I. 9* «DIT
4oa MicAjriQvs mAnoirnLLE.
que les temps ifui'un point pesant emploieraii à descendre
le long des droites BC, AC, EC forment une progression
géométrique.
31* Supposons une hyperholc équilaîère dont Vaxe transt^erse est vertical, et une circonférence décrite sur cet axe comme diamètre;^
La somme des carrés des temps qu'un point pesant met à descendre le long des deux droites qui joignent un point quelconque P de la circonférence à deux points de Vhjrpefbole situés sur une même horizontale, est indépendante de la posàion du point P sur la circon-
g férencei elle est égale au produit de - par la distance
de Vhorizontale au centre de la courbe.
SECTION IL
PRESSION EXERCÉE SUR UHE COURBE PJLINB PAa UN POIBT MATÉRIEL EU MOUVEMENT.
Un point matériel est assujetti à rester sur une courbe fixe et plane. Soient :
R la réaction de la courbe sur le point ;
X, Y les composantes des forces motrices suivant les axes;
N la composante normale des forces motrices estimée en sens contraire de la réaction;
p le rayon de courbure.
La masse étant égale à l'unité, on a
R — Y— — X-j^d:- ~=Nd: —
ds ' as ^ dt^ p
On prend le signe supérieur quand le point se ment sur
DTHAIHQITB. 4^3
le c6të concave de la courbe, ei le signe inférieur quand il se meut sur le c6lé convexe.
Cette formule fut donnée en premier lieu par l'Hôpital {*)^ h Toccasion du problème de la courbe d'égale pression.
1 . Un point matériel, assujetti à rester sur le côté concayfe d^une hyperbole, se meut sous Vaction des deux foyers qui V attirent en raison inverse du carré de la dis-tance. Déterminer la réaction exercée par la courbe.
Soient :
fÂj y! les attractions des foyers à l'unité de distance;
r, r' les deux rayons vecteurs ;
Toy r\ leurs valeurs initiales;
a, h les deux demi*axes \
f l'angle que le rayon r fait avec la tangente à la courbe \
1^0 la vitesse initiale.
Nous supposons que le mobile parcourt la branche voisine du foyer auquel se rapportent les lettres dépourvues d'accent, et s^ approche du sommet.
en outre la Géométrie nous donne
(*) Mémoires de V Académie des Seiemcesde Paris i 1700, p. g.
(***) Cette relation consiste en ce que la corde du cercle de courbure qui
coïncide afec le rayon r est égale à • On peut la démontrer aisément,
soit par Vanalyse, soit de la manière suivante.
nommons 6, $' lea angles qae deux rayons Tecteurs, r, r^ menés an
4o4 XÉC41IIQUE AATtOMlTELLE.
par conséquent,
OU, d'après la relation r' — r = aa = r| — r^ ,
Si la vitesse initiale est nulle, et qu'à Torigine Ju mouvement les deux attractions soient égales,
alors la réaction est nulle, c^ est-à-dire que le mobile, s'il était libre, décrirait encore Thyperbole.
même point m, font avec la direction du centre, et i l'angle de la normale au point m arec une normale infiniment Toisfne. Mous afoni
di |»=-7t 9\nyisz=.rd9=^r'd9*»^
De plua, quand lea deux oôtéa d*nn angle tournent en aena contraires de quantités représentées par 49 et à9', la bissectrice de cet angle tourne de
■ iffl dû'
la quantité ;—— 1 quelle que soit d'aUleura la translation du sommet;
donc
d9^d0' a On tire de ces équations
g ^rr' rr'
La même formule subsiste pour Pellipse; pour la parabole elle devient /isin^as^r.
DTNÀMIQVB. 4o5
On voit que dans tous les cas la réaction est inversement proportionnelle au rayon de courbure. Cette circonstance se présentera toutes les fois que, sans rien changer aux forces motrices, on pourra disposer des circonstances initiales, de manière que le mobile décrive librement la courbe donnée.
En effet, dans la valeur
as as ^
les données initiales n'influent que sur un terme constant qui fait partie de p* \ d'où il résulte que, si Ton a R = o pour de certaines données initiales, pour d'autres données
on aura
^ const.
2. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle, qiCun point pesant assujetti à descendre le long de cette courbe exerce à chaque instant une même pression.
