bond soit un maximum.
L'inclinaison du plan sur l'horizon doit être arcsiiiy/|-
21 . Un point pesant glisse sur une droite inclinée. On demande quelle doit être l'inclinaison de la droàepour que le chemin horizontal parcouru dans un temps donné soit un maximum.
L'inclinaison doit être de 45 degrés.
SpS utckviqvE viTnnniBLLB.
S2. «Sur un plmn karizontal et parfaitemekt uni, un fil tfè^-'diUé est atiachépar l '»/i de ses bouts au eontomr iTun eerelefixe situé dans le même plan, et porte à Vautre bout un point matériel. Le fil étant tendu niuant une tangente au cercle^ on imprime au point matériel une vitesse donnée perpendi c ulaire à la direction du fil y de sorte que celui-ci s^ enroule sur la circonfé^ rence du cercle. Déterminer la vitesse du point àunin^ stant quelconque et le temps qu!il emploiera pour atteindre la circonférence*
Soient /3 la TÎtesse imprimée, b la longaear da fil, a le rayon du cercle, i^ et T la vitesse et le temps cherchés.
On trouve
23. Un fil très-délié est attaché par Vune de ses extrémités au contour d^un cercle fixe sàué dans un plan vertical, et porte un point pesant à son autre extrémité* Le fil étant tendu suivant une tangente au cercle, on imprime au point une vitesse donnée perpendiculaire à la direction du fil^ en sorte que celui-ci s^ enroule sur la circonférence du cercle • Déterminer la vitesse du point en un lieu donné, et la condition nécessaire pour que le fil entier s'enroule sur la circonférence.
Admettons, pour nous fixer, que le fil soit primitivement dirigé suivant la tangente au sommet du cercle. Nommons 9 l'angle décrit par le fil, et cmiservons pour le reste la notation du problème précédent.
On obtient Téquation
p«= p» -h 2^[(* — fl#)sin$ 4- tf (f — cos^)].
DTITAXIQVB. 3p9
Elle représentera le mouvement, tant que
restera positif.
Enroulons le fil en le maintenant tendu, jusqu'à ceque Tangle décrit 6 étant arrivé au troisième quadrant, la quantité a tangd soit égale k trois fois la longueur du fil qui n'est pointenroulé. Alors arrêtons-nous, mesurons la hauteur h du point matériel au-dessus de la tangente au sommet du cercle, ainsi que la hauteur H du même point an-dessus de Thorizontale qui passe par l'extrémité inférieure du fil tendu en ligne droite. Pour que le fil entier s*enroule sur la circonférence, il faut que la vitesse initiale soit égale ou supérieure à ^g'(H-i- aA). Cela revient a dire qu'il suffit que la vitesse initiale soit capable de faire fran« chir la position dans laquelle nous avons amené le point.
24. Un point matériel^ attiré vers un centre fixe pro* portionnellement à sa distance, est lancé d'un point donné, avec une vitesse connue y le long d'une courbe sur laquelle il doit se moui^oir, et qui est de telle nature, que la vitesse angulaire du rayon vecteur reste con-^ stante. Trouver Véquation de la courbe. '
Prenons le centre d'attraction pour origine des coordonnées polaires r et 0, et nommons a la valeur initiale de r correspondante à = o, ^ la vitesse initiale, fi' l'attraction à Funité de distance et &> la vitesse angulaire.
Il vient
— arc cos I ( -f- -\ au
Eom, Meeia»., u H, p. t38.
4oO MÊCAHXQQB mATtOBflTBLLE.
25. Troui^er les courbes tautochrones pour un point matériel qui est attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
Si Ton conserfe les notations du problème ii, il vient
EuLKEy Mechan.^ t. n, p. 209.
96. On donne une série de cercles tangents en un même point A et dont les centres sont situés dans la même direction AO-, on place un point matériel au point A, eZ on l'abandonne sans vitesse initiale à l'attraction du centre fixe O. Quelle doit être la loi de Vattraction^ fonction de la distance, pour qu^un cercle étant choisi à volonté ^ le mobile emploie le même temps à parcourir chacune des cordes sur lesquelles on l'assujettirait successivement à se mouvoir?
On trouve que Pattraction doit être proportionnelle à la distance ; toutefois le centre du cercle ne doit pas être situé au delà du centre d'attraction, sinon le mobile oe pourrait pas parcourir toute la corde.
On peut supposer le centre d'attraction situé à Tinfini ; alors la force est constante en grandeur et en direction, et l'on retrouve ce théorème de Galilée : Pour un point pesant assujetti à se mouvoir successivement sur plusieurs droites issues d 'un même point et situées dans un plan vertical, la courbe synchrone est un cercle dont le sommet est à^V origine des droites.
RisPALy Journal de M. Uouville, 1847» ^' ^^9 P* ^^^■
27. On a une série de cyclotdes issues d^un même point et qui ont une même base horizontale^ un point pesant est placé sans vitesse initiale à Vorigine com*
DTVAltlQUS. 4oi
mune et asêvjetti successivement à décrire les différentes courbes. Déterminer la courbe synchrone, et proui^'er qilelle coupe à angle droit toutes les cycloïdes»
Prenons Forigine des courbes pour origine des coordonnées, et la verticale dirigée dans le sens de la pesan* leur pour axe des x ; nommons r le temps de la descente et a le rayon du cercle générateur de Tune quelconque des cycloïdes. L'équation de la courbe synchrone i^ésultera de l'élimination de a entre les deux équations
a — X a — X /arc cos 9 y=-a arc cos y 2
On peut la construire par points d*uue manière assez simple.
Jean BEmirocLLiy Acta erud,y lips., i(397> p« 206.
28. Trous^r la brachistochrone pour un point ma-tériel attiré vers un centre ^xe en raison inverse du carré de la distance.
Conservant la notation du problème 15, on trouve
r EuLKB, Meehan.^ t. Il, p. 191.
29. Dn poids pesant est abandonné sans vitesse ini^ tiale sur r extrémité d'une cycloïde dont la base est ho* rizontale. Montrer que, si Von considère le point mobile comme lié au cercle générateur de la cycloïde, ce cercle roulera sur la base avec une vitesse angulaire constante
et égale à i/-j a désignant le rayon.
30. Un pentagone ABCDE est situé dans un plan vertical, le côté inférieur CD est horizontal . Montrer
