I. 3* ÉDIT. a
434 MÉCAlflQra RITIOHHBLLE.
OU
il viendra
U nous faut intégrer cette équation, dans laquelle î^ est la fonction et 5, a les variables indépendantes. On sait qu^elle se ramène aux deux équations différentielles simultanées
da ds dp
Posons
d'où
Nos équations dififérentielles pourront s'écrire dt da
Sait
La première équation nous donne
«(ff) — »(*} = consU = A;
DTHAMIQVB. 4^5
d*où l'on lirera une valeur de 9 de la forme
Si l'on substitue cette valeur dans la seconde équation différentielle, et que Ton pose ensuite
X étant une variable auxiliaire, on obtient l'équation
4[ÇW]
^s{'.^[s)]ds.
OÙ 9' [5, Ç(5)] représente ce que devient la dérivée de (5, q) par rapport à $^ lorsqu'on y fait, après la différentiation, (7 = (^ (5).
Soit |D (5) l'intégrale indéGnie du second membre. On aura
1 = p(*) + consr. = p(j) 4- g»
Il résulte de là que l'intégrale générale de l'équation (3)
est
y étant le signe d'une fonction arbitraire. Toutefois les conditions de notre problème assujettissent cette fonction y à être identiquement nulle, lorsque l'on 7 fait
simultanément
s m 9 et p=:o;
car la vitesse initiale du mobile est supposée nulle. Différentions la dernière équation par rapport à #, et
436 XÊCÀNIQVB EATlOnVELLE.
remplaçons tù',{s) par sa valeur ^^î îl vient
?(*) S -'?'(*) + 'VW
On en tire
ou, si l'on pose -Lj^ j 4- - G [t^ - p (x)1,
«' -.iw.|»[^-'<"]-""['-^-Ht-
Telle est la formule chenchée. G et f représentent des fonctions arbitraires ; p est aussi une fonction arbitraire.
En effet p' (s) et par suite p(s) sont déGnis par Téquation
et, puisque la fonction n*est assujettie qu'à la seule condition de s^ëvanouir pour s = a^ nous pouvons prendre
• 0(,,er)=(*~a)x(c),
j(^ ((t) ëtant indépendant de s -, alors le second membre de l'équation précédente se réduit à
D'ailleurs le premier membre peut s'exprimer en Zi^h
DYVlmQUE. 437
quelle que soit la fonction p (5), puisque s est une fonction deÇ(s), Prenant cette expression du premier membre pour la fonction x[C(^)] 9^^ ^^^ ^ volonté, l'équation sera satisfaite.
Supposons, en particulier, que l'on prenne
et posons, pour abréger,
La formule générale (4) pourra s'écrire
Vf étant le -signe d'une fonction arbitraire.
Celte dernière formule a été donnée par Lagrange, dans les Mémoires de Vjicadémie de Berlin^ ï?^^, 1770. La formule générale d^où elle dérive a été établie récem* ment par M. Brioschi (*).
6. Comme application des formules que nous venons d'établir, nous nous proposons ici. de chercher tous les cas de tautochrom'sme contenus dans la formule de Lagrange i et relatifs à un corps pesant qui se meut avec frottement dans un milieu dont la résistance est une fonction quelconque de la vitesse, f{i^)*
Supposons l'axe des x vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur-, et soit fx le coefficient de frottement.
La composante tangentielle de la pesanteur et la près-
(*) Annali di Seien§e matematiehe e fisiche compiluti da B. Tortolini; Borna, i853, p. Sa.
438 XÉCÂlflQVB mATlOlIllELLS.
non tnr la oonrbe seront respectÎTement
ds'
V rfj»
en sorte que Ton aura, pour Texpression générale de la force tangentielle,
dyx
dx
— est ici une fonction de s qui, si elle était connue, donnerait Téquation de la courbe. Nous allons déterminer cette fonction par la condition que la formule (Y) soit comprise dans celle de Lagrange.
Si Ton différentie la valeur (V) trois fois par rapport à v^ puis une fois par rapport i s^ le résultat est identiquement nul. Exprimons que la formule de Lagrange satisfait à cette condition.
Si nous posons
la formule de Lagrange prend la forme
et Ton doit avoir
dp^ds''^^
BT1IAMIQ1IB« 43^
OU, puiscpie I est une fonclion de 5,
Cette condition nous donne Posons
l'équation précédente deviendra
Pour l'intégrer,
posons encore
Nous obtenons
par conséquent,
a = Ac + B,
X= — Alog«-t--Bz-' -+-€«-+- D,
F=^Aplog^-+-^BÇH-i(c-^yH-Di',
A, B, C, D désignant des constantes arbitraires. Pour que cette valeur soit identique avec la valeur (V),
440 MÊCAHIQinE mATfOaiTEIXB.
il faut que Ton ait
La seconde relation nous montre que la résistance du milieu doit être simplement proportionnelle à la vitesse. Si l'on élimine \ entre les deux dernières relations, on obtient, toutes réductions faites,
BC
r/'x '2 If
-TT — — ^^ = const., iis^ I H- p'
ce qui est Téquation d*une cjcloïde.
Ainsi, la cycloïde est tautochrone ai^ec frottement, soit dans le vide, soit dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse^ c'est d'ailleurs le seul cas de tautochronisme avec frottement qui soit donné par la formule de Lagrange [*).
Si Ton nomme r le rayon du cercle générateur de la cycloïde et H une constante, on aura
dx gs -4- H
ds 4'*
La constante H se déterminera par la condition que le mobile, placé sans vitesse initiale à l'extrémité des arcs tàVL-
C^ ) Ce cas de Uatochronisme « été signalé la première fois par Ifecker, hecMil de$ Smvmnî» étrangers (Académie des Sciences de Paris), i.1V, • 96; 1763.
BTVAMIQDB. 44 <
tochrones, y reste en équilibre, et qae, placé un peu plus haut, l'équilibre n'ait pas lieu. Cela exige que l'extrémité des arcs tautocbrones soit le point le plus élevé de ceux où le point matériel, posé sans vitesse, pourrait rester en équilibre.
7. Trouver tous les cas de tautochronisme contenus dans lafotTnule de Lagrange (prob. 5), er relatifs à un point pesant qui se meut dans un milieu dont la résistance est une Jonction de la vitesse, f[u).
Un calcul semblable à celui du numéro précédent montre que la résistance f (i*) doit être de la forme
A -h Bp 4- Cp%
A, B, C désignant des constantes.
Alors la courbe tautocbrone est celle que nous avons obtenue au problème 4.
Ceci est un cas particulier du théorème suivant : Toute courbe tautocbrone pour une force comprise dans la formule de Lagrange, est encore tautocbrone lorsqu'on ajoute à la force un terme proportionnel à la vi-* tesse (*). On voit, en effet, qu'en conservant la même courbe et ajoutant à la force tangentielle un terme proportionnel à la vitesse, l'expression de la force tangentielle totale reste encore comprise dans la formule de Lagrange^ car le terme additionnel n'a d'autre effet que
d'augmenter la fonction arbitraire cr ( - j d'un terme de la forme -Xconst.
J. BsRTBAND, Journal de M. Lioupille^ 18479 1. XII, p, ia6.