On donne la pression R, la vitesse initiale v^ et Fangle a, que fait la verticale avec la tangente à la courbe au point de départ.
Soient pris Torigine au point de départ et Taxe des x, dirigé dans le sens de la pesanteur.
On a
^ ds f-
et, si Ton prend l'arc s pour variable indépendante.
£ d\x , dx^^ •
p "" c// • ds '
4o6 'MécAHIQVB KATIOnirELLB.
Éliminakit i^ et p, il nous Tient réquation
= Vî»^' + «'î-:7T-+
qui a pour intégrale
- ^2^x-*- pj = ^2^*+Tj — 4- const«
La constante se détermine par la condition qu'à Tori-
dx gîne ^ soit égal à sina^ ainsi
dy R p, R — ^sina
Introduisant la coordonnée x au lieu de Tare 5, et posant - = A, - (R — ^ sin«) = B, cl ^gx 4- pJ = »%
on arrive à T équation
(A»-~B)grfa
ff^J^ =
v/(i — A')»> + 2AB2 — B»
qui peut sMntégrer en quantités finies, mais dont Tintégrale est trop compliquée pour avoir quelque intérêt.
Le problème de la courbe d'égale pression pour un mobile sollicité par la seule force de la pesanteur fat proposé par Jean Bemoulli (^), et résolu par THôpital (^). Commerc. epistolic, LeibnUzii et BernouUi, epbt. vii.
3. Sur une courbe située dans un plan "vertical on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et Von demande de déterminer la courbe de manière que la
i*) Àcta erud,, «uppl., t. U, aeeU vi, p. 991.
(**) Mém. de l'Àcad, des Sciences de Paris, 1700, p. 9.
DTZrAMIQUE. 4<>7
pression soit proportionnelle à la /i**"" puissance de la distance à Vhorizontale d*oii le mobile aurait dû des-* cendre pour acquérir au point de départ la vitesse qu^on lui a donnée.
Prenons pour axe des y Thonzontale dont il s^agit, pour axe des x la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, et nommons Kx" la pression à la distance x.
Nous avons
L'intégrale est, sans constante,
d'où
ou, si Ton pose :^ = a,
(À) ±[(2/i -4- !)*«»-. ««-l'i/j^ Jfrfr.
Ainsi on arrive à une différentielle binôme qui, comme l'on sait, peut s'intégrer sous forme finie toutes les fois
que — est un entier, ou un entier augmenté de -•
4o8 MÉCAHIQVB mATlOnSLUE.
Si Ton arait ajouté one constante dans FintégratiOD, Fëquation finie de la courbe n*aurait pu s'obtenir <jae dans un très-petit nombre de cas, outre ceux que nous avons indiqués.
Examinons quelques cas particuliers.
71 =: I. — On trouve un cercle qui a son centre sor Taxe des j et dont le rayon est égal i 3 a.
/» = — I . — On trouve une chaînette
n r= ~ • — On trouve une cjrcloïde dont la base est
Taxe des jr et qui a le rayon de son cercle générateur égal i aa*.
n=a. — La formule (A) devient Téquation de la courbe élastique de Jacques BemouUi (*), ainsi nommée parce qu'elle représente la figure d'un ressort en équilibre sous Taction de certaines forces.
Dans ce cas Tinlégrale dépend des fonctions elliptiques.
YABiGiroNy Mém» de rAead^ des Se. de Paris, 17 lo, p. i5g.
4. Un point matériel assujetti à rester sur une courbe donnée se meut sous faction d^ une force de direction constante. Trouver quelle doit être la loi de cette force, pour que la pression exercée sur la courbe soit la même en chaque point.
Prenons Torigine sur la courbe au point ou le mouvement commence, et l'axe des x parallèle k la force dont on cherche l'expression. Soient X cette force, v^ la vitesse à Torigine et K la pression constante.
( *) Àcu erud.f Lips., 1694, p. 373; 1695, p. 538.
Nous ayons
dr V»
as p Éliminant /9 et (^, il vient
et si nous intégrons après avoir multiplié par -j- ds,
Soit p la dérivée ^ tirée de Féquation de la courbe. L'équation précédente peut s'écrire
sous cette forme, sa difTérentielle relative k x nous donne Texpression de la force cherchée,
(B) x=:-^.-.,.--^(J^-Hcan.t.).
