Un point pesant monte, en vertu d'une impulsion
(*) UOftANQi, Mém. de VAead. de Berlin, 1765, p. 37t.
44^ XÉCAHIQVB AAVIOHSELLB,
initiale, sur une courbe située dans un plan vertical ^ le nèouvement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la 'vitesse. Quelle doit être la courbe pour que la 'vitesse du mo^ bile égale à chaque instant celle qui serait due, dans le même milieu, à la hauteur mesurée par la longueur de rare qui lui reste à parcourir pour atteindre un point fixe situé sur la courbe?
Soit 5 Tare de la courbe compté à partir du point fixe, X la distance de rextrémité de cet arc i rhorizontale qui passe au point fixe, et k la résistance du milieu pour Tunité de vitesse*
L^équation de la courbe est
Ce problème fut proposé i Clairaut, pendant son voyage en Laponie, par un professeur d'Upsal nommé Klingstiema. La solution de Clairaut se trouve dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris^ ^ji^t p. aS4*
9. D^un même point O parient une infinité de droites situées dans un même plan vertical et terminées à une courbe S* Déterminer cette courbe de manière qu'un point pesant, descendant du point O sur Vune des droites, arrive sur la courbe avec une même vitesse, quelle que soit la droite que Von ait choisie. Le mouvement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle aucarré de la vitesse.
Rapportons la courbe a des coordonnées polaires r, 0, dont Torigine soit au point O^ et dont Taxe toit dirigé dans le sens de la pesanteur ; nommons a le rayon vecteur qui se compte sur l'axe*
DYHAXIQIIB. 443
L^ëquation de la courbe est
cosO
EuLKm, Meehan.f U II, p. a5i •
10. Les données restant les méqies que dans le pro'blême précédent^ on propose de déterminer la courbe S par la condition que le mobile emploie le même temps pour V atteindre j quelle que soit la droite sur laquelle il descende.
L^ëquation de la courbe est
/cos8=l^
e*r-f.(«»fc-,)»
EoiAB, Meehan., t. II, p. a56.
SECTION IV
MOUTEMENT D^UH POIZIT MATÉRIEL SUE UZIB SUEFÀCB FIXE.
Soient
or, y, z les coordonnées da mobile à Tëpoque t\
^ la vitesse;
X, Y, Z les composantes de la force accélératrice extérieure parallèles aux axes*,
F (x, J'y z) = const. Téquation de la surface ;
R la réaction normale que cette surface exerce sur le point.
Si l'on pose, pour abréger,
444 MÉGÀHIQUB AITIOVNELLB.
les équations du mouvement seront
di* dz
Pour déterminer la position du mobile à une époque quelconque, il faut éliminer le produit RU entre les trois équations précédentes^ alors on aura deux équations différentielles entre x, jj z, t, qui, jointes à Téquation de la surface, détermineront les coordonnées en fonction du temps.
Lorsque X^ + Ydy-i-Zdzesl la différentielle exacte d'une certaine fonction cf (x,y, z) des seules variables Jt, y, z, on a de suite une intégrale première,
^01 ^09 J'o) ^0 étant les valeurs de i^, x, fj z qui correspondent à l'état initial. Cette intégrale pourra remplacer une des trois équations primitives, et comme
dt^
elle permettra de faire disparaître dt des deux équations restantes. Dès lors il suffira d'éliminer entre ces dernières équations le produit RU pour avoir une équation différentielle en x, y y z qui déterminera la trajectoire conjointement avec l'équation de la surface.
1. /7'fi/i point pris à volonté sur Vun des méridiens d'une surface de réi^olution dont Vaxe est vertical, on lance un point pesant suivant la tangente au parallèle, avec une vitesse qui est une Jonction connue des coor-
données du point de départ. Déterminer la surface par la condition que le mobile^ assujetti à rester dans son intérieur, décrive toujours un parallèle, quel que soit le point de départ.
Soit pris le plan méridien d'où part le mobile pour plan des .rz, et Taxe de révolution pour l'axe des Zj qui sera dirigé en sens contraire de la pesanteur.
Nous avons
ILdx -^Ydf-^Zdz-- —gdz\
d'où il résulte que la vitesse doit être constante pendant toute la durée du mouvement; par suite, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge doit être normale & la surface.
Ainsi, X et 2 étant les coordonnées du point de départ, c^ ^3^/(«,.r) la vitesse initiale, nous devons avoir
aj?/(g, -g) „ dz X dz
X ^ dx ^ 2 rf-c
Telle est Téquation différentielle de la courbe méridienne. Elle nous montre que la hauteur due à la vitesse initiale est égale à la moitié de la sous-tangente à la courbe.
Donnons a la fonction/* quelques valeurs particulières.
Soit
fz=z CODSt. I - /*.
Ona
2 kdx - «fe,
logx -~^ — 7 -4- const.
La courbe est une loganlltnuque* Soit
an
446 MÉCÀlfIQIJB HATIOVnBLLE.
On a
lù^
x*=2a« + coiist.
La courbe est une parabole.
Soit
Oaa
Si Ton veut que le temps d^une révolution soit le même sur dbacun des parallèles; alors, nommant T la durée d'une révolution, on aura
par conséquent la courbe méridienne sera la parabole X* = - — - z -+- const.
27r« FoNTANA, Disseriazione sopra laforza centrifuga; Verona, 1784*
2. Trouver une surface passant par une courbe donnée et telle, gWun point pesant parcoure cette courbe, lorsqu'on le pose sur la surface en un point de la courbe, et quon lui imprime une vitesse de grandeur et de direction convenables.
Supposons Taxe des z dirigé dans le sens de la pesanteur.
DT1VÀM1QVB* 447
Soient
les équations de la courbe donnée.
La surface cherchée aura son équation de la forme
F=^-/(z)-[jr-/W]f(r,») = o,
f étant une fonction qui ne devient pas infinie pour
Il s'agit de déterminer cette fonction f .
Tout point pesant (x, j^, z), posé sur la surface, vérifiera dans son mouvement les équations
di' "