La constante se détermine en posant x = o dans Técpialion (A) \ elle est donnée par Téquation
lorsqu'on y fait x = b.
Supposons que la courbe donnée soit la parabole
4lP MÉCàVIQIlX EATfOniBLLB.
il suffit de poser p = — dans les équations (B) et (C), et Ton obtient
-fs[-(-'S)(-<sr]-
Si la courbe donnée était la cjrcloïde
r =r aarccoa
on trou?erait de la même manière
Dans ces deux cas particuliers la force est indépendante de^ la vitesse initiale.
EuLKA, Mechan,^ t. Il, p. loi et suiv.
8. En un lieu donné sur le côté connexe d*unc ellipse dont le grand axe est vertical, on pose un point pesant^ puis on r abandonne à son poids. Déterminer le point oit le mobile abandonnera la courbe.
Prenons Torigine à Textrémité supérieure du grand axe et l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur. Soient a a le grand axe, ai le petit axe et x^ l'ordonnée initiale.
L'ordonnée correspondante au point cherché est déterminée par Téquation
Si Tellipse se réduit à un cercle de rayon a, Téquation
deyient
FoiTTANAy Memorie délia Sodetà Italianaj 1782, p. 175.
DTIlàlUQUE» 4^'
6. On suppose un cercle vertical et un point pesant situé dans son intérieur^ du sommet on lance le point le long de la courbe a^ec une vitesse donnée, et l'on de^ mande la pression qu*il exerce sur la courbe.
Soient a le rayon, %f^ la vitesse initiale et l*angle au centre décrit par le mobile.
On trouve
R = -iH-g'(2— 3cos0).
Si la vitesse initiale est telle, qu^au premier instant la pression soit nulle, alors v\ = ag,
R==3^(i — cosO), et lorsque == tt,
c'est-à-dire que le mobile arrivant au bas du cercle exerce une pression six fois égale à son poids.
EuLXB, Âîeehan.f t, II, p. 65, coroll. vn.
7. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse convexe, se meut sous l* action de trois forces : la première est dirigée vers le centre et proportionnelle à la distance^ les deux autres sont dirigées vers les foyers et inversement proportionnelles au carré de la distance» Déterminer la réaction de la courbe sur le point.
Soient /x, fx', fn" les attractions des foyers et du centre à Tunité de distance, a le demi-grand axe. Va la vitesse initiale et r«, r\ les distances initiales aux foyers.
On trouve
Or, si Ton nomme u^, y\^ y\ les vitesses initiales quMl faudrait imprimer au mobile supposé libre pour qu'il décrivlt Tellipse sous Tinfluence de chacune des trois forces
4ia MÉCÂHtQUB RATIOHIIKIXE.
prifte isolément, on a
par conséquent le mobile décrira librement la coorbe sous Tinfluence des trois forces réunies, quand on aura
Cela résulte de la remarque faite au problème 1 (voir p. 34^ ) prob. 19).
Notre formule première et la remarque citée nous donnent immédiatement un théorème général qui tnmve ici son application.
Si plusieurs masses m^ m', m'', etc., respectivement soumises à V action des forces F, F', F^, etc,, et partant d'un même point A avec des vitesses v^, u\ , v\ , efc, de grandeur différente mais de même direction, décrient la même courbe AGB ; la masse quelconque M, soismise à l'action de la résultante des forces F, F', F*^, etc., et partant du point A avec une vitesse Vo ç^anl la même direction que les vitesses v^^ v\j v\^ cte., décrira en^ core la courbe ACB, pourvu que lesforcesF^F'j F"', etc., soient indépendantes du temps, et que la force "vive iiiftiale M\\ de la masse M soit égale à la somme
des forces vives initiales des masses m, m\ m', e/c. (*).
En effet, considérant chacune des masses m, m', m^,..., M comme assujettie à se mouvoir sur la courbe ACB, nous aurons, pour chacune des premières masses, une équation de la forme
eis as p
(*) Onuii Btnaatt, Sommai de if. liowUle, t. DL, p. 11 3.
DTIIAHIQUE. 4^3
Ajoutant toutes oes équations, la somme des seconds membres représentera la réaction de la courbe sur la masse M; or cette somme est nulle, par suite la masse M décrit librement la courbe.
8. On a une ellipse dont le grand axe est vertical et un point pesant situé dans Vintérieur à Vextrémité du petit axe; on se propose de lancer le point verticalement de bas en haut, de manière gu après a%foir quitté la courbe il passe au centre. Déterminer la vitesse de pro^ jection.
Si Ton nomme aa le grand axe, a& le petit axe et i^^ la vitesse cherchée, on trouve
9. Sur une courbe située dans un plan vertical on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et Von demande de déterminer successi\fement cette courbe :
i^ De manière que la pression due à la seule force de la pesanteur soit proportionnelle à la n'^"" puissance de la distance actuelle du mobile à l'horizontale d*oà il aurait dû descendre pour acquérir au point de départ la vitesse qvCon lui a donnée;
a® De manière que la pression due à la force centri" fuge soit proportionnelle à la n'^"" puissance de la même distance;
3^ De manière que la pression due à la force centrifuge soit dans un rapport donné n ai^ec la pression due à la pesanteur.
Prenons Taxe des x dirigé dans le sens de la pesanteur, et l'axe des y dirigé suivant Thorizontale dont on a parlé.
4l4 MÉCIRIQUS RÀTIOVKBLLE,
i^ Soît Kx" la pression due à k pesanteur pour une distance x de Taxe des jr. Posons
n vient
2^ Soît Kx" la pression qni est due à la force centrifuge et s'exerce à la distance x. Posons encore
Il vient
3^ Soit a une constante arbitraire.
Il vient
Ces formules sont presque en tout semblables a la for* mule (A) du problème 3^ en sorte que ce dernier problème et les trois questions qui nous occupent conduisent aux mêmes courbes, sauf de légers changements*
Vaeignoit, jMém, de VAcad, des Se, de Paris j 171O1 p. i56 et suiv.
SECTION IlL
MOUVEMENT O^UV POINT MATÉRIEL SUE UNE COUBBB PLANE nANS UK MILIEU RÉSISTANT.
1, Proposons-nous d^ étudier le mouvement dUin point pesant sur une cycloïde dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse. Nous supposons Vaxe de la cjrcloïde "Vertical et la concavité tournée en haut.
BTKAMIQUE. ^lï
PresoBA l'origiiie an sommet de la courbe qui est le point le plus bas, et l'axe des x dirigé en sens contraire de la pesanteur.
Nommons :
a le rayon du cercle générateur; 5 Tare de la cycloïde compté à partir du sommet; k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse; c la valeur initiale de j; et admettons que la vitesse initiale soit nulle.
dp dx .
dt ^ ds D'après les propriétés géométriques de la cycloïde,
d'ailleurs, si l'on suppose que Tare décroisse quand la
vitesse est positive,
ds ""^--di'^
il en résulte que l'équation première peut s'écrire
On l'intègre parle procédé bien connu qui s'applique aux équations linéaires à coefficients constants. Substituante = Ce''S il vient
*db
r^ + kr-h 1
l'iu
tégrale est donc
fi
4l6 MÉCAAIQUS &ÀT10nELLB.
Ici il convient de distinguer denx cas, snivant que le radical est réel ou imaginaire.
Supposons d^abord le radical imaginaire, ou X: <^ v î
c^est le cas le plus conforme à ce qui se passe ordinairement dans la nature* Si Ton pose
la formule (i) prend la forme
STz:e ^ ( Acos~-+-Bsin— j,
dans laquelle A et B sont des constantes que nous déterminons par la condition que, pour C = o, on ait
ds
Szzze et -— ir:: O.
dt
Il vient
c — A et A-+--B = o:
d'où
(2) s=:zcc ^ |cos— -+--sin — )•
Le temps T que le mobile emploie pour arriver aa sommet se tire de l'équation
7T ^ . yt ^ 7T 7
j — o, cos -î — I — sm ^— = o, tang - — = — ^» ' 2 7 a ^ a A
Cette valeur de T est indépendante de la position initiale, et la même particularité se présente dans le second cas que nous examinerons plus loin ; par conséquent, la gr*
DTKAMIQUC. 4^7
cloikie est iauiùchrone dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse {*)•
Admettons pour un instant que la résistance A' soit
très-petite. Alors — sera très>peu supérieur à -, en
sorte que, si Ton pose
7T ir
et» par suite,
laog5L-^tang^^4-«j =
tang u k^
on aura sensiblement, en remplaçant dans la valeur de T upar tan^n, et négligeant les puissances de - supérieures à la première,
=-[v1-îKi)'-]*-(r?'--)
Ce temps est à peu près celui de la demi -oscillation descendante qu'un pendule cycloïdal exécute dans l'air lors* qu'on récarte légèrement de la verticale; il est un peu pins considérable que pour le pendule oscillant dans le vide.
La formule (a) nous donne
dt~^ ~ a
(*) Cette propriélé de la eye1o!de était connue de Newton 1 Ptimci^, llb. U, prop. a6.
4l8 MÉGAiriQUK BÀTIOBVUXB.
ainsi la vitesse est nulle, et le mobile cesse de monter pour commencer à descendre anx ëpocpies
nie 4^ 6* 7 7 7
n suit de là que la durée d'une oscillation entière est
égale à — • Si la résistance A: est peu considérable, cette
durée est sensiblement la même que dans le vide^ car
2ir 2ir L /« ' „ /«\ * I
iî-'-ï
= à peu près air ^-•
Substituant dans la formule (2) les valeurs de t pour lesquelles 1^ s'annule, on obtient les amplitudes des demioscillations successives,
<r, ce ^ , ce ^ , ce ^ , . . . .
Ces arcs décroissent en progression géométrique, et ils sont tous parcourus deux fois, sauf le premier; d'où il suit que le chemin total parcouru par le moUle avant d'arriver au repos est
1 — tf y e^
DTa&UIQVE. 4>9
Soit
La formule (i) devient
s=iCe ' -hCe ' .
On doit déterminer les constantes C, C par la condition que, pour f = o, on ait
ds
alors on trouve
Cette valeur de 5 ne s'annule que pour t = 00 ; par con* séquent le mobile ne dépassera pas le sommet de la cycloïde, et même il ne Fatteindra jamais.
D'après la dernière équation, nous avons
Ces formules nous montrent que la vitesse croit depuis Tinstant du départ jusqu'à l'époque t donnée par l'équation
e-7'=:T-T-^> ou r = -log2 ^•
4aO XACAVIQUE EÀTIOHBKLLB.
A partir de cette époque la vitesse décroît et conTerge Ters o.
Enfin, si Ton suppose que le radical i/- — A* soit nul, on trouve, en recourant a Féquadon (A),
Ces formules nous montrent que le mobile ne peut dépasser le sommet de la courbe, et s*en approche indéfiniment sans pouvoir l'atteindre. La vitesse est un maximum
i l'époque t= t'
2. Déterminer le mouvement du pendule légèrement écarté de la verticale^ dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse.
Soient a la longueur du fil, Tangle qu^il fait avec la verticale et k la résistance du milieu.
On a
^^^sinO-^.,
ou, si Ton remplace sinS par 9 et y par sa valeur — a ^j
di* dt a
Cette équation est tout i fait semblable k l'équation (A) du problème précédent, si ce n'est que l'arc s se trouve remplacé par l'angle 0, et le double du diamètre du cercle
UYNAltlQUE. . . 4^^
générateur 4^ P^r Ia longueur du fil a. Sauf ces chaoge*ments de noms, la discussion précédente s'applique mot pour mot.
Ce problème donne la loi des pqtites oscillations du pendule dans Pair; car, lorsque la vitesse est très-petite, on peut sans erreur sensible admettre que la résistance de Tair est proportionnelle à la vitesse. Dans ce cas, la résistance k est peu considérable; elle est inférieure a l/^;
on peut même négliger son carré. Alors, comme nous Favons vu, la durée d'une demi-oscillation descendante est un peu plus considérable que dans le vide; mais la durée d'une oscillation entière est la même.
Au reste, pour juger de Texactiiude de ces résultats, il suffit de réduire en nombres les formules rigoureuses données dans le problème précédent. Nous nous servirons pour cela d'une expérience de Borda. La valeur initiale c de l'angle 6 était un tiers de degré environ, l'amplitude des oscillations diminuait à peu près en progression géométrique; après i8oo oscillations, elle n'était réduite qu'aux deux tiers de sa valeur primitive.
Ainsi, en conservant les notations du problème précédent, on a
iSoo^ir ^^ 7 log-zi:: 7(0,40546).
Remplaçons k par sa valeur tirée de l'équation
Il vient
4aa MÉcàniQVB aatiovbbllb.
d'où l'on tire
On Toit par là ^e la durée d'une oscillation est
OU k peu près
air i/ - {1 — 0,00000000257 ),
ce qui ne difï^re presque pas de la durée d'une oscillation dans le vide,
"sfr
PoissoA, Traité de Mécanique^ 2* édit. t. I, p. 348*
3. Déterminer le moui^ement du pendule dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.
G>nservons les notations du problème précédent. Nous avons
* ' dt* dt^ a
ou, ce qui est la même chose,
d fdBY , fd^Y 2F . ^
Si l'on regarde comme la variable et^ ( ^ ) comme la
fonction, cette équation est linéaire et du premier ordre. On l'intègre par la méthode connue.
Substituant
il vient et
d^où
Nous déterminons la constante G par la condition que ^ soit nul pour 8 = 05 alors
\ZFr] ="7 — . / ,.ax [cosO + ag^sinO
— (cosc4-2fl^sinc)tf""***(*-^)J.
Cette formule nous permet de calculer les amplitudes des oscillations successives. En effet, soit — C| la valeur de Fangle à la fin de la première demi-oscillation ascendante: cette valeur devra vérifier l'équation
(cosc, — aaX- sine, ) tf»«*^» — (cosr -t- aa^ sinc)r-'«*« = o.
Si l'on développe les exponentielles suivant les puissances de A: et que Ton néglige le carré de cette résistance supposée très-petite, on aura
cosc, — aaX' (sine, — C|C0Sc,) = cosc -f- :ta (sine — e cosc).
La valeur de Ci qui vérifie cette équation diffère très-peu de c \ posant donc
4^4 HÉGANIQUB BATIOHHBLLB.
nous pourrons négliger i* et Ard; nous aurons
9%ine = ^aA [hïne — ccosc); d'où
Ci=^c — -. — (sine — c coscU sinc^
Ce résultat ne suppose pas lés oscillations très-petites ; mais, si elles sont assez petites pour que Ton puisse négliger la quatrième puissance de c dans la valeur de c,, cette valeur se réduira à
Pour trouver la durée des oscillations, on peut résoudre Téquation (3) par rapport à dt^ puis intégrer; alors on obtient une expression de la forme
r ÇF(B)dB.
Cette intégrale u*cst point exprimable en quantités finies, au moins par les méthodes connues. On pourrait la calculer par approximation, mais il est plus commode d^appliquer les méthodes approchées à Téquation primitive elle-même. C'est ce que nous allons faire en supposant les oscillations très-petites.
Nommons encore c la valeur ini tiale de TangleS, qui sera très-petite, et admettons que la vitesse initiale soit nulle. Il est clair que Texpression cherchée de l'angle est une fonction continue de c et s'évanouit avec cet angle ^ par conséquent elle peut se développer en une série de la forme
et cette série sera d'autant plus convergente que ç sera plus petit. Nous nous bornerons aux deux premiers
DYnAMIQUE. 4^5
termes, qui sont bien suffisants pour représenter les ex* përiences les. plus délicates; toutefois la méthode sera générale.
Substituons dans l'équation (i) les valeurs ^^"jj^ -^Ti
etsînd que Ton tire de la formule (3) lorsque Ton né* glige les troisièmes puissances de c, puis égalons séparément à zéro les coeiBcients de c et de c*. Il vient
La première de ces équations nous donne l'intégrale
Ô,r=::AcOsf/i/--f-BJ,
dans laquelle les constantes A et B se déterminent par la condition que, pour t = o, on ait
dB
et, par suite (3),
dQ, '•^"' lu On trouve ainsi
, = co»(.y/i).
Substituant cette valeur dans la seconde équation (4)» îl vient
dt^ a % 2, \ y a J
C'est une équation linéaire du second ordre, on l'intègre par la méthode que nous avons rappelée plus haut. Des exponentielles imaginaires s'introduisent, on les remplace
4s6 MÊcAHiQvs mâmnniBixB.
par des simu et des oosinos, et Ton croate coin
(»,=Dco.(ry/f-HE) + ^ + ^co,(«y/iy
D et E sont des constantes que Ton détermine de manière qne, ponr t = o, on ait
alors on obtient
c'ak H ^5— cos
et
caA sin 1
Ces valeurs vont nous donner la durée et ramiplitnde des oscillations; dans cette recherche, nous pousserons l'approximation jusqu'aux secondes puissances de c inclusivement.
La durée de la demi-oscillation descendante s'obtient en résolvant par rapport à t Téquation = o, dans laquelle 6 est remplacé par sa valeur (5). Une première valeur approchée est
ir , /a
car cette valeur annule le terme qui est du premier dq;ré
DTJfAXIQUB. 4^7
par rapport à c. Posant donc
ir fa
on déterminera u par la méthode de Newton, qui consiste à prendre pour u le quotient changé de signe de par s^ dérivée relative à t^ dans lequel on fait
r=îr "
On trouve ainsi
cak . fa 1 2ca^\-' eak . fa
B est inutile de prendre ici le terme en c' et de pousser l'approximation plus loin; car u doit évidemment chan» ger de signe avec A-, et comme dans toute la suite des calculs que l'on pourrait faire, c serait toujours accompagné du facteur A, il faut que u ne contienne que des puissances impaires de c. La durée de la demi-oscillation descendante est donc
Pour obtenir la durée d'une oscillation entière, il faut résoudre par rapport à t Téquation (^ = o, dans laquelle t' est remplacé par sa valeur (6). En opérant de la même manière, on trouve, au même degré d'approximation,
que cette durée est tt i/-9 comme dans le vide.
Nous aurons l'amplitude de la première demi-oscillation ascendante, si nous posons
dans la valeur (5) de l'angle 6 changée de signe. Nous
428 MÉCIMIQUE &ATI011MELLV.
trouvons
d*où nous voyons que l'amplitude de la seconde demioscillation est plus petite que celle de la première, de la
quantité -=-= — ? comme nous l'avons déjà trouvé par une
autre méthode.
Tous ces résultats coïncident à peu de chose près avec ceux que nous avons obtenus au proUème précédent, dans Thypothèse d'une résistance proportionnelle à la vitesse; les petites difTérences qui existent peuvent être attribuées aux valeurs différentes que le coefficient A- doit recevoir jdans ces deux hypothèses.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que le corps du pendule était un point matériel sans volume. Dans la réalité, il ne peut en être ainsi. Comme un corps plongé dans un fluide y perd une partie de son poids égale à celui du fluide déplacé, le pendule se trouve dans le même cas que si la gravité, au lieu d'être égale à g^ était égale à g (i — p)'i p désignant le rapport de la densité du fluide à celle du corps. Par là on verra facilement que, d'après la seule considération de la perte de poids à l'état de repos, la durée des oscillations dans un fluide se trouve augmentée dans le rapport de l'unité à ^1 — p pour un même pendule, et la longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de i — pk Tunité pour la même durée.
De plus, Bessel a fait voir par l'expérience que la perte de poids est moins considérable pour un corps en repos que pour un corps animé d'un mouvement oscillatoire. Il en résulte que, dans les résultats «.précédents, il faut multiplier p par un facteur f plus grand que Tunilé.
Poisson a démontré,' dans son Mémoire sur'les mow*é'
DYMllf lQirB« 4^9
ments simultanés d'un pendule et de Vair en%^iron'nant (*), que le facteur^ est indépendant de la densité du pendule ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans lequel il oscille. Pour le cas d*une sphère dont le diamètre est petit relativement à la longueur du pendule, il trouve
Poisson, Traité de Mécanique y 2* édit., t. I, p. 353.
4. Trouuer les courbes tautochrones pour un point pesant élans un milieu dont la résistance est proportion* nelle au carré de la vitesse.
Soient :
O Texlrémité des arcs qui sont parcourus dans le même temps ^
X la distance du mobile au-dessus de Thorizontale qui passe au point O ;
s Tare de la courbe compté à partir du point O;
h la hauteur à laquelle serait due dans le vide la vitesse que le mobile possède au point O ;
k la résistance du milieu pour l'unilé de vitesse.
ou, si l'on multiplie par ae~'*' et que Ton intègre,
(0 prê-
tât
— 2^(/i— r r-'*'Jxj.
Remplaçons 1^ par sa valeur — ^' ^^ posons (2) ii=: f e^dxi
(* ) Mém. de l'Acûd, des Sciences de Paris, t. \I.
43o MéclNIQUB RÀTIOHHBLLE.
X sera une fonction de u, et comme s est une fonction de X, nous pourrons poser encore
(3) tr*'ds = ff[u)du.
JX vient alors
en sorte que le temps emj^Ioyë par le mobile pour arrirer au point O est
Cette valeur de r doit être indépendante de h ; d^où il
suit que la quantité comprise sous le signe / doit être
de degré zéro par rapport k /i, u et du. Cela exige que Ton ait
a désignant une constante.
Substituons cette valeur dans l'équation (3), et intégrons en observant que 5 et u sont nuls en même temps, n vient
ïC
— ir-*«) €--*'= 2 fl'
du ds'
Or,
d'après l'équation (2),
par
conséquent,
dx a«»*T- = «»' — I
DTHAXIQIIB. 43 1
D'un autre côté, nous arons
a /•* du fca
donc enfin Fëquation de la courbe tautochrone est
On peut obtenir la valeur de Tare parcouru pendant le temps U En eflet, soit s^ la valeur initiale de i*arc s. La formule (i) peut s'écrire
-ji*
€is^ r'* . dx
et si nous remplaçons — par sa valeur tirée de l'équation (4)9 il vient
dt* ^^r^Jg ^
Posant
cette ëcpiation nous donne
2T dz
ar z ni
tz=^^ — arccos— 9 s = XtC0S — »
1 — «^-*» = (1 — r-*»0 cos — , EoLBAi Comment. Peirop., 1739. — Meehan.^ t,II|p. Sga*
43a uéckniqvm n^kriomMELiM.
5. Proposons-noits de rechercher V expression la pbu générale de la force iangentielle dans le mom^meni tautochrone.
Soient :
O rextrémîté des arcs de la courbe taatochrone qai doivent être parcoanis dans le même temps t;
F la résultante des forces tangentielles qui agissent sur le mobile au bout du temps f, compté a partir de Tinstaot du départ ;
y la vitesse du mobile au bout du même temps;
s l'arc qui lui reste à parcourir pour arriver an point O;
a la valeur initiale de Tare s.
On a
et la courbe sur laquelle se meut le corps sera taatochrone quand r sera indépendaht de a^ c^est-à-dire quand on aura
Éliminons a des limites de l'intégrale. Pour cela, po*
sons
(i) Z=:uZ,
en nommant z une fonction arbitraire de 5, qui s'annule avec s, Z la valeur de z pour j = a et u ime nouvelle variable.
Soit de plus
la valeur de s que l'on déduit de Téquation (i).
DYKAKIQUE, 433
Nous aurons
,^ r'r{ui
du.
DifTérentîon» par rapport à a, et souvenons-nous que v est une fonction de aetAe^ (uZ) ; il viendra
^ Ç Ci^'(«70«ZZ' + f(iiZ)Z'].'- |^^^'(«Z)iiZ'-*.~j^'(iiZ)Z
OU bien, remplaçant uZ par z et Zrfu par ~ dsy
, P[rW^Z'+fcr)Z'].~[J./W.Z'H-^z]f(#)^^
^ — ^ / /{s,(T)ds,
en représentant par/ (5, 7) le facteur de ^ sous le signe d'intégration.
Pour que — soit nul, quel que soit a, il faut qu'en
dr
dij
ce qu'
on
peut
écrire
posant
J /{s,fT)ds=B{s,fT),
on ait
ô(j, ff) = 0.
Supposons que la fonction satisfasse à cette condition. Nous pourrons remplacer dans Téquation (a),y*(j| a) par
6^ (^, 9) et ^ par la râleur trouvée précédemment ; alors,
si nous observons que Ton a
dz I d^z 4> ^(x) I
